阿星的显微镜

1. 设未知数列方程：设买了x张海盗船票，y张旋转木马票。

标准算式： \( 5x + 3y = 100 \)

2. 利用整数特性确定范围并枚举：

由方程得 \( y = (100 - 5x) \div 3 \)。

因为y必须是整数，所以(100-5x)必须能被3整除。

同时，x和y都不能是负数，所以 \( x \ge 0, y \ge 0 \)。

由 \( y \ge 0 \) 推出 \( 100 - 5x \ge 0 \)，所以 \( x \le 20 \)。

于是，x的取值范围是0到20之间的整数。

3. 枚举与筛选：在这个范围内，检查哪些x能让(100-5x)是3的倍数。

x=2时，100-5×2=90，90÷3=30，符合。(2, 30)

x=5时，100-25=75，75÷3=25，符合。(5, 25)

x=8时，(100-40)=60，符合。(8, 20)

x=11时，(100-55)=45，符合。(11, 15)

x=14时，(100-70)=30，符合。(14, 10)

x=17时，(100-85)=15，符合。(17, 5)

x=20时，(100-100)=0，符合。(20, 0)

共7种方案。

阿星的避雷针：

大多数人会怎么错：依然得出7种方案，忘记排除“某种票为0张”的情况。

图解陷阱：在上面的SVG图中，两个端点(20, 0)和(0, 33.3…)就是陷阱。(20,0)表示只买了20张海盗船票，木马票为0张，这不符合“每种至少1张”。(0,?)则因为y不是整数早已被排除，但有时其他题会出现类似的端点解。

正确思路：在母题找到的7组解中，去掉不满足“x≥1且y≥1”的解。我们发现(20,0)这组解中y=0，需要剔除。所以正确答案是6种方案。

思维迁移：这不再是简单的一个不定方程，而是方程组！但核心思想不变——找整数解。

1. 设苹果x个，橘子y个。

2. 根据题意列出两个方程：

\( x + y = 15 \) （总数方程）

\( 3x + 5y = 50 \) （总价方程）

3. 这可以直接用代入法解：由第一个方程得 \( x = 15 - y \)，代入第二个方程：

\( 3(15 - y) + 5y = 50 \)

\( 45 - 3y + 5y = 50 \)

\( 2y = 5 \)

\( y = 2.5 \)

4. 发现y=2.5不是整数！这说明在“刚好花光50元”和“刚好买15个”这两个条件下，没有整数解。 所以，小星要么多/少花点钱，要么多/少买一个水果，才能实现。这道题引导我们思考：现实问题中，方程不一定有（整数）解，无解本身也是一个重要结论。