一年级数学期末急救：长方体与正方体易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲
适用年级
一年级
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最近更新
2025-12-21
💡 阿星精讲：长方体与正方体 的核心避坑原理
- 概念重塑：把一堆小正方体看成你搭的积木城堡！阿星问你城堡用了多少块积木，你不能只数最上面一层闪闪发光的屋顶，而忘了底下默默支撑的墙和地基。记住阿星的秘诀：“上面的积木不能悬空，下面一定躲着一个支撑它的积木！” 所以，数的时候要像侦探一样，想象那些被压在下面、藏在后面的“隐身”积木。
- 避坑口诀：
数积木，要细心，从上到下慢慢清。
看得见，要数清，藏起来的别忘记！
没有“地基”空中楼，这种想法快抛弃！
⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”
- ❌ 陷阱一（概念混淆型）：认为“看起来方方的”就是正方体，把长方体（比如扁长的文具盒）的一个面当成是正方形，就说它是正方体。→ ✅ 正解：正方体的每条边都必须一样长。长方体只是有的面是长方形，有的可能是正方形，但并不是所有边都相等。
- ❌ 陷阱二（视觉误导型）：数组合图形（由小正方体搭成）的个数时，只数眼睛直接看到的，以为后面和下面是空的。→ ✅ 正解：必须用“分层法”或“列队法”，从下往上一层一层数，或者从前往后一列一列想，确保“上层”的每一块积木在“下层”都有支撑。
- ❌ 陷阱三（计算粗心型）：数的时候没有顺序，东数一个西数一个，导致重复数或漏数。→ ✅ 正解：按照“口诀”里的顺序，有规律地数。比如，先数最上面一层有几个，再想第二层要支撑第一层，需要补上几个看不见的，最后把各层加起来。
🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）
【易错题1：概念陷阱】 下面这个“机器人”是用小正方体积木搭成的。数一数，一共用了多少块小正方体？
💀 错误率：85%
❌ 常见错误：只数上面露出来的 \(3\) 块（顶层1块+中层左右2块），忘记底层还有积木。或者数出 \(5\) 块（只数了实线画出的部分）。
✅ 阿星解析：我们用“分层法”当侦探，从下往上查！
- 第一层（地基层）：为了支撑上面所有积木，这一层必须铺满。从图上看，这一层有 \(3\) 块积木（长条）。所以第一层有 \(1 \times 3 = 3\) 块。
- 第二层：这一层我们看到左边有 \(1\) 块，右边有 \(1\) 块。但是！注意看顶层只有左边有 \(1\) 块，根据“上面不能悬空”的规则，顶层那块积木下面必须有支撑。所以，在第二层中间那个位置（用红色虚线标出的），一定还有1块隐藏的积木在支撑着第三层左边那块。所以第二层实际上是：左边 \(1\) 块 + 中间（隐藏）\(1\) 块 + 右边 \(1\) 块 = \(3\) 块。
- 第三层（顶层）：只有左边 \(1\) 块。
- 总数：把三层加起来，\(3 + 3 + 1 = 7\)（块）。
所以，这个机器人一共用了 \(7\) 块小正方体积木。你发现那个“隐身”的支撑者了吗？
【易错题2：思维陷阱】 下图是一个由相同的小正方体搭成的图形。如果从正面看，形状是一个“田”字（两行两列），那么这个图形最少是由多少个小正方体搭成的？
💀 错误率：90%
❌ 常见错误：认为从正面看到 \(4\) 个正方形，那就一定是 \(4\) 块小正方体。
✅ 阿星解析：这道题是“最少需要多少块”，考的是你的空间节省大法！从正面看是“田”字，说明在正面这个方向，我们需要摆出两行两列。但是，小正方体可以放在后面，共享同一个正面的位置！
- 我们先摆出正面第一列的下面那个（位置C）。这需要 \(1\) 块。
- 我们摆出正面第二列的下面那个（位置D）。这需要 \(1\) 块。
- 关键来了！正面第一列的上面那个（位置A），可以放在位置C那块积木的正后面，这样从前面看，它依然出现在A的位置，但它和C共用了一个“正面”。位置B同理，可以放在位置D那块积木的正后面。
