初一数学期末急救：有理数的乘方（底数是谁）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

💡 阿星精讲：有理数的乘方（底数是谁） 的核心避坑原理

• 概念重塑：同学们，乘方运算就像一个“盖章”游戏。指数（右上角的小数字）决定了你要盖几次章，而 底数（被盖章的对象）才是关键！阿星的“括号保护伞”比喻太形象了：括号就是底数的雨伞。伞里有什么，什么就一起被“平方”（或乘方）。伞外的东西，只能看着，不能参与运算。所以，计算 \( -2^2 \) 时，负号在伞外淋雨，只有 \( 2 \) 在伞下被平方，结果是 \( -4 \)。而 \( (-2)^2 \) 时，负号和 \( 2 \) 都在伞的保护下，一起被平方，得 \( 4 \)。
• 避坑口诀：先找底，再算幂，括号就是保护伞。 遇到乘方别着急，瞪大眼睛看仔细，伞下成员全参与，伞外负号靠边去。

⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”

• ❌ 陷阱一（概念混淆型）：看到 \( -a^n \) 就认为是 \( (-a)^n \)，误以为负号总是和字母/数字一起作为底数。→ ✅ 正解：\( -a^n \) 的底数是 \( a \)，指数 \( n \) 只作用于 \( a \)，前面的负号是单独的运算（可看作 \( -1 \times a^n \)）。除非写成 \( (-a)^n \)，负号才属于底数。
• ❌ 陷阱二（视觉误导型）：遇到分数或复杂式子做底数时，如 \( \frac{2}{3}^2 \) 或 \( 2 \times 3^2 \)，容易把整个式子当成底数。→ ✅ 正解：只有被括号包裹的部分才是底数。\( \frac{2}{3}^2 \) 的底数只是 \( 3 \)，而 \( (2 \times 3)^2 \) 的底数才是 \( 2 \times 3 \)。“伞”没罩住的部分，就不是一家人。
• ❌ 陷阱三（计算粗心型）：在混合运算中，如 \( -2^2 + (-2)^2 \)，容易分别算成 \( 4+4=8 \) 或 \( -4+(-4)=-8 \)。→ ✅ 正解：严格遵循“先乘方，后乘除，最后加减”的顺序，并在乘方这一步就看清底数：\( -2^2 = -4 \)，\( (-2)^2 = 4 \)，所以原式 \( = -4 + 4 = 0 \)。

🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）

🚀 易错专项训练（你能全对吗？）

第一关：火眼金睛（判断对错 5题）

1. \( -5^2 = 25 \) （ ）
2. \( (-3)^3 = -27 \) （ ）
3. \( \frac{1}{2}^2 = \frac{1}{4} \) （ ）
4. \( -2^2 \) 和 \( (-2)^2 \) 互为相反数。 （ ）
5. \( (-1)^{2024} = -1 \) （ ）

第二关：防坑演练（填空 5题）

1. 计算：\( -1^2 + (-1)^2 + (-1^3) = \) ______。
2. 底数是 \( -\frac{1}{2} \)，指数是 3 的幂写成乘方形式是 ______，结果是 ______。
3. 若 \( a = -2^2 \), \( b = (-2)^2 \), \( c = -(2)^2 \)，则 \( a, b, c \) 的大小关系是 ______。
4. 一个数的立方是 \( -\frac{8}{27} \)，则这个数是 ______。
5. 计算：\( (-2) \times \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 3^2 \div (-3) = \) ______。

答案与详细解析

第一关：火眼金睛

1. ❌ 错。 解析：\( -5^2 = -(5^2) = -25 \)。
2. ✅ 对。 解析：底数是 \( -3 \)，三次方为负，\( (-3)^3 = -27 \)。
3. ❌ 错。 解析：乘方只作用于分母 \( 2 \)，应为 \( \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2} \)。若要平方整个分数，需写为 \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)。
4. ✅ 对。 解析：\( -2^2 = -4 \)，\( (-2)^2 = 4 \)，\( -4 \) 和 \( 4 \) 互为相反数。
5. ❌ 错。 解析：底数是 \( -1 \)，指数 \( 2024 \) 是偶数，结果为 \( 1 \)。

第二关：防坑演练

1. 答案： \( -1 \)。解析：\( -1^2 = -1 \)，\( (-1)^2 = 1 \)，\( (-1^3) = -(1^3) = -1 \)。原式 \( = -1 + 1 + (-1) = -1 \)。
2. 答案： \( \left(-\frac{1}{2}\right)^3 \)，\( -\frac{1}{8} \)。解析：底数需用括号括起，\( \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8} \)。
3. 答案： \( a = c < b \)。解析：\( a = -2^2 = -4 \)，\( b = (-2)^2 = 4 \)，\( c = -(2)^2 = -4 \)，所以 \( a = c = -4 < 4 = b \)。
4. 答案： \( -\frac{2}{3} \)。解析：立方保持符号，\( \left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27} \)。
5. 答案： \( 2 \)。解析：原式 \( = (-2) \times \frac{1}{4} - 9 \div (-3) = (-\frac{1}{2}) - (-3) = -\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2} \) 或 \( 2.5 \)。注意 \( 3^2 = 9 \)，底数是 \( 3 \)。