环形跑道相遇问题一招通解：拉直思维，秒变相遇追及基础题！：典型例题精讲

阿星拆解：

第一步：识别问题类型，套用“核心隐喻”。

①反向跑：相遇问题。 拉直看，两人要共同跑完一圈才能相遇。

路程和 = 1圈 = \(100\)米

速度和 = 阿星速度 + 小白速度 = \(3+2=5\) (米/秒)

相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和 = \(100 \div 5 = 20\) (秒)

②同向跑：追及问题。 拉直看，阿星要比小白多跑一圈才能追上。

路程差 = 1圈 = \(100\)米

速度差 = 阿星速度 - 小白速度 = \(3-2=1\) (米/秒)

追及时间 = 路程差 ÷ 速度差 = \(100 \div 1 = 100\) (秒)

阿星敲黑板：这道题的陷阱是单位不一致！速度单位是“米/秒”，但给的时间是“1分15秒”。我们必须先统一单位。

第一步：统一时间单位。\(1\)分\(15\)秒 = \(60+15=75\)秒。

第二步：识别类型，反向跑是相遇问题。

核心关系：路程和 = 速度和 × 相遇时间 = 1圈

第三步：设乙的速度为\(v\)米/秒。

根据公式： \((4 + v) \times 75 = 300\)

第四步：解方程，计算过程严禁跳步。

\(4 + v = 300 \div 75\)

\(4 + v = 4\)

\(v = 4 - 4\)

\(v = 0\)

咦？乙的速度是0？这意味着乙根本没动，甲一个人用75秒跑了一圈。我们来验证一下：甲75秒跑的路程是\(4 \times 75 = 300\)米，正好一圈。所以乙的速度确实是0米/秒。这种情况虽然少见，但在数学上是成立的！

思维迁移：题目场景变成了三个人，而且要求“同时在起点相遇”，看起来很复杂。但别怕，我们依然可以用“拉直看”的核心思想，把它拆解成我们熟悉的两人模型。

第一步：拆解问题。 “三人同时在起点相遇”意味着：甲回到了起点，乙回到了起点，丙也回到了起点。也就是说，他们各自走的时间，都必须是各自“走一圈所需时间”的整数倍。

所以，我们需要求出三个人各自走一圈需要的时间。

甲一圈时间： \(400 \div 80 = 5\) (分钟)
乙一圈时间： \(400 \div 60 = \frac{20}{3}\) (分钟)
丙一圈时间： \(400 \div 50 = 8\) (分钟)

第二步：转化问题。 现在问题变成了：求一个最短的时间T，使得T同时是5、\(\frac{20}{3}\)、8的整数倍。也就是求这三个数（严格说是三个时间周期）的最小公倍数。

第三步：计算最小公倍数。

先把分数化简约分：\(\frac{20}{3}\)已是最简。

求5、\(\frac{20}{3}\)、8的最小公倍数。可以先将它们都化为以\(\frac{1}{3}\)分钟为单位：

\(5 = \frac{15}{3}\), \(\frac{20}{3}\), \(8 = \frac{24}{3}\)

现在求分子15, 20, 24的最小公倍数。

15 = 3×5
20 = 2×2×5
24 = 2×2×2×3
最小公倍数 = 2×2×2×3×5 = 120

所以，时间 \(T = \frac{120}{3} = 40\) (分钟)。

结论：出发后至少\(40\)分钟，三人第一次同时在起点相遇。在这个时间里，甲跑了8圈，乙跑了6圈，丙跑了5圈。