别再死记公式！用“追及问题”思维，一眼看穿时钟垂直题（附三步通关指南）：典型例题精讲
适用年级
五年级
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-20
💡 阿星起步：时钟垂直的底层逻辑
想象一下，时针和分针是两位在圆形操场上散步的兄弟。
- 分针是个急性子，跑得快，每小时能绕操场跑一整圈（360度）。
- 时针是个慢性子，每小时只跑一个大格（30度），慢悠悠的。
什么叫“垂直”（成90度角）？就是他俩在操场上拉开“一个直角弯”的距离。这个直角弯，换成路程，正好是 \(90^\circ\)。
关键来了： 因为分针追时针，它俩拉开90度距离的机会有两次！
- 第一次： 分针快要追上时针，但还差 \(90^\circ\) 没追上。（落后90度）
- 第二次： 分针刚超过时针，并且多跑了 \(90^\circ\)。（超前90度）
所以，解时钟垂直题，本质上就是解两次“追及问题”：寻找那关键的90度路程差。 公式只是工具，这个“追及+90度差”的画面感，才是解题的魂。
🔥 三级跳挑战：从入门到大神
【入门例题】从钟面显示3点整开始，到3点几分时，时针和分针第一次垂直？
阿星拆解：
第一步：画起点。 3点整，分针在12（起点0），时针在3。时针领先分针 \(90^\circ\)（因为3大格 × \(30^\circ\)/格 = \(90^\circ\)）。
第二步：想过程。 分针开始追时针。我们要找第一次垂直，对应刚才说的第一种情况：分针追到还差90度。但是！起点时时针已经领先90度了。分针要追，就得把落后的距离缩小到90度吗？不对，仔细想：起点时已经是90度了，再成90度，意味着分针需要追上这90度，然后反超到形成新的90度差。这其实是第二种情况（超90度）。所以，第一次垂直，是分针从落后90度，变成反超时针90度。
第三步：列追及。 设3点后 \(x\) 分钟两针垂直。
- 分针速度：\(6^\circ/\text{分}\)
- 时针速度：\(0.5^\circ/\text{分}\)
分针要比时针多跑多少度，才能从落后90度变成反超90度？路程差 = 原来的落后距离（90度）+ 要反超的距离（90度）= \(180^\circ\)。
所以公式来了：（快速 - 慢速）× 时间 = 所需路程差
代入：\((6 - 0.5) \times x = 180\)
第四步：算结果。
\(5.5x = 180\)
\(x = 180 \div 5.5\)
\(x = \frac{180}{5.5} = \frac{1800}{55} = \frac{360}{11}\)
所以，答案是 \(3\) 点 \(\frac{360}{11}\) 分，约等于 \(3\) 点 \(32\frac{8}{11}\) 分。
【进阶例题】在4点到5点之间，时针和分针在什么时刻成直角？
阿星敲黑板：
陷阱提示： 题目问“在4点到5点之间”，这意味着有两次垂直机会！一次是分针追到差90度（第一次垂直），另一次是分针超过时针90度（第二次垂直）。我们必须把两个答案都算出来。
第一步：画起点（4点整）。 分针在12（0度），时针在4（\(4 \times 30 = 120^\circ\)）。时针领先分针 \(120^\circ\)。
第二步：设时间为 \(x\) 分。列两种情况。
情况一（第一次垂直，分针还差90度追上时针）：
追及前的路程差（时针领先）是 \(120^\circ\)。
追及后，我们希望这个差距缩小到 \(90^\circ\)。
所以，分针需要追上的路程是：\(120 - 90 = 30^\circ\)。
公式： \((6 - 0.5) \times x = 30\)
\(5.5x = 30\)
\(x = 30 \div 5.5 = \frac{300}{55} = \frac{60}{11}\)（分）
即约 \(4\) 点 \(5\frac{5}{11}\) 分。
情况二（第二次垂直，分针反超时针90度）：
从领先120度，到被反超90度，分针需要比时针多跑：\(120 + 90 = 210^\circ\)。
公式： \((6 - 0.5) \times x = 210\)
\(5.5x = 210\)
\(x = 210 \div 5.5 = \frac{2100}{55} = \frac{420}{11}\)（分）
即约 \(4\) 点 \(38\frac{2}{11}\) 分。
所以答案是两个时刻：\(4\) 点 \(\frac{60}{11}\) 分 和 \(4\) 点 \(\frac{420}{11}\) 分。
【拔高例题】小明从镜子里看到钟面显示的时间是6点20分，那么实际时刻，时针和分针的夹角是多少度？此时它们离垂直（成90度）还有多少分钟？
思维迁移：
