开关里的宇宙：跟着莱布尼茨，用一道题彻底搞懂二进制！：典型例题精讲

💡 阿星精讲：二进制 的本质

想象一下，300多年前，德国哲学家、数学家莱布尼茨痴迷于一个猜想：宇宙间最复杂、最精妙的规律，是否可以由最简单、最基础的元素演绎而来？他凝视着东方古老的《易经》卦象，灵感迸发——阴与阳、是与非、开与闭。这就是二进制 \( (0, 1) \) 的哲学起源。在计算机世界里，一个晶体管就像一个小小的“宇宙开关”：通电为“开”\( (1) \)，断电为“闭”\( (0) \)。这种表达之所以最高效，是因为它完美匹配了物理世界稳定、易辨别的两种状态。任何复杂信息——一首歌、一幅画、一段文字，最终都被拆解成由无数个“开关”状态排列组合成的“宇宙逻辑”。简单，所以坚固；抽象，所以无所不包。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案： \( 182 \)。

变式一解析：
题目：将 \( (1101)_2 \) 转换为十进制。
计算：\( 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 \)
答案：\( 13 \)

变式二解析：
题目：将 \( 89 \) 转换为8位二进制。
使用“除2取余，逆序排列”法：
\( 89 \div 2 = 44 \cdots \text{余} 1 \) （最低位 \( b_0 \)）
\( 44 \div 2 = 22 \cdots \text{余} 0 \) （\( b_1 \)）
\( 22 \div 2 = 11 \cdots \text{余} 0 \) （\( b_2 \)）
\( 11 \div 2 = 5 \cdots \text{余} 1 \) （\( b_3 \)）
\( 5 \div 2 = 2 \cdots \text{余} 1 \) （\( b_4 \)）
\( 2 \div 2 = 1 \cdots \text{余} 0 \) （\( b_5 \)）
\( 1 \div 2 = 0 \cdots \text{余} 1 \) （最高位 \( b_6 \)）
由于是8位，最前面补一个0，即 \( b_7 = 0 \)。
逆序排列余数：\( b_7b_6b_5b_4b_3b_2b_1b_0 = 0\ 1\ 0\ 1\ 1\ 0\ 0\ 1 \)
答案：\( (01011001)_2 \)

变式三解析：
第一部分：二进制加法。
\( \ \ \ 1011 \)
\( +\ 0110 \)
\( —————— \)
\( \ \ 10001 \) （逢二进一）
所以二进制和为 \( (10001)_2 \)。

第二部分：转换为十进制验证。
\( (1011)_2 = 8+0+2+1 = 11 \)
\( (0110)_2 = 0+4+2+0 = 6 \)
\( (10001)_2 = 16+0+0+0+1 = 17 \)
验证：\( 11 + 6 = 17 \)，成立。
答案：二进制和 \( (10001)_2 \)，十进制验证 \( 11 + 6 = 17 \)，正确。