“路痴”救星!一张图+一句口诀,彻底搞懂平面直角坐标系 | 零基础三步通关:典型例题精讲
适用年级
几何
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-20
平面直角坐标系:从路痴到活地图,一张图搞定所有位置!
💡 阿星起步:平面直角坐标系 的底层逻辑
想象一下,你是一个刚到大城市的“路痴”阿星。朋友约你在“解放路和中山路交叉口”见面,你怎么找?
很简单:先找到“解放路”这条横着的路,再找到“中山路”这条竖着的路,它们的交叉点,就是你的目的地。
平面直角坐标系,就是给整个平面世界画上“格子路”。两条路很特殊:
- 横着的那条叫 x轴(横轴),像一条东西向的超级主干道。
- 竖着的那条叫 y轴(纵轴),像一条南北向的超级主干道。
- 它们交叉的点,叫做 原点,是整个城市的中心广场。
这样,平面上任何一个点的“地址”(坐标)\( (x, y) \) 就确定了:先走横路(x),再走竖路(y)。比如 \( (3, 2) \) 就是:从中心广场(原点)出发,沿x轴向东走3格,再向北走2格,落脚点就是它。
那么,东南西北各个区域怎么区分?这就用到我们的核心口诀了:一二三四逆时针。从右上角开始,像扇扇子一样逆时针转一圈:
- 第一象限 (+, +):东北区,横坐标正,纵坐标正。
- 第二象限 (-, +):西北区,横坐标负,纵坐标正。
- 第三象限 (-, -):西南区,横纵坐标都为负。
- 第四象限 (+, -):东南区,横坐标正,纵坐标负。
它的本质,就是一个精确的平面定位系统。把抽象的“位置”,变成一对有顺序的数字 \( (x, y) \),从此,几何和代数就能手拉手做朋友了!
🔥 三级跳挑战:从入门到大神
【入门例题】在平面直角坐标系中,描出点 \( A(3, 2) \) 和点 \( B(-1, 4) \) 的位置,并说出它们各自在第几象限。
阿星拆解:
第一步:找A点 \( (3, 2) \)。 记住规则:先x后y,先横后纵。
- 先看x坐标:是3(正数)。从原点 \( (0,0) \) 出发,沿x轴向右(正方向)走3个单位长度,停在这里。
- 再看y坐标:是2(正数)。从刚才停下的位置,向上(y轴正方向)走2个单位长度。
- 落脚点就是 \( A(3, 2) \)。
第二步:判断A点象限。 它的坐标 \( (+, +) \),符合口诀“第一象限(+,+)”。所以A在第一象限。
第三步:找B点 \( (-1, 4) \)。
- 先看x坐标:是-1(负数)。从原点出发,沿x轴向左(负方向)走1个单位长度,停下。
- 再看y坐标:是4(正数)。从刚才的位置,向上走4个单位长度。
- 落脚点就是 \( B(-1, 4) \)。
第四步:判断B点象限。 它的坐标 \( (-, +) \),符合口诀“第二(-,+)”。所以B在第二象限。
【进阶例题】已知点 \( P \) 在第二象限,且到 \( x \) 轴的距离是 3,到 \( y \) 轴的距离是 5,求点 \( P \) 的坐标。
阿星敲黑板:这个题的陷阱有两个:1. “距离”永远是正数,但坐标可正可负。2. 必须根据“第二象限”这个条件,决定最后的符号!
第一步:把“距离”翻译成坐标的“绝对值”。
- “到x轴距离是3” => 意味着 |y坐标| = 3
- “到y轴距离是5” => 意味着 |x坐标| = 5
所以,点P的坐标可能是 \( (\pm5, \pm3) \)。
第二步:用“象限口诀”锁定符号。
题目说点P在第二象限,口诀是“第二(-,+)”。
- 横坐标(x)必须是负的,所以 x = -5
- 纵坐标(y)必须是正的,所以 y = 3
第三步:得出结论。
因此,点P的坐标是 \( P(-5, 3) \)。
(思考:如果题目说在第三象限,答案是什么?)
【拔高例题】已知点 \( M(2a-1, 3-a) \) 在第四象限,求实数 \( a \) 的取值范围。
思维迁移:这题看起来换了“马甲”,给了带字母 \( a \) 的坐标。但别怕!“一二三四逆时针”的符号法则依然是我们的定海神针。点在第四象限,就意味它的坐标满足第四象限的符号特征。
第一步:写出第四象限的符号规则。
口诀:“第四(+,-)”。所以:
\[ \begin{cases} x > 0 \\ y < 0 \end{cases} \]
第二步:把点M的坐标代入不等式。
点M的坐标是 \( (2a-1, 3-a) \),所以:
\[ \begin{cases} 2a - 1 > 0 \quad \text{(x坐标为正)} \\ 3 - a < 0 \quad \text{(y坐标为负)} \end{cases} \]
第三步:解这个不等式组。
解第一个不等式:\( 2a > 1 \) => \( a > \frac{1}{2} \)
解第二个不等式:\( -a < -3 \) => \( a > 3 \) (注意:两边同时乘以-1,不等号要反向!)
第四步:取两个解集的公共部分。
\( a > \frac{1}{2} \) 和 \( a > 3 \) 的公共部分(都要满足)是:\( a > 3 \)。
所以,实数 \( a \) 的取值范围是 \( a > 3 \)。
📝 阿星必背口诀:
横纵坐标,先后有序。
负左负下,正右正上。
象限符号,牢牢记心。
一二三四,逆时针转。
🚀 举一反三:变式挑战
在平面直角坐标系中,描出点 \( C(-2, -3) \) 和点 \( D(4, -1) \),并说出它们各自在第几象限。
已知点 \( Q \) 到 \( x \) 轴的距离是 4,到 \( y \) 轴的距离是 1,且点 \( Q \) 在第三象限。求点 \( Q \) 的坐标。
已知点 \( N(5-m, 2m-6) \) 在 y 轴上,求点 N 的坐标,并指出它“在”第几象限?
(提示:在坐标轴上的点,不属于任何象限哦!)
解析与答案
【详尽解析】
变式一:
\( C(-2, -3) \):从原点向左2格,再向下3格。坐标 \( (-,-) \),在第三象限。
\( D(4, -1) \):从原点向右4格,再向下1格。坐标 \( (+,-) \),在第四象限。
变式二:
“距离”转绝对值:|x| = 1, |y| = 4。
第三象限符号 \( (-,-) \):所以 x = -1, y = -4。
因此,点 \( Q \) 的坐标是 \( (-1, -4) \)。
变式三(核心提示):
关键:“在y轴上”意味着什么?y轴上的所有点,其横坐标 x 都为 0!所以 \( 5-m = 0 \),解得 \( m=5 \)。再代入纵坐标 \( 2m-6 = 4 \)。所以点N坐标是 \( (0, 4) \)。它位于y轴正半轴上,不属于任何象限。
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