蝴蝶定理一看就懂！四边形面积神秘关系三步通解（零基础友好）：典型例题精讲

阿星拆解：这道题直接套用蝴蝶公式就行！我们给四个三角形起好名字：

左上翅膀 \( S_{AOB} = 3 \)
右上翅膀 \( S_{BOC} = 6 \)
右下翅膀 \( S_{COD} = 8 \)
左下翅膀 \( S_{AOD} = ? \)（我们要求的）

根据四边形蝴蝶定理：上×下 = 左×右。

这里，“上”是 \( S_{AOB} = 3 \)，“下”是 \( S_{COD} = 8 \)。“左”是 \( S_{AOD} \)，“右”是 \( S_{BOC} = 6 \)。

代入公式： \( 3 \times 8 = S_{AOD} \times 6 \)

计算左边： \( 24 = S_{AOD} \times 6 \)

所以， \( S_{AOD} = 24 \div 6 = 4 \)。

答案：三角形AOD的面积是 \( 4 \, \text{cm}^2 \)。看，公式一摆，答案立马出来！

阿星敲黑板：陷阱来啦！仔细看单位，前两个面积单位是 \( \text{dm}^2 \)（平方分米），第三个是 \( \text{m}^2 \)（平方米）！它们不能直接相乘，必须统一单位。

记住：\( 1 \, \text{m} = 10 \, \text{dm} \)，所以 \( 1 \, \text{m}^2 = 100 \, \text{dm}^2 \)。

我们把所有单位都统一成 \( \text{dm}^2 \) 来计算：
\( S_{\triangle GOH} = 10 \, \text{m}^2 = 10 \times 100 = 1000 \, \text{dm}^2 \)

现在，四个翅膀的面积（单位：\( \text{dm}^2 \) ）分别是：
上(EOF): \( 6 \)
右(FOG): \( 4 \)
下(GOH): \( 1000 \)
左(HOE): \( ? \)

代入蝴蝶公式（上×下 = 左×右）：
\( 6 \times 1000 = S_{\triangle HOE} \times 4 \)
\( 6000 = S_{\triangle HOE} \times 4 \)
\( S_{\triangle HOE} = 6000 \div 4 = 1500 \, (\text{dm}^2) \)

题目要求答案是 \( \text{m}^2 \)，所以我们再转换回去：
\( 1500 \, \text{dm}^2 = 1500 \div 100 = 15 \, \text{m}^2 \)。

答案：三角形HOE的面积是 \( 15 \, \text{m}^2 \)。牢记：计算前先统一单位！

思维迁移：梯形也是四边形！它的两条对角线相交，同样可以构成一只“蝴蝶”。所以，梯形内部的蝴蝶依然遵循“上下乘积=左右乘积”的规律。

我们标出四个三角形：在梯形中，AD//BC。
上翅膀：\( S_{\triangle AOD} = 12 \)
下翅膀：\( S_{\triangle BOC} = 27 \)
左翅膀：\( S_{\triangle AOB} = ? \)（我们要求的）
右翅膀：\( S_{\triangle DOC} \)

第一步，先用蝴蝶公式求出右翅膀 \( S_{\triangle DOC} \)：
\( 上 \times 下 = 左 \times 右 \)
\( 12 \times 27 = S_{\triangle AOB} \times S_{\triangle DOC} \)
等等，这里有两个未知数，一个方程解不出来。别急，我们还有另一个条件：梯形总面积是90。

梯形面积 = \( S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD} + S_{\triangle DOC} + S_{\triangle BOC} = 90 \)
代入已知数：\( S_{\triangle AOB} + 12 + S_{\triangle DOC} + 27 = 90 \)
所以：\( S_{\triangle AOB} + S_{\triangle DOC} = 90 - 12 - 27 = 51 \)。 我们记这个为方程(1)。

从蝴蝶公式得到：\( 12 \times 27 = S_{\triangle AOB} \times S_{\triangle DOC} \)
即：\( 324 = S_{\triangle AOB} \times S_{\triangle DOC} \)。 这是方程(2)。

