一招破解“圆中方”面积难题：图解对角线隐藏公式 | 小学数学秘籍：典型例题精讲
适用年级
五年级
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⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-20
🧩 圆中方：如何一眼看穿隐藏的正方形？
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
“圆中方”问题常常让人头晕：到底是谁在谁里面？面积有什么关系？别急，我们把抽象的面积计算，变成一个切蛋糕的物理场景。
核心钥匙🔑： 圆里的最大正方形，它的对角线恰好就是圆的直径！而一个正方形的面积，除了“边长×边长”，还有一个隐藏公式：面积 = 对角线 × 对角线 ÷ 2。
👀 看图说话：把“隐形”的对角线变成“看得见”的尺子
关键点拨：
图中绿色虚线既是正方形的对角线，也穿过了圆心，成为圆的直径。这就是连接圆和方的“秘密桥梁”。“圆中方”问题中，正方形的边长很难直接求，但它的对角线（d）却一目了然——就等于圆的直径。 所以，我们完全绕开边长，用这个“隐形数字”d，通过公式 d × d ÷ 2 直接击中正方形面积。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】在一个直径是10厘米的圆形纸片上，剪出一个最大的正方形，这个正方形的面积是多少平方厘米？
阿星的显微镜
“最大正方形”意味着它的四个顶点都在圆周上，此时对角线 = 直径 = 10厘米。
标准算式：正方形面积 = 对角线 × 对角线 ÷ 2 = \(10 \times 10 \div 2 = 50\)（平方厘米）。
【易错陷阱】已知一个圆内最大正方形的面积是32平方厘米，求这个圆的面积。
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：先求正方形边长：\( \sqrt{32} \approx 5.66\)，然后错误地认为圆的直径等于边长，或者用边长去瞎猜半径，结果全错。
图解陷阱：错就错在把视线锁定在了边长上，而忘了图中那条更关键的线——对角线！
正确思路：利用核心公式反向推导。已知正方形面积 = d×d÷2 = 32，所以 d×d = 64，因此对角线 d = 8厘米（即圆的直径）。圆的半径 r = 4厘米，圆面积 = \(π \times 4^2 = 16π\)（约50.24）平方厘米。
【高手进阶】一位工匠要制作一个圆形的中国传统窗棂，窗棂外框是圆形，内部要镶嵌一个最大的正方形木格。已知圆形外框的半径是15分米，那么镶嵌用的正方形木格面积有多大？
思维迁移：这活脱脱就是一个“圆中方”的实物模型！无论问题是“窗棂”、“圆桌配方垫”还是“圆池中方砖”，只要抓住在圆内找最大正方形这个本质，解题钥匙永远不变：正方形对角线 = 圆的直径。本题直径 = 15×2=30分米，正方形面积 = 30×30÷2=450平方分米。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
圆中方，方对角，等于直径别忘掉。
面积不用求边长，乘除二里藏诀窍。
🚀 举一反三：巩固练习
一个圆的直径是8米，它内部最大正方形的面积是多少平方米？
（易错题）一个圆内最大正方形的边长是6厘米，这个圆的面积是多少平方厘米？
（生活应用）一个圆形喷泉池，半径为5米。要在池底铺上最大的正方形瓷砖区域，需要准备多少平方米的瓷砖？
📚 答案与解析
【答案速查】
- 练习一：32平方米。解析：直径=8米，即正方形对角线。面积=8×8÷2=32。
- 练习二：18π平方厘米（约56.52平方厘米）。解析（避坑）：已知边长，先求对角线。正方形对角线 = 边长×√2 = 6√2厘米（即圆的直径）。半径 r = 3√2厘米。圆面积 = π×(3√2)² = π×18 = 18π。
- 练习三：50平方米。解析：圆形半径5米，直径10米。正方形瓷砖区域面积 = 10×10÷2=50平方米。
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