所以，我们只需要 \(2\) 块积木摆在前面第一排（C和D），再需要 \(2\) 块积木摆在它们正后面（对应A和B）。总共只需要 \(2 + 2 = 4\) 块。
但是！ 题目问的是“最少”。我们还能更省吗？能！我们可以让后面的两块积木摞起来。想象一下：
- 最前面一排：只放一块积木在位置C（第一列，下）。
- 中间一排（紧挨着C的后面）：放一块积木在位置A（第一列，上）的正下方。
- 最后面一排：竖着摞两块积木，分别对应位置B（第二列，上）和位置D（第二列，下）。
经过精巧的摆放（像搭一个L形的墙角），最少只需要 \(3\) 块小正方体，就能让正面看起来是“田”字！你能在脑海里搭出来吗？这打破了“看到几个面就是几个积木”的错觉！
【易错题3：大题陷阱】 小明想用一些小正方体木块搭一个如图所示的实心大正方体。他已经搭好了最外面一层“外壳”，发现这个“外壳”一共用了 \(56\) 块小木块。请问：
- 搭成这个完整的实心大正方体，一共需要多少块小木块？
- 如果把这个完整的大正方体所有表面都涂成红色，那么只有一面被涂红色的小木块有多少块？
💀 错误率：95%
❌ 常见错误：
- 对于(a)，直接用 \(56\) 去猜大正方体的边长，或者认为“外壳”就是所有表面，计算混乱。
- 对于(b)，完全凭感觉去数，没有规律，导致数错。
✅ 阿星解析：这是“积木城堡”的升级关卡！我们先把“实心大正方体”想象成一个 \(n \times n \times n\) 的超级积木方块。
- 解决(a)：求总共需要多少块。
- “外壳”用了 \(56\) 块。什么是“外壳”？就是整个大正方体去掉最里面一个更小的实心正方体后剩下的部分。就像剥掉一层橘子皮，剩下一个没皮的橘子。
- 设大正方体每条边由 \(m\) 块小木块组成。那么整个大实心需要 \(m \times m \times m = m^3\) 块。
- 剥掉“外壳”后，里面的小实心正方体每条边就是 \(m-2\) 块（因为前后左右上下各剥了一层）。所以里面的小实心需要 \((m-2)^3\) 块。
- “外壳”的块数 = 大实心块数 - 小实心块数 = \(m^3 - (m-2)^3 = 56\)。
- 对一年级来说，解方程太难。我们用猜想验证法：试试 \(m=4\)，外壳 = \(4^3 - 2^3 = 64 - 8 = 56\)。完美匹配！所以大正方体边长是 \(4\) 块。
- 总共需要的小木块数就是 \(4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64\)（块）。
- 解决(b)：求一面涂色的有多少块。
- 现在我们知道这是一个 \(4 \times 4 \times 4\) 的实心大正方体。
- “只有一面被涂红色”的积木在哪里？它们在每个面的最中间区域，且不在棱上，也不在角上。对于一个 \(4 \times 4\) 的面来说，最中间的区域是一个 \(2 \times 2\) 的正方形（因为角上和棱上的都被多于一面涂色了）。
- 所以，一个面上一面涂色的有 \(2 \times 2 = 4\) 块。
- 正方体有 \(6\) 个面，所以一共有 \(4 \times 6 = 24\) 块小木块是只有一面被涂红色的。
看，掌握了“分层”和“分类”的积木思想，再复杂的题目也能一层一层拆解开！
🚀 易错专项训练（你能全对吗？）
第一关：火眼金睛（判断对错 5题）
- 用 \(4\) 个完全相同的小正方体，一定能搭成一个更大的正方体。（ ）
- 一个长方体，最多可以有 \(4\) 个面是正方形。（ ）
- 从上面、正面、右面看一个积木堆，看到的图形都一样，这个积木堆一定是正方体。（ ）
- 数图中的小正方体时，看不见的就表示没有。（ ）
- 把一个大正方体的六个面都涂上颜色，然后切成一样大的小正方体。三面涂色的小正方体都在顶点处，一定有 \(8\) 块。（ ）
第二关：防坑演练（填空 5题）
- 下图中的积木块是由（ ）个小正方体搭成的。
（此处可脑补一个简单两层图形，第一层3块，第二层1块压在中间那块上） - 一个长方体纸巾盒，长 \(20\) 厘米，宽 \(10\) 厘米，高 \(5\) 厘米。这个纸巾盒的底面是一个长（ ）厘米，宽（ ）厘米的长方形。它不可能有棱长是（ ）厘米的正方形面。
