环形跑道追及问题全解：掌握“同向差一圈，反向和一圈”就赢了！：典型例题精讲

阿星拆解：

1. 判断类型：题目说“同时同向”，这对应我们的核心——同向即追及。

2. 抓住本质：同向追及时，快的人比慢的人多跑一圈（400米）。这是解题的“金钥匙”。

3. 列关系式：设需要的时间是 \( t \) 秒。
小明的路程：\( 5t \) 米
小红的路程：\( 3t \) 米
核心关系：小明的路程 - 小红的路程 = 一圈的长度
所以方程是：\( 5t - 3t = 400 \)

4. 计算求解：
\( 2t = 400 \)
\( t = 400 \div 2 \)
\( t = 200 \) (秒)

答：小明第一次追上小红需要 200秒。

阿星敲黑板：

陷阱1： 这里是“反向”，不是“同向”！要用“反向即相遇”的逻辑。

陷阱2： 问的是“第10次相遇”，不是第一次！这是多次相遇问题。

化解步骤：

1. 判断类型：“同时反向” → 反向即相遇。

2. 抓住单次相遇本质：反向相遇一次，两人路程和等于一圈（300米）。

3. 拓展到多次相遇：相遇第10次，意味着两人从出发到现在跑的总路程和，等于10圈的长度。
总路程和：\( 10 \times 300 = 3000 \) 米。

4. 求甲的路程：设到第10次相遇时用了 \( t \) 秒。
甲的路程 + 乙的路程 = 3000米
\( 1 \times t + 2 \times t = 3000 \)
\( 3t = 3000 \)
\( t = 1000 \) 秒

那么甲跑的路程就是：\( 1 \times 1000 = 1000 \) 米。

答：甲一共跑了 1000米。

思维迁移：

这道题披上了“时钟”和“动物赛跑”的外衣，但骨子里还是环形追及问题！

1. 化归模型：我们把分针这条线，看作一条长度会变化的环形跑道。蚂蚁在“外道”（尖端），蜗牛在“内道”（从中心向外爬）。它们在同一条半径上运动，所以是同向追及！

2. 分析关键量：
- 跑道长度（周长）：蚂蚁所在的“外道”周长是 \( 2 \times \pi \times 20 \approx 125.6 \) 厘米。
- 蚂蚁速度：分针60分钟转一圈，所以蚂蚁速度 \( V_{蚁} = 125.6 \div 3600 \approx 0.0349 \) 厘米/秒。（单位换算成秒）
- 蜗牛速度：\( V_{牛} = 1 \) 厘米/秒。
⚠️ 注意：蜗牛的速度（1厘米/秒）远远大于蚂蚁的速度（约0.035厘米/秒）！所以在这个“环形追及”中，蜗牛是“快者”，蚂蚁是“慢者”。

3. 应用本质：同向追及，快者（蜗牛）要追上慢者（蚂蚁），需要比蚂蚁多跑一圈（125.6厘米）。但这里情况特殊：蜗牛是从圆心（起点落后蚂蚁20厘米）开始追的，初始路程差是20厘米，不是一圈。但我们先看速度差：
速度差 \( = 1 - 0.0349 \approx 0.9651 \) 厘米/秒。
蜗牛要弥补初始的20厘米差距，理论上需要时间：\( 20 \div 0.9651 \approx 20.72 \) 秒。

4. 得出结论：20.72秒远小于分针转动一圈的3600秒。所以，蜗牛很快就能追上蚂蚁！根本用不了一圈时间。

答：能追上，而且只需要大约21秒。