一招搞定植树问题：封闭图形公式图解与易错点详解：典型例题精讲
适用年级
三年级
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最近更新
2025-12-21
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一下，你要在一条直路上种树，这就像在切一根香肠。你每切一刀（种一棵树），就能得到一段新的香肠（一个间隔）。但是，第一刀之前就已经有一段香肠了（起点）。所以：刀数 = 段数 - 1（直线上植树，棵数 = 间隔数 - 1？错！是 棵数 = 间隔数 + 1）。
现在，把这条直路弯起来，头尾相接，变成一个圆形、正方形或者任何闭合图形。神奇的事情发生了——头尾那一段香肠消失了！因为终点和起点重合了。每一刀都严格对应一段香肠，再也没有“多出来”的那一段了。所以：刀数 = 段数（封闭图形植树，棵数 = 间隔数）。
👀 看图说话：
关键点拨：
看上图“慢动作”回放：在直线上，树1（起点）前面没有对应的间隔，它是一个“隐形”的起点。从树1到树2，才产生了“间隔1”。所以，树总是比间隔多1个。而在封闭图形中，“头”和“尾”的间隔合二为一了，每一个树都“拥有”自己前面的那一个间隔，形成完美的——对应关系，所以棵数 = 间隔数。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】一个圆形花坛周长20米，每隔5米放一盆花，一共需要多少盆？
阿星的显微镜
核心识别：这是封闭图形（圆形）植树问题。
标准算式：盆数（棵数） = 间隔数
间隔数 = 总长 ÷ 间隔距离 = 20 ÷ 5 = 4（个）
所以，盆数 = 4盆。
心算验证：想象一个周长20米的圆圈，从起点放一盆，走5米放第二盆，再走5米放第三盆，再走5米放第四盆，这时你走了15米。再走最后一个5米（第20米），你就回到了起点，而起点已经有一盆了！所以正好是4盆花把圆分成4段。
【易错陷阱】在一条20米长的走廊一侧摆花，每隔5米摆一盆（两端都要摆），需要多少盆？
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：看到数字“20”和“5”，直接套用刚才的算式：20 ÷ 5 = 4（盆）。
图解陷阱：错在把直线当成了圆圈！图一中，直线上的树比间隔多1。走廊是直线且两端都摆，属于“直线两端都植”的情况。
正确思路：先算间隔数：20 ÷ 5 = 4（个）。因为两端都摆，盆数 = 间隔数 + 1 = 4 + 1 = 5（盆）。
【高手进阶】时钟的钟面上，12个数字把圆周平均分成了多少个大格？如果看作是“植树问题”，这里的“树”和“间隔”分别是什么？
思维迁移：
这就是一个完美的封闭图形植树模型！
- “树”：钟面上的1、2、3……12这12个数字。
- “间隔”：数字与数字之间的大格。
根据封闭图形规律：棵数（数字个数）= 间隔数（大格数）。所以，12个数字正好把钟面分成12个大格。这解释了为什么分针走一圈（60分钟）是12个大格，每个大格是60 ÷ 12 = 5分钟。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
直线加一，圆圈相等。
看清头尾，公式自明。
🚀 举一反三：巩固练习
一个正方形池塘，边长15米。现在要在池塘边每隔3米种一棵柳树（四个角都要种），一共要种多少棵？
在一条长48米的公路一侧植树，每隔6米种一棵树（只在一端种，另一端不种），一共要种多少棵？
学校举办环形长跑比赛，绕着周长400米的操场进行。为了给选手加油，计划每隔50米设置一个志愿者服务站。需要设置多少个站？如果跑道是直的400米，起点和终点都设站，又需要多少个？
📚 答案与解析
【答案速查】
- 练习一：20棵。解析：正方形是封闭图形。总周长 = 15 × 4 = 60米。间隔数 = 60 ÷ 3 = 20（个）。所以棵数 = 间隔数 = 20棵。
- 练习二：8棵。解析：这是“直线一端植，另一端不植”的情况。间隔数 = 48 ÷ 6 = 8（个）。此时，棵数就等于间隔数，即8棵。可以想成：从种树的一端开始，每一个间隔后面跟一棵树，最后一棵树后面没有间隔了（因为另一端不种）。
- 练习三：环形需要8个站；直线需要9个站。解析：① 环形（封闭图形）：间隔数 = 400 ÷ 50 = 8（个），站数 = 8个。② 直线两端都设：间隔数 = 400 ÷ 50 = 8（个），站数 = 间隔数 + 1 = 9个。
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