四年级数学期末急救：乘法积的变化规律易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲
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四年级
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2025-12-22
💡 阿星精讲：乘法积的变化规律 的核心避坑原理
- 概念重塑：想象一下，一个气球（面积）由它的长度（A）和宽度（B）相乘得到：\( A \times B = C \)。
- 气球的“大小”（积C），就看“长度”和“宽度”怎么变。
- 一个吹气，一个放气：如果长度 \(A\) 乘 \(2\)（吹成 \(2\) 倍长），同时宽度 \(B\) 除以 \(2\)（放气到一半宽），那么气球的大小 \(C\) 根本不会变！因为一个“拉长”的效果刚好被一个“变窄”的效果抵消了。
- 两个一起吹气：如果长度 \(A\) 乘 \(2\)，宽度 \(B\) 也乘 \(2\)，那气球可就“膨胀”大了！它的大小 \(C\) 要乘上 \(2 \times 2 = 4\)。
- 避坑口诀：
你吹我吸，大小不变；
你我同吹，越吹越大（积的变化要相乘！）
⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”
- ❌ 陷阱一（概念混淆型）：看到“乘”和“除以”就以为积一定会变。错误地认为，只要有变化，结果就不同。
✅ 正解：关键看变化的因数之间是“抵消”还是“叠加”。一个因数乘 \(m\)，另一个因数除以 \(m\)，积不变。 - ❌ 陷阱二（视觉误导型）：当题目说“A乘2，B乘3”，直接得出“积乘(2+3)=5”的错误结论。
✅ 正解：变化是“连锁反应”，不是简单相加。应该是积乘 \(2 \times 3 = 6\)。 - ❌ 陷阱三（计算粗心型）：在连续多步变化的题目中，只算了第一步或者最后一步的变化，漏掉了中间某个因数的变化。
✅ 正解：必须追踪每一个因数的变化，将所有变化倍数连乘起来，才是积最终的变化。
🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）
【易错题1：概念陷阱】 已知 \( M \times N = 360 \)。如果 \( M \) 乘 \(5\)，要使积不变，\( N \) 应该（ ）。
💀 错误率：85%
❌ 常见错误：填“除以5”的同学只占一半。很多同学会填“乘5”（以为一起变大），或者“除以0”、“减去5”等，完全没有理解“抵消”的概念。
✅ 阿星解析：根据“吹气球原理”，一个因数 \(M\) 被吹大了 \(5\) 倍，要想让气球大小（积）不变，另一个因数 \(N\) 必须“放气”到原来的 \(\frac{1}{5}\)，也就是除以 \(5\)。公式上，新积 = \((M \times 5) \times (N \div 5) = M \times N \times (5 \div 5) = M \times N \times 1\)。
【易错题2：思维陷阱】 如果 \( A \times B \times C = 100 \)。现在 \( A \) 乘 \(4\)，\( B \) 除以 \(2\)，\( C \) 乘 \(5\)，那么新的积是多少？
💀 错误率：90%
❌ 常见错误：很多同学只关注两个数的变化，漏掉第三个。例如，只算 \(A\)乘\(4\)和\(B\)除以\(2\)，得到积乘 \(4 \div 2 = 2\)，忘了\(C\)也变了。或者错误地计算变化总和：\(4 + 2 + 5\)。
✅ 阿星解析：把三个因数的变化倍数“连乘”起来，就是积的总变化倍数。
变化倍数 = \(4 \times (\frac{1}{2}) \times 5 = 10\)。注意：\(B\)除以\(2\)，相当于乘 \(\frac{1}{2}\)。
所以新积 = \(100 \times 10 = 1000\)。
【易错题3：大题陷阱】 一个长方形果园，原长 \(a\) 米，宽 \(b\) 米，面积是 \(S\) 平方米。为了扩大种植，现将长扩大到原来的 \(3\) 倍，宽增加了原来的 \(2\) 倍。
- 扩大后的长是多少米？宽是多少米？
