鸡兔同笼假设法一看就懂:阿星的“补腿”图解与三级跳难题攻克:典型例题精讲
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最近更新
2025-12-20
鸡兔同笼(假设法)深度解题指南:阿星的“补腿大法”
💡 阿星解密:为什么公式长这样?
想象一下,你面前有一个笼子,里面有若干只鸡和兔子,但混在一起分不清。我们只知道“头的总数”和“腿的总数”。怎么算出各有几只呢?
阿星的钥匙是:先统一标准,再找回差异。
- 假设全是鸡:先把所有动物都想象成只有2条腿的鸡。用总头数 × 2,就能算出一共有多少条腿(这是“假设的腿数”)。
- 发现腿少了:比较一下“假设的腿数”和题目告诉我们的“实际腿数”,肯定会少。少的这些腿是从哪来的?因为里面混进了兔子!兔子有4条腿,我们只给它算了2条,所以每只兔子都“欠”2条腿。
- 把兔子腿补回去:每补上2条腿,就是把1只“假鸡”还原成1只真兔子。所以,用“少的总腿数” ÷ “每只兔子欠的2条腿”,就能算出有多少只兔子。
关键点拨: 这个流程图的核心是发现并解释“差额”。那个容易被忽略的“隐形数字”是“2”——每只兔子比鸡多出的腿数。它就像一把尺子,把“腿的总差额”量度成“兔子的只数”。这个过程的关键在于,我们先创造了一个“全是鸡”的平行世界,然后通过“补腿”这个动作,一步一步把兔子从这个平行世界里“找”出来。
🔥 三级跳挑战:从陷阱到精通
【母题演示】笼子里有鸡和兔,共3个头,8条腿。鸡和兔各有几只?
阿星的显微镜(画图验证):
我们先不用公式,用最笨的方法把所有可能列出来:
如果3只全是鸡(🐔🐔🐔):腿数 = 3×2 = 6条 ❌(不够8条)
如果2鸡1兔(🐔🐔🐇):腿数 = 2×2 + 1×4 = 8条 ✅
如果1鸡2兔(🐔🐇🐇):腿数 = 1×2 + 2×4 = 10条 ❌
如果0鸡3兔(🐇🐇🐇):腿数 = 0×2 + 3×4 = 12条 ❌
所以答案是:鸡2只,兔1只。
标准算式(假设全是鸡):
假设全是鸡,腿应有:\( 3 \times 2 = 6 \) (条)
比实际少:\( 8 - 6 = 2 \) (条)
每只兔子补2条腿,所以兔子有:\( 2 \div 2 = 1 \) (只)
鸡有:\( 3 - 1 = 2 \) (只)
【易错陷阱】鸡兔同笼,共35个头,94条腿。鸡兔各多少?
阿星的避雷针:
大多数人会怎么错:看到数字变大,容易慌乱。常见错误:① 直接用94 ÷ 4 去求兔子(没考虑鸡);② 直接用94 ÷ 2 去求总动物数(把腿当头了);③ 算出差额后,忘记除以2。
图解陷阱:错误①和②的根源是没有先建立“全是鸡”的假设世界。他们试图直接混合计算,就像不先数清总人数,就直接去分两种不同价格的票,必然混乱。
正确思路(代入核心隐喻):
1. 假设35只全是鸡,腿应有 \( 35 \times 2 = 70 \)条。
2. 阿星发现腿少了:实际94条,少了 \( 94 - 70 = 24 \)条。
3. 这24条腿,要给兔子补回去。每只兔子补2条。
4. 所以兔子有 \( 24 \div 2 = 12 \) 只。
5. 鸡有 \( 35 - 12 = 23 \) 只。
【高手进阶】停车场有三轮车和小汽车共20辆,总共68个轮子。三轮车和小汽车各有多少辆?(汽车4个轮子)
思维迁移:这根本不是“鸡兔”了,但模型一模一样!“三轮车”就是新“鸡”(3条腿/轮),“小汽车”就是新“兔”(4条腿/轮),“头”就是车辆总数。 核心动作依然是“假设全是某一种,比较差额,再替换”。
阿星解题:
假设全是三轮车,轮子应有:\( 20 \times 3 = 60 \)个。
比实际少了:\( 68 - 60 = 8 \)个轮子。
每辆小汽车比三轮车多1个轮子,所以小汽车有:\( 8 \div 1 = 8 \)辆。
三轮车有:\( 20 - 8 = 12 \)辆。
📝 阿星的定海神针(口诀):
假设全是鸡,腿少要补齐。
每差两条腿,一兔换一鸡。
(如果假设全是兔,口诀就变成:腿多要减去,每差两条腿,一鸡换一兔。)
🚀 举一反三:巩固练习
鸡兔同笼,共10个头,26条腿。鸡兔各几只?
小明用62元钱买了5角和2元的邮票共40张。两种邮票各买了多少张?(小心单位!可以把“角”全化为“元”,或把“5角”想成“0.5元”)
一场知识竞赛,答对一题得5分,答错(或不答)一题扣2分。小华所有题都做了,得了72分,已知有20道题。她答对了几道题?(提示:假设全部答对…扣分相当于“欠”分)
📚 答案与解析
【答案速查】
- 练习一:鸡7只,兔3只。(假设全鸡:腿20,差6,兔=6÷2=3)
- 练习二:5角邮票24张,2元邮票16张。(假设全买5角邮票:花0.5×40=20元,差62-20=42元。每张2元邮票比5角多1.5元,2元邮票=42÷1.5=28张 ❌ 错!单位要统一。正确:假设全买0.5元的,花20元,差42元。每张2元的差1.5元,所以2元邮票=42÷1.5=28张?总张数40不对。检查:总花费0.5x+2y=62, x+y=40。用假设法:假设全买2元的,花80元,多80-62=18元。每张5角(0.5元)的少算1.5元,所以5角的=18÷1.5=12张,2元的28张。验证:0.5*12+2*28=6+56=62✅)更正:2元邮票28张,5角邮票12张。
- 练习三:答对16道。(假设全对:得5×20=100分,比实际多100-72=28分。每错一题,不仅5分得不到,还要倒扣2分,相当于从总分里减去7分。所以答错题数=28÷7=4道,答对20-4=16道。)
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