长方体表面积别死记!掌握“包礼物”法,3步拿下所有难题 | 阿星数学指南:典型例题精讲
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最近更新
2025-12-20
长方体表面积深度解题指南:像包礼物一样算包装纸
💡 阿星起步:长方体表面积 的底层逻辑
想象一下,你有一个长方体的礼物盒(比如一盒巧克力),你想用漂亮的包装纸把它完全包起来,需要买多大面积的纸呢?
这就是长方体表面积要解决的问题:算出它所有6个面的面积总和。
怎么算最聪明?不是一个个数6次! 你仔细观察,长方体有“三组”一模一样的长方形对面:前面和后面、左面和右面、上面和下面。所以,我们的核心策略 “求和再乘2” 就登场了:
- 先算“半套”面积:算出(前面 + 左面 + 上面)这三个不同面的面积之和。
- 前面/后面的面积 = 长(\( l \)) × 高(\( h \)) (想象你正对着盒子,看到的那一面)
- 左面/右面的面积 = 宽(\( w \)) × 高(\( h \)) (从侧面看的那一面)
- 上面/下面的面积 = 长(\( l \)) × 宽(\( w \)) (盒子的顶盖或底部)
所以,“半套”面积 = \( l×w + l×h + w×h \)。这个公式里的每一项都代表一个“面族”。
- 再乘2得“全套”:因为每一组都有两个相同的面,所以把“半套”面积乘以2,就得到了总共6个面的面积,也就是表面积公式:
表面积 = \( 2 × (l×w + l×h + w×h) \)
本质:它就是一种高效的“分组打包计算法”,避免了你重复劳动。记住,我们的目标永远是:算清所有外面的“皮肤”面积。
🔥 三级跳挑战:从入门到大神
【入门例题】一个长方体的长 \( l = 5 \) cm,宽 \( w = 4 \) cm,高 \( h = 3 \) cm。求它的表面积。
阿星拆解:这就是最标准的“包礼物盒”问题。我们严格按照“求和再乘2”的步骤来:
- 算“半套”(三种不同的面各一个):
- 上面(或下面)面积 = 长 × 宽 = \( 5 × 4 = 20 \) (cm²)
- 前面(或后面)面积 = 长 × 高 = \( 5 × 3 = 15 \) (cm²)
- 左面(或右面)面积 = 宽 × 高 = \( 4 × 3 = 12 \) (cm²)
- 把这三个面积加起来:\( 20 + 15 + 12 = 47 \) (cm²)。这就是“半套”包装纸的面积。
- 最后乘以2:因为盒子有对称的两半。表面积 = \( 47 × 2 = 94 \) (cm²)。
所以,总共需要 94 平方厘米 的包装纸。
【进阶例题】一个长方体纸箱,长 \( 8 \) dm,宽 \( 5 \) dm,高 \( 20 \) cm。制作这个纸箱需要多少平方分米的纸板?
阿星敲黑板:陷阱来了!题目长和宽的单位是分米(dm),而高的单位是厘米(cm)。我们的公式要求所有边长单位必须统一,否则就像用厘米量身高,用米量脚长,加在一起毫无意义。
化解步骤:
- 统一单位:问题最后问的是“多少平方分米”,所以我们把高的单位也变成分米。因为1 dm = 10 cm,所以高 \( h = 20 \) cm = \( 20 ÷ 10 = 2 \) dm。
- 现在数据统一了:\( l = 8 \) dm, \( w = 5 \) dm, \( h = 2 \) dm。
- 开始“求和再乘2”:
- 半套面积 = \( l×w + l×h + w×h \) = \( (8×5) + (8×2) + (5×2) \) = \( 40 + 16 + 10 = 66 \) (dm²)
- 全套表面积 = \( 66 × 2 = 132 \) (dm²)
记住:计算前先看单位,不统一就先转换! 答案是需要 132 平方分米 的纸板。
【拔高例题】学校要粉刷一间教室(长方体形状)的四面墙壁和天花板。教室长 \( 10 \) m,宽 \( 6 \) m,高 \( 3 \) m。已知门窗总面积是 \( 20 \) m²。需要粉刷的面积是多少平方米?
思维迁移:场景变了!不是包整个礼物盒(算6个面)。现在只粉刷“四面墙”+“一个天花板”,并且还要扣掉门窗。但万变不离其宗,我们依然从理解“每个乘积代表哪个面的面积”这个原点出发。
- 拆解需求,对应到“面”:
- 四面墙壁:这其实就是前面+后面+左面+右面。在公式里,它们对应的是 \( 2 × (l×h + w×h) \)。
- 一个天花板:这就是上面。在公式里,它对应 \( l×w \)。
- 地面不刷,所以下面不算。
- 列式计算总粉刷面积(未扣门窗):
墙壁面积 = \( 2 × (l×h + w×h) = 2 × [(10×3) + (6×3)] = 2 × (30 + 18) = 2 × 48 = 96 \) (m²)
天花板面积 = \( l×w = 10 × 6 = 60 \) (m²)
初步总面积 = \( 96 + 60 = 156 \) (m²) - 扣除非粉刷部分(门窗):
最终需要粉刷的面积 = \( 156 - 20 = 136 \) (m²)
看明白了吗?“求和再乘2”是完整盒子的快速公式。在实际问题中,我们要灵活拆解,看清到底需要哪几个“面”,再选用对应的部分进行计算。 答案是 136 平方米。
📝 阿星必背口诀:
长方体,要包皮,表面积,记心里。
长宽长高与宽高,三组对面藏玄机。
先求半套和是多少,乘二整套不费力。
单位统一先做好,哪面不算要分析!
🚀 举一反三:变式挑战
一个长方体,长 \( 12 \) cm,宽 \( 7 \) cm,高 \( 5 \) cm。它的表面积是多少平方厘米?
一个长方体表面积是 \( 368 \) cm²,已知它的长是 \( 10 \) cm,宽是 \( 6 \) cm,求它的高是多少厘米?
一个无盖的长方体鱼缸,长 \( 0.8 \) m,宽 \( 0.5 \) m,高 \( 0.4 \) m。制作这个鱼缸至少需要多少平方米的玻璃?(提示:无盖 = 少一个面)
解析与答案
【详尽解析】
变式一(模仿练习):直接套用公式。
半套面积 = \( 12×7 + 12×5 + 7×5 = 84 + 60 + 35 = 179 \) (cm²)
表面积 = \( 179 × 2 = 358 \) (cm²)
答案:\( 358 \) cm²。
变式二(逆向思维):设高为 \( h \) cm。根据公式:
\( 2 × (10×6 + 10×h + 6×h) = 368 \)
\( 2 × (60 + 16h) = 368 \)
\( 120 + 32h = 368 \)
\( 32h = 248 \)
\( h = 7.75 \)
答案:高是 \( 7.75 \) cm。
变式三(综合挑战):“无盖”意味着只有5个面(缺一个“上面”)。所需玻璃面积 = 底面积 + 前面×2 + 右面×2。
底面积(下面)= \( 0.8 × 0.5 = 0.4 \) (m²)
前(后)面面积 = \( 0.8 × 0.4 = 0.32 \) (m²) → 两个就是 \( 0.64 \) m²
左(右)面面积 = \( 0.5 × 0.4 = 0.2 \) (m²) → 两个就是 \( 0.4 \) m²
总面积 = \( 0.4 + 0.64 + 0.4 = 1.44 \) (m²)
核心提示:也可以先用完整公式算出6个面面积,再减去一个顶面面积(\( l×w \))。
答案:至少需要 \( 1.44 \) 平方米的玻璃。
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