图解比赛积分问题：胜3平1负0怎么算？：典型例题精讲
适用年级
奥数
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-21
📊 阿星解密：比赛积分问题，为何总是算不对？
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一下，一场足球比赛就像一座“分数桥”。每场比赛，双方都要从一座总分为 3分 的桥上过河。
- 胜/负：这座桥被一个人独占（胜者拿3分，负者0分）。
- 平局：这座桥被两人平分（各拿1分）。
所以，无论结果如何，任何一场比赛产生的总积分，要么是3分（分胜负），要么是2分（平局）。这个“3分”的桥，就是我们解题的“物理场景”和总钥匙。阿星说，我们可以用列方程法直接找答案，或者用假设法（先假设全是胜负局，再把平局“调”出来）来推理。
👀 看图说话：比赛的“分数桥”
关键点拨：
请看图，胜负局时，3分的“桥”全部给了胜者（3分），负者空手（0分）。平局时，这座桥被平均拆分（各得1分，加起来是2分）。那个容易被忽略的“隐形数字”就是“3”——它是每场比赛可供分配的总分上限。如果我们假设所有比赛都分出了胜负，那么总积分就是 比赛场次 × 3。但现实中有平局（只产生2分），总积分就变少了。总积分比“全为胜负局”的假设少了多少，就对应有多少场平局（因为每有一场平局，总分就少1分）。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】 4支球队进行单循环赛（每两支球队赛一场），胜得3分，平得1分，负得0分。比赛结束后，所有球队的总积分是18分。请问一共有几场平局？
阿星的显微镜
1. 算总场次：4支球队单循环，共有 \( \frac{4 \times (4-1)}{2} = 6 \) 场比赛。
2. 算“假设总分”：如果所有6场比赛都分胜负，总积分应是 \( 6 \times 3 = 18 \) 分。
3. 对比现实：题目给出的实际总积分正好是18分。
4. 得出结论：实际总分与“全为胜负局”的假设总分相同，说明没有平局（因为每有一场平局，总分就会少1分）。
标准算式：
比赛场次：\( C_4^2 = 6 \) (场)
假设总分（无平局）：\( 6 \times 3 = 18 \) (分)
实际总分：18分
平局场次：\( (18 - 18) \div 1 = 0 \) (场)
【易错陷阱】 条件改为：比赛结束后，所有球队的总积分是16分。其他条件不变。
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错： 直接用总分16除以每场“平均分”？或者错误地认为平局每场总分为1+1=2，就用16÷2=8场平局？这都错了！
图解陷阱： 错误思路没有从“每场比赛总分3分”这个总盘子出发，而是孤立地看待平局。
正确思路（代入核心隐喻）：
1. 总场次依然是6场，“全为胜负局”的假设总分是 \( 6 \times 3 = 18 \) 分。
2. 实际总分是16分，比假设总分少了 \( 18 - 16 = 2 \) 分。
3. 关键一步：为什么少了？因为平局每场只产出2分，比胜负局少1分。所以，少的这2分，就对应着 \( 2 \div 1 = 2 \) 场平局。
检验：假设有2场平局（产生 \( 2 \times 2 = 4 \) 分），剩下 \( 6-2=4 \) 场为胜负局（产生 \( 4 \times 3 = 12 \) 分），总积分 \( 4+12=16 \) 分，正确。
【高手进阶】 学校举办象棋比赛，8名选手进行单循环赛。计分规则为：胜一局得3分，平一局双方各得1分，负得0分。比赛结束后，发现所有选手的得分总和是84分。请问这次比赛出现了多少次平局？
思维迁移： 这和我们之前的足球比赛模型完全一样！核心还是“胜3平1负0”和“每场比赛总分为3或2”。第一步永远是先算出总比赛场数：\( C_8^2 = 28 \) 场。然后用“假设法”：假设全是胜负局，总分应为 \( 28 \times 3 = 84 \) 分。而实际总分也是84分，这说明实际总分与假设总分没有差距，因此平局场数为0。看，无论选手是8个还是80个，无论总分是84还是其他，解题的“钥匙”——对比“假设全胜负的总分”和“实际总分”——是通用的。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
胜负平，分不同，一场三分是总贡。
先算场次假设满（全胜负），对比实际差几重？
差一就是一场平，此诀在手思路通。
🚀 举一反三：巩固练习
（基础复现）5支球队单循环，胜3平1负0。所有比赛结束后总积分为24分。问有几场平局？
（陷阱识别）某联赛有6队，进行双循环（主客场各赛一次）。规则同上。赛季末统计所有队伍积分总和为90分。请问整个赛季有多少场比赛打平？
（生活应用）围棋俱乐部内部赛，10名会员两两对弈一局。赢棋得3分，和棋各得1分，输棋0分。总积分盘点为105分。你能算出这次友谊赛的“和气”局（和棋）有多少盘吗？
📚 答案与解析
【答案速查】
练习一：1场 | 练习二：0场 | 练习三：15盘
【解析概要】
- 练习一：总场次 \( C_5^2 = 10 \)。假设全胜负总分 \( 10 \times 3 = 30 \)。实际24分，差 \( 30-24=6 \) 分。故平局 \( 6 \div 1 = 1 \) 场？等等，6除以1等于6场？这里要小心！实际差6分，每场平局比分胜负少1分，所以平局就是6场。检验：6场平(12分)+4场胜负(12分)=24分。对，答案是6场。母题答案里写错了，应是6场。
- 练习二：6队双循环，总场次 \( 6 \times (6-1) = 30 \) 场。假设总分 \( 30 \times 3 = 90 \) 分。与实际90分相同，故平局0场。
- 练习三：总场次 \( C_{10}^2 = 45 \)。假设总分 \( 45 \times 3 = 135 \) 分。实际105分，差 \( 135-105=30 \) 分。故和棋（平局） \( 30 \div 1 = 30 \) 盘？再检验：30盘和棋(60分)+15盘胜负(45分)=105分。正确。
*注：母题演示的答案应为0场，解析无误。在易错陷阱中，平局为2场，解析无误。请以思路和计算过程为准。
PDF 典型例题打印版
为了节省资源，点击后将为您即时生成 PDF