现在我们有了(1)和(2)：两数之和为51，两数之积为324。这其实就是解一个一元二次方程：
设 \( S_{\triangle AOB} = a \)， \( S_{\triangle DOC} = b \)。
则 \( a + b = 51 \)， \( ab = 324 \)。

解得 \( a = 12, b = 39 \) 或 \( a = 39, b = 12 \)。
在梯形中（AD//BC），可以证明 \( S_{\triangle AOD} \) 和 \( S_{\triangle BOC} \) 是相似的，且 \( S_{\triangle AOB} = S_{\triangle DOC} \)。不，等等，这里结论是 \( S_{\triangle AOB} \) 和 \( S_{\triangle DOC} \) 是相等的！这是梯形蝴蝶模型的一个特殊性质。但题目给出的 \( S_{\triangle AOD}=12 \)， \( S_{\triangle BOC}=27 \) 并不相等，说明它们不是等腰梯形，所以 \( S_{\triangle AOB} \) 和 \( S_{\triangle DOC} \) 不一定相等。我们需要判断哪个是12，哪个是39。

观察图形，三角形AOD和AOB是等高三角形（从A点向BD作高），它们的面积比等于底边OD和OB的比。同理，三角形COD和BOC的等高，面积比也等于OD和OB的比。所以，\( S_{\triangle AOD} : S_{\triangle AOB} = OD : OB = S_{\triangle COD} : S_{\triangle BOC} \)。
代入数字：\( 12 : a = b : 27 \) -> \( 12 \times 27 = a \times b \)，这正好是我们的方程(2)，成立。

现在看，如果 \( a=12 \)， 那么 \( b=39 \)， 比例 \( 12:12=1:1 \)， 但 \( 39:27 eq 1:1 \)， 不成立。
如果 \( a=39 \)， \( b=12 \)， 比例 \( 12:39 = 4:13 \)， \( 12:27 = 4:9 \)， 两边比例不相等？等等，这里我比例代错了。应该是 \( S_{\triangle AOD} : S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD} : S_{\triangle BOC} \)。
情况一（a=12,b=39）：左边=12:12=1:1，右边=39:27=13:9，不等。
情况二（a=39,b=12）：左边=12:39=4:13，右边=12:27=4:9，还是不等？这似乎矛盾了。让我们重新审视。

啊哈！关键点来了。在梯形中，因为AD//BC，所以 \( \triangle AOD \sim \triangle COB \)（蝴蝶的两个小翅膀相似）。因此，面积比 \( S_{AOD} : S_{BOC} = (OD:OB)^2 = (AO:OC)^2 \)。已知面积是12和27，所以 \( (OD:OB)^2 = 12:27 = 4:9 \)， 因此 \( OD:OB = 2:3 \)。

再看 \( S_{AOB} \) 和 \( S_{AOD} \)，它们从A点向BD作高，是等高模型，面积比等于底边比OB:OD = 3:2。
所以，\( S_{AOB} : S_{AOD} = OB : OD = 3:2 \)
已知 \( S_{AOD} = 12 \)， 所以 \( S_{AOB} = 12 \times \frac{3}{2} = 18 \)。

同理，\( S_{DOC} : S_{BOC} = OD:OB = 2:3 \)， \( S_{DOC} = 27 \times \frac{2}{3} = 18 \)。
检验：和与积：18+18=36， 18*18=324？不对，18*18=324，成立。但之前总和是51？这里出了问题。

我明白了！我之前的“梯形总面积90”用错了。当我说四个三角形之和为90时，这是正确的。但如果我们算出来的 \( S_{AOB}=18 \)， \( S_{DOC}=18 \)，那么总面积=12+27+18+18=75，不等于90。所以我的假设“S_AOB = S_DOC”在非特殊梯形里并不成立。我们必须严格使用方程(1)和(2)。

回到最朴素的方程：
(1) a + b = 51
(2) ab = 324
解这个方程组：由(1)得 b = 51 - a，代入(2)： a(51 - a) = 324 -> 51a - a² = 324 -> a² - 51a + 324 = 0。
解一元二次方程：(a - 12)(a - 39)=0， 所以 a=12 或 a=39。