这题换了“镜子”马甲，但核心还是时钟角度计算和“追90度差”。
第一步：破解镜子时间。 镜面成像左右相反。镜子看到6点20分，实际时间是5点40分。（窍门：用11:60减去所见时间，即11:60 - 6:20 = 5:40）
第二步：计算5点40分时的夹角。
- 分针位置：40分 → \(40 \times 6 = 240^\circ\)
- 时针位置：5点整在 \(150^\circ\)，40分钟又走了 \(40 \times 0.5 = 20^\circ\)，所以时针在 \(150 + 20 = 170^\circ\)。
夹角 = \(|240 - 170| = 70^\circ\)。因为分针在时针前面，所以是分针领先时针 \(70^\circ\)。
第三步：算离垂直还有多久。 现在分针领先 \(70^\circ\)。要成直角（90度），分针需要把领先优势扩大到 \(90^\circ\)，也就是需要再多跑 \(90 - 70 = 20^\circ\)。
但是！注意速度关系：时针也在动。这不是分针独自跑20度，而是分针要比时针再多跑20度。这又回到了我们的核心——追及问题！
设需要 \(t\) 分钟。
公式：（分针速 - 时针速）× 时间 = 需要扩大的角度差
\((6 - 0.5) \times t = 20\)
\(5.5t = 20\)
\(t = 20 \div 5.5 = \frac{200}{55} = \frac{40}{11}\)（分）
即约 \(3\frac{7}{11}\) 分钟后垂直。
所以答案是：实际夹角为 \(70^\circ\)，约 \(\frac{40}{11}\) 分钟后两针垂直。
📝 阿星必背口诀：
时钟垂直不难搞，追及问题藏里找。
先看起点谁领先，路程差是妙法宝。
差九十度第一次，超九十度第二次到。
快减慢速乘时间，等于所需角度差，一定对牢！
🚀 举一反三：变式挑战
从7点整开始，到7点几分，时针与分针第一次重合？（提示：重合就是路程差为0度或360度）
在2点到3点之间，时针和分针成 \(60^\circ\) 夹角的时刻有哪些？（提示：把90度换成60度，思路完全一样）
钟面上，在12小时内（例如从0点到12点），时针和分针一共会垂直多少次？（提示：想想每小时内通常有几次垂直机会？有没有例外小时？）
解析与答案
【详尽解析】
变式一解析： 7点整，时针在210度，分针在0度，时针领先210度。设x分钟后重合，即分针追上时针，需多跑210度（或比时针多跑210度）。方程：\((6 - 0.5)x = 210\)，解得 \(x = \frac{420}{11}\) 分。即约 \(7\) 点 \(38\frac{2}{11}\) 分重合。
变式二解析： 思路与求直角完全相同。2点整，时针领先60度。
情况一（成60度且未追上）： 分针追到差60度，需追路程差为 \(60 - 60 = 0\)？不对！起点已领先60，要变成差60度（分针落后），意味着分针需要追上这60度并反超到新的60度差吗？仔细分析：目标夹角60度有两种位置关系。设时间为x分。
1. 分针在时针后60度：\((6-0.5)x = 60 - 60 = 0\)，解得x=0（即2点整），符合。
2. 分针在时针前60度：\((6-0.5)x = 60 + 60 = 120\)，解得 \(x=\frac{240}{11}\) 分，约2点21\(\frac{9}{11}\)分。
情况二（超过后成60度）： 分针需要比时针多跑 \(60 + 60 = 120\)度（从领先到落后60度，实际需追120度）？不对，已经算过了。另一种情况是分针从领先变为落后更多？实际上，在2点到3点间，两针从2点整的60度开始，角度先缩小后扩大，会有两次成60度：一次是分针在时针后60度（起点），一次是分针在时针前60度（如上计算）。接下来，分针超过时针后，还会再次形成分针在前60度和时针在前60度的情况。总共是4次。通用公式：设起点夹角为 \(\theta\)，则满足 \(|(6-0.5)x - \theta| = 60\) 或 \(|(6-0.5)x - \theta| = 360-60=300\)（因为夹角取小于180度）。解这两个方程即可得到四个解，其中在2点到3点区间内的两个解为：\(x=0\) 和 \(x=\frac{240}{11}\)。
变式三核心提示： 大多数小时（如1点到2点）有两次垂直机会。但有两个特殊小时：3点到4点（只有一次，因为另一次在4点整），9点到10点（同理）。仔细计算，12小时内，除了3点和9点两个区间各只有1次，其他10个区间各有2次，所以总次数为 \(10 \times 2 + 2 \times 1 = 22\) 次。这是时钟问题的经典结论。
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