零基础图解「相反数」:3步搞定“和为0”的数学舞伴!:典型例题精讲
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最近更新
2025-12-20
关于「相反数」的深度解题指南:零基础小白也能成为数轴达人
💡 阿星起步:相反数的底层逻辑
想象一下,你有一个温度计。今天气温是零上5度,记作 \(+5\)℃。如果明天突然降温,变成了零下5度,记作 \(-5\)℃。这两个温度关于“0度”对称,一个在0的上面,一个在0的下面,它们到0点的“距离”是一样的。
在数学世界里,我们把这样一对特殊的数叫做“相反数”。它们的核心秘密就是:
- 符号永远相反:一个带正号(或省略正号),另一个就一定带负号。
- 数字部分完全相同:也就是它们的“绝对值”相等,就像到0点的距离一样。
- 加在一起,完美抵消为0:\((+5) + (-5) = 0\)。这就是我们的核心隐喻——和为0的舞伴。
所以,学习相反数的本质,就是学习如何在数轴上,为每一个数找到它那个唯一的、对称的、能和自己“抵消”归零的舞伴。它是一切有理数运算的基础。
🔥 三级跳挑战:从入门到大神
【入门例题】请问 \(5\) 的相反数是多少?
阿星拆解:这道题是直接应用定义。
第一步:理解目标
我们要找的是 \(5\) 的“相反数舞伴”。
第二步:应用“和为0”的隐喻
什么样的数加上 \(5\) 会等于 \(0\) 呢?设这个数为 \(x\),那么 \(5 + x = 0\)。
第三步:得出答案
显然,\(x = -5\)。因为只有 \(-5\) 加上 \(5\) 才能等于 \(0\)。
第四步:用定义检查
检查两个特征:1. 符号相反(\(5\) 是正, \(-5\) 是负)。2. 绝对值相等(都是5)。完美!所以 \(5\) 的相反数是 \(-5\)。
【进阶例题】求 \(-(-5)\) 的相反数。
阿星敲黑板:这里的陷阱是双重符号!很多人会看花眼。记住我们的原则:从里到外,一层一层拆。
第一步:化简最里面的部分
我们面对的是 \(-(-5)\)。里面的 \(-5\) 是一个整体。我们知道,一个数前面的负号,表示它的相反数。所以“\(-5\) 的相反数”是多少?
第二步:求 \(-5\) 的相反数
应用“和为0”的隐喻:什么数加上 \(-5\) 等于 \(0\)?设这个数为 \(y\),那么 \((-5) + y = 0\)。显然 \(y = 5\)。所以 \(-(-5) = 5\)。
第三步:回答原问题
原题是问“\(-(-5)\) 的相反数”,现在我们知道了 \(-(-5) = 5\)。那么问题就变成了:求 \(5\) 的相反数。
第四步:最终计算
\(5\) 的相反数是 \(-5\)。
所以,\(-(-5)\) 的相反数是 \(-5\)。
【拔高例题】若一个数的相反数是 \(-\frac{2}{3}\),那么这个数本身是多少?
思维迁移:题目换了个“马甲”,它不再是直接问“A的相反数”,而是反过来,已知“相反数”是谁,问“原数”是谁。这就像知道了舞伴是谁,要找舞伴的舞伴(当然就是你自己)。
第一步:设未知数
设我们要求的这个数是 \(a\)。
第二步:根据题意列关系
题目说“\(a\) 的相反数是 \(-\frac{2}{3}\)”。用数学语言写出来就是:
\(a\) 的相反数 \(= -\frac{2}{3}\)。
第三步:利用“相反数”的定义
“\(a\) 的相反数”怎么表示?就是在 \(a\) 前面加一个负号,即 \(-a\)。
所以上面的关系可以写成:\(-a = -\frac{2}{3}\)。
第四步:解方程,求 \(a\)
现在我们有方程 \(-a = -\frac{2}{3}\)。为了让 \(a\) 自己一边,我们给等号两边同时“穿上相反数的外套”(也就是同时乘以 \(-1\)):
\(-a \times (-1) = -\frac{2}{3} \times (-1)\)
计算得出:\(a = \frac{2}{3}\)。
第五步:用“和为0”验证
\(\frac{2}{3}\) 的相反数是 \(-\frac{2}{3}\) 吗?检验:\(\frac{2}{3} + (-\frac{2}{3}) = 0\)。完全正确!
📝 阿星必背口诀:
符号相反数相等,相加为零是王道。
遇负号,想“反义”,层层剥开见核心。
🚀 举一反三:变式挑战
1. \( -7 \) 的相反数是______。
2. \( 0 \) 的相反数是______。
如果一个数的相反数是它本身,这个数是多少?请用“和为0”的隐喻解释原因。
已知 \( a \) 和 \( b \) 互为相反数,且 \( b = -3.5 \)。
求 \( a - ( -b ) \) 的值。
解析与答案
【详尽解析】
变式一:
1. 根据定义,\(-7\) 的相反数是 \(7\)。因为 \((-7) + 7 = 0\)。
2. \(0\) 的相反数是 \(0\) 本身。因为 \(0 + 0 = 0\),符合“和为0”的定义,且符号(都是0)和绝对值(0)也符合要求。0是一个特殊的数,它的舞伴就是自己。
变式二:
这个数是 \(0\)。
原因解释(用和为0的隐喻): 设这个数是 \(x\)。它的相反数是它本身,即 \(-x = x\)。把这个等式想象成 \(x + (-x) = x + x\),左边是 \(0\),右边是 \(2x\)。所以 \(2x = 0\),因此 \(x = 0\)。从隐喻角度看,只有一个数和自己相加(即和自己“跳舞”)才能得到0,这个数只能是0。
变式三:
核心提示: 关键在于利用“\(a\) 和 \(b\) 互为相反数”这个条件,得到 \(a + b = 0\),即 \(a = -b\)。
解题步骤:
1. 由 \(b = -3.5\),且 \(a\) 与 \(b\) 互为相反数,得 \(a = 3.5\)。
2. 将 \(a = 3.5\) 和 \(b = -3.5\) 代入表达式 \(a - (-b)\)。
3. 计算:\(a - (-b) = 3.5 - [-(-3.5)] = 3.5 - (3.5) = 0\)。
(这里 \(-(-3.5) = 3.5\),是应用了“负负得正”,本质就是相反数的相反数等于本身。)
最终答案: \(0\)。
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