哪一个才是 \( S_{AOB} \) 呢？考虑实际情况，三角形AOB和AOD是共顶点A的等高三角形，面积比等于OB:OD。而OB:OD可以通过相似三角形 \( AOD \sim COB \) 得到为 \( \sqrt{S_{BOC}} : \sqrt{S_{AOD}} = \sqrt{27} : \sqrt{12} = 3\sqrt{3} : 2\sqrt{3} = 3:2 \)。所以OB:OD = 3:2。
因此，\( S_{AOB} : S_{AOD} = OB : OD = 3:2 \)
\( S_{AOB} = S_{AOD} \times \frac{3}{2} = 12 \times 1.5 = 18 \)。

看，通过相似比直接算出来是18。但18并不在我们解出的12和39之中？这不对劲。说明“总面积是90”和给出的两个面积数据（12和27）可能无法同时满足我们通过相似比算出的精确比例？我们来验证：如果 \( S_{AOB}=18 \)， 根据蝴蝶公式 \( 12 \times 27 = 18 \times S_{DOC} \)， 得 \( S_{DOC}=18 \)。 此时总面积=12+27+18+18=75， 不是90。所以题目数据是自洽的，但“总面积90”这个条件与我们用相似性推导出的比例（从而得出18）是冲突的，除非梯形不是一般的梯形。这说明在题目设定的数据下（12，27，总面积90），OB:OD的比例并不是简单的3:2？我们需要修正。

实际上，从 \( S_{AOD}=12 \)， \( S_{BOC}=27 \)， 只能得到 \( (AO:OC)^2 = (OD:OB)^2 = 12:27=4:9 \)， 所以 \( AO:OC = OD:OB = 2:3 \)。 这是确定的。
设 \( S_{AOB}=a \)。 因为 \( S_{AOB} \) 和 \( S_{AOD} \) 等高（A点到底边BD），面积比等于OB:OD = 3:2， 所以 \( a:12 = 3:2 \)， \( a=18 \)。 这非常确定。
同理， \( S_{DOC}=18 \) 也确定。
那么总面积只能是75。但题目说总面积是90，这多出来的15从哪来？除非图形不是标准的梯形对角线分成的4个三角形？或者我理解错了？

让我们重新审题：“在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC与BD相交于点O。已知梯形总面积是90”。注意，梯形总面积是90，指的是四边形ABCD的面积是90。而我们分解成的四个三角形AOB, AOD, DOC, BOC，它们加起来正好就是梯形ABCD的面积，没错。所以如果按相似性算出来四个面积是18，12，18，27，和是75，与90矛盾。因此，题目中的数据（12，27，90）是一组特定数据，它不满足一般梯形中的相似比例（即 \( S_{AOD} \) 与 \( S_{BOC} \) 不一定相似？不，平行导致必然相似）。唯一的可能是，我错误应用了相似比。相似比是边长比，面积比是边长比的平方。从面积12和27，得边长比（如AO:OC）= \( \sqrt{12} : \sqrt{27} = 2\sqrt{3} : 3\sqrt{3} = 2:3 \)， 这没错。等高模型面积比等于底边比，底边OB和OD的比，根据相似三角形，\( \triangle AOD \sim \triangle COB \)， 对应边成比例，OD:OB = AO:OC = 2:3？注意对应边：在 \( \triangle AOD \) 和 \( \triangle COB \) 中，AD对应CB，AO对应OC，OD对应OB。所以AO:OC = OD:OB = 2:3。所以OB:OD = 3:2。所以 \( S_{AOB} : S_{AOD} = OB:OD = 3:2 \)， \( S_{AOB} = 12 * 3/2 = 18 \)。 这推理严密。

矛盾点在于，如果 \( S_{AOB}=18 \)， \( S_{DOC}=18 \) (由蝴蝶公式得)，总面积=75，与90不符。所以，题目中“总面积90”和“S_AOD=12， S_BOC=27”这组数据，在现实几何中是无法同时成立的。但作为一道数学题，我们可以忽略这个现实性，纯粹把它看作一个代数问题：已知三个部分面积和总面积，求另一个部分面积。这时，我们不能再用相似性去推导比例，因为数据本身可能超出几何约束。我们只能用代数方法解方程(1)和(2)。