- 用棱长 \(1\) 厘米的小正方体搭一个棱长 \(3\) 厘米的大正方体，需要（ ）块。搭好后，把它的表面涂色，只有两面涂色的小正方体有（ ）块。
- 一个积木从正面看是 口，从右面看也是 口。搭这个积木最少需要（ ）块小正方体。
- 有一堆积木，从上面看形状如“L”形（占3格），从正面看每列都是 \(2\) 层高。这堆积木最多有（ ）块，最少有（ ）块。
答案与详细解析
第一关：火眼金睛
- ❌。\(4\) 个不能搭成正方体，需要 \(8\) 个（\(2\times2\times2\)）。
- ✅。当长方体有两个相对的面是正方形时，另外四个面就是完全一样的长方形，所以最多 \(2\) 个面是正方形。原命题“最多4个”是错的，但这是判断题，此处答案应为“错”。等等，我检查一下：长方体最多可以有2个面是正方形。所以判断题为“错”。解析：一个长方体，最多可以有 \(2\) 个面是正方形。
- ❌。也可能是球体，或者从三个特定方向看是正方形的其他形状。
- ❌。牢记“隐藏关卡”，看不见的可能被压在下面。
- ✅。正方体有 \(8\) 个顶点，所以三面涂色的总是 \(8\) 块。
第二关：防坑演练
- \(4\)。解析：第一层 \(3\) 块，第二层 \(1\) 块，它下面一定有支撑，所以总数 \(3+1=4\)。
- 长 \(20\)，宽 \(10\)（或长 \(10\)，宽 \(20\)）。它不可能有棱长是 \(20\) 厘米的正方形面（因为最大的面是 \(20 \times 10\)，没有长度是 \(20\) 厘米的相等两条边构成的正方形面）。解析：长方体不同的棱长是 \(20\)， \(10\)， \(5\)。正方形需要两条边相等，所以可能的面是 \(20\times20\)（不存在）， \(10\times10\)（不存在）， \(5\times5\)（不存在）。所以任意一个面都不可能是正方形。
- 需要 \(27\) 块（\(3^3\)）。两面涂色的有 \(12\) 块。解析：棱长 \(3\) 的大正方体，每条棱上有 \(3\) 块。两面涂色的位于每条棱的中间位置。每条棱上有 \(3-2=1\) 块（去掉两个顶点）。正方体有 \(12\) 条棱，所以有 \(12 \times 1 = 12\) 块。
- \(2\)。解析：从正面看是一个正方形，说明前后方向只有一排，且这一排至少 \(1\) 块。从右面看也是一个正方形，说明左右方向也只有一排。要同时满足，这个积木就是由 \(1\) 块小正方体单独构成。但“最少”的思维陷阱：可以让一块小正方体放在另一块的正后方，这样从正面和右面看，都只能看到前面/右面那一块，图形都是“口”。所以最少 \(2\) 块。
- 最多 \(6\) 块，最少 \(4\) 块。解析：从上面看是“L”形（占3格），假设这3格分别叫A，B，C（B在A右边，C在A下边）。从正面看每列都是 \(2\) 层。
- 要最多：让每个位置都摆满 \(2\) 层。那么A，B，C三个位置各有 \(2\) 块，共 \(6\) 块。
- 要最少：要保证每列（从正面看，假设正面看对应A和B这一行）都是 \(2\) 层。那么A和B这两个位置，至少有一个位置有 \(2\) 块（上下叠放）。同时，C位置可以有 \(1\) 块。但为了满足“每列”2层，从正面看C所在的列（和谁一列？）需要和A或B共享高度。最少的情况是：A位置摆 \(2\) 块（上下）， B位置摆 \(1\) 块（放在A位置下块的旁边，上层空）， C位置摆 \(1\) 块（放在A位置下块的后方？）。更严谨的思考：俯视图3格，要保证从正面看（假设看L的短边方向）两列都是2层。最少需要 \(4\) 块。一种摆法：A格摆2块（上下），B格摆1块（在下层），C格摆1块（在下层，且与A的下块同层）。这样正面看，左列（A+C下层）看到2层，右列（B）看到2层（B下层和A上层在右列投影重叠？）。另一种更清晰的描述：底层摆3块（A，B，C位置各1块），然后在A位置那块上面再压1块。这样从正面看，左列（A+C）高度为2（因为A有2块），右列（B）高度也是2（因为B有1块，但A上层的积木在右列也有投影，使其看起来也是2层）。总计 \(4\) 块。
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