- 扩大后的面积是原来面积的多少倍？
💀 错误率：95%
❌ 常见错误：
- 第1问：将“宽增加了原来的 \(2\) 倍”错误理解为“宽扩大到原来的 \(2\) 倍”。正确应为：新宽 = \(b + b \times 2 = 3b\)，即扩大到原来的 \(3\) 倍。
- 第2问：直接用第1问的错误结果计算，或者认为长乘3，宽乘2，所以面积乘 \(3+2=5\) 倍。
✅ 阿星解析：
- 长扩大到原来的 \(3\) 倍：新长 = \(a \times 3 = 3a\)。
“宽增加了原来的 \(2\) 倍”：意思是宽多了 \(2\) 个原来的 \(b\)，所以新宽 = \(b + 2b = 3b\)，即扩大到原来的 \(3\) 倍。 - 原面积 \(S = a \times b\)。新面积 = \((a \times 3) \times (b \times 3) = a \times b \times 9 = S \times 9\)。
所以面积是原来的 \(9\) 倍。 变化倍数连乘：\(3 \times 3 = 9\)。
🚀 易错专项训练（你能全对吗？）
第一关：火眼金睛（判断对错 5题）
- 在乘法里，两个因数都乘同一个数，积不变。（ ）
- 一个因数乘 \(5\)，另一个因数除以 \(5\)，积乘 \(25\)。（ ）
- 已知 \(A \times B = 120\)，如果 \(A\) 乘 \(4\)，\(B\) 乘 \(4\)，那么新积是 \(480\)。（ ）
- “一个因数扩大到原来的 \(10\) 倍”和“一个因数乘 \(10\)”意思相同。（ ）
- 一个长方形的长乘 \(3\)，宽不变，面积就扩大到原来的 \(3\) 倍。（ ）
第二关：防坑演练（填空 5题）
- 两个数的积是 \(45\)，如果一个因数乘 \(6\)，另一个因数不变，积是（ ）。
- \(P \times Q = 600\)，如果 \(P\) 除以 \(10\)，\(Q\) 乘 \(10\)，积是（ ）。
- 两个数的乘积是 \(72\)，如果一个因数乘 \(2\)，另一个因数乘 \(3\)，那么积是（ ）。
- 一个因数乘 \(8\)，另一个因数（ ），积不变。
- 根据 \(16 \times 25 = 400\)，直接写出下面算式的结果：
\(32 \times 25 = \)（ ）
\(16 \times 75 = \)（ ）
\( (16 \div 4) \times (25 \times 4) = \)（ ）
答案与详细解析
第一关：火眼金睛
- ❌ 错。 都乘同一个数，变化倍数叠加，积会变。例如 \(2\times3=6\)，都乘\(2\)得\((2\times2)\times(3\times2)=24\)，是原来的\(4\)倍。
- ❌ 错。 一个乘 \(5\)，一个除以 \(5\)，变化抵消，积不变。
- ❌ 错。 新积 = \(120 \times 4 \times 4 = 120 \times 16 = 1920\)。
- ✅ 对。 两种表述意思完全一样。
- ✅ 对。 面积 = 长 × 宽，长乘 \(3\)，宽不变，面积自然乘 \(3\)。
第二关：防坑演练
- 270。解析：一个因数乘 \(6\)，积也乘 \(6\)，\(45 \times 6 = 270\)。
- 600。解析：一个除以 \(10\)，一个乘 \(10\)，抵消，积不变。
- 432。解析：积的变化倍数 = \(2 \times 3 = 6\)。新积 = \(72 \times 6 = 432\)。
- 除以 \(8\)。解析：必须进行相反操作才能抵消，维持积不变。
-
\(32 \times 25 = \) 800。解析：\(16\) 乘 \(2\)，\(25\) 不变，积乘 \(2\)。\(400 \times 2 = 800\)。
\(16 \times 75 = \) 1200。解析：\(25\) 乘 \(3\)，\(16\) 不变，积乘 \(3\)。\(400 \times 3 = 1200\)。
\( (16 \div 4) \times (25 \times 4) = \) 400。解析：一个除以 \(4\)，一个乘 \(4\)，变化抵消，积不变。
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