所以，在本题的语境下，我们应这样解：
已知：S_AOD=12（上）， S_BOC=27（下）， S_AOB=a（左）， S_DOC=b（右）， a+b+12+27=90 -> a+b=51 (1)， 12*27=a*b -> 324=a*b (2)。
解出a和b是12和39。现在需要确定哪个是S_AOB。在梯形中，通常认为S_AOB和S_DOC是相等的吗？不，那只是在S_AOD=S_BOC时才成立。一般情况下，它们不一定相等。但题目没有更多信息，所以两个解都有可能？通常在这种问题中，会根据图形的位置，认为S_AOB是左上的那个三角形，它应该与S_AOD有联系。我们看比例 S_AOD : S_AOB = OD : OB， 而 S_DOC : S_BOC = OD : OB， 所以 S_AOD : S_AOB = S_DOC : S_BOC。
代入数字：若a=12，b=39， 则 12:12=1:1， 39:27=13:9， 不等。
若a=39，b=12， 则 12:39=4:13， 12:27=4:9， 还是不等。
所以两个解都不满足这个比例关系。这进一步证明了题目数据是“凑”的，不满足严格的几何相似。那么，题目可能期望我们直接使用蝴蝶公式和总面积列出方程，并选择其中一个合理的解。观察图形，三角形AOB通常比AOD大吗？不一定。从常见的题型来看，当S_AOD=12， S_BOC=27时，S_AOB往往介于两者之间，所以18更合理，但18不在解中。所以，可能题目中的“总面积90”是用于求出另一个未知数，然后我们用蝴蝶公式。但这里我们有两个未知数。所以更合理的思路是：先用蝴蝶公式求出左右翅膀的乘积，再利用相似比求出它们的比例，解方程组。

让我们放弃“总面积90”这个条件，因为它导致矛盾。或者，也许我误读了题目？题目说“已知梯形总面积是90，且 S_AOD=12， S_BOC=27”， 求S_AOB。这确实是标准题型。我决定采用标准解法：
设S_AOB = x， S_DOC = y。
由蝴蝶定理：12*27 = x*y => xy=324。
由相似三角形AOD∽COB：AO:OC = √12:√27 = 2:3。
在△ABC中，S_AOB : S_BOC = AO:OC = 2:3（等高，从B点向AC作高）？等等，不对。△AOB和△BOC共用顶点B，底边AO和OC在一条线AC上，所以它们等高（从B向AC作高）。所以面积比等于底边比AO:OC=2:3。所以 x : 27 = 2:3 => 3x = 54 => x=18。
完美！这样就不需要总面积条件了！总面积90可能是个冗余条件，或者用于验证（18+y+12+27=90 => y=33， 但18*33=594≠324，矛盾）。所以，题目数据确实有问题。但作为教学，我们以正确的几何关系为准。

因此，在标准的梯形蝴蝶模型中，我们利用相似三角形得到边长比，再利用等高模型得到面积比，是更直接的方法。

所以，对于本题，正确解法是：
因为AD//BC，所以 \( \triangle AOD \sim \triangle BOC \)。
面积比 \( S_{\triangle AOD} : S_{\triangle BOC} = 12:27 = 4:9 \)。
所以，对应边的比 \( AO:OC = OD:OB = \sqrt{4}:\sqrt{9} = 2:3 \)。

现在看 \( \triangle AOB \) 和 \( \triangle BOC \)，它们从B点向对角线AC作高，是等高的！
所以，它们的面积比等于底边比 \( AO:OC = 2:3 \)。
即 \( S_{\triangle AOB} : S_{\triangle BOC} = 2:3 \)。
\( S_{\triangle AOB} : 27 = 2:3 \)
所以，\( S_{\triangle AOB} = 27 \times \frac{2}{3} = 18 \)。

答案：三角形AOB的面积是 \( 18 \)。（总面积90的条件在标准几何中会导致矛盾，但解题时我们优先使用无可争议的几何关系：相似与等高）