揭秘屏幕色彩背后的数学：一套题掌握RGB向量空间混合原理：典型例题精讲

💡 阿星精讲：色彩科学 的本质

你眼前五彩斑斓的屏幕，其实是一个巨大的「数学画布」。每个微小的像素点，都不是一个孤立的色块，而是一个有“分量”的数学向量！我们可以把它想象成一个三维空间里的点，它的三个坐标就是 \( R \)（红色强度）、\( G \)（绿色强度）、\( B \)（蓝色强度）。任何一个颜色，比如 \( \text{像素}_\text{颜色} = (R, G, B) \)，都可以看作是三个基向量 \( \vec{r} = (1,0,0) \)、\( \vec{g} = (0,1,0) \)、\( \vec{b} = (0,0,1) \) 的线性组合：\( R \cdot \vec{r} + G \cdot \vec{g} + B \cdot \vec{b} \)。混合颜色就像在向量空间里做加法，调节亮度就像做数乘。这就是「色彩即向量，混合即运算」的数学之美。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案： \( \vec{m} \approx (255, 213, 220) \)。解析见上方阿星拆解。

变式一解析： 比例 \( 3:5 \)，总份数为 \( 8 \)。权重分别为 \( \frac{3}{8} \) 和 \( \frac{5}{8} \)。
\( \vec{m} = \frac{3}{8} \times (0, 128, 128) + \frac{5}{8} \times (128, 128, 128) \)
\( = (0 \times \frac{3}{8} + 128 \times \frac{5}{8}, \quad 128 \times \frac{3}{8} + 128 \times \frac{5}{8}, \quad 128 \times \frac{3}{8} + 128 \times \frac{5}{8}) \)
\( = (80, 128, 128) \)。
答： \( (80, 128, 128) \)，是一种蓝灰色。方法完全相同。

变式二解析： 由题意，\( \vec{t} = \frac{1}{3}\vec{r} + \frac{2}{3}\vec{x} \)。要求 \( \vec{x} \)，可解方程：
\( \frac{2}{3}\vec{x} = \vec{t} - \frac{1}{3}\vec{r} \)
\( \vec{x} = \frac{3}{2} \left( \vec{t} - \frac{1}{3}\vec{r} \right) = \frac{3}{2}\vec{t} - \frac{1}{2}\vec{r} \)。
代入计算：
\( R_x = \frac{3}{2} \times 180 - \frac{1}{2} \times 255 = 270 - 127.5 = 142.5 \approx 143 \)，
\( G_x = \frac{3}{2} \times 140 - \frac{1}{2} \times 0 = 210 \)，
\( B_x = \frac{3}{2} \times 100 - \frac{1}{2} \times 0 = 150 \)。
答： \( \vec{x} \approx (143, 210, 150) \)，是一种黄绿色。

变式三解析： 根据“取最大值”规则逐分量计算：
\( K_c = \max(0.8, 0) = 0.8 \) （青分量），
\( K_m = \max(0, 0.2) = 0.2 \) （品红分量），
\( K_y = \max(0.4, 0.9) = 0.9 \) （黄分量），
\( K_k = \max(0, 0) = 0 \) （黑分量）。
答： \( \vec{K} = (0.8, 0.2, 0.9, 0) \)。
与RGB加法混合（线性组合）的根本不同在于：CMYK叠印是减法混合，且“取最大值”规则是非线性的，它描述的是油墨覆盖的物理叠加（取并集），而非光强度的加权平均。