💡 阿星精讲：数据打假 的本质

嘿，各位侦探学员！今天我们不查指纹，不找目击者，而是要当一名 “数据侦探”。你想过吗？一堆看似杂乱无章的真实数据（比如国家GDP、河流长度、股票交易量），它们的首位数字（比如数字 \( 1234 \) 的首位是 \( 1 \) ）竟然藏着惊人的秘密——本福特定律。

这个定律告诉我们，在自然产生的、跨度足够大的真实数据集中，数字 \( 1 \) 出现在首位的概率并不是我们直觉认为的 \( \frac{1}{9} \approx 11.1\% \)，而是高达 \( \approx 30.1\% \)！数字越大，出现的概率越低，数字 \( 9 \) 打头的概率只有约 \( 4.6\% \)。公式为：
\[
P(d) = \log_{10}(1 + \frac{1}{d})，\quad 其中\ d \in \{1,2,\dots,9\}
\**
如果有人人工编造数据（比如伪造评分、虚报财报），他很可能下意识地让每个数字均匀出现，从而违背了这个“自然法则”。我们的任务，就是利用这个 “首位数字的秘密” ，像照妖镜一样，让虚假数据原型毕露！

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题判断： 可能为人工伪造（解析见上文阿星拆解）。

变式一解析：
1. 计算理论频数（\( n = 150 \)）：
\( 150 \times 0.3010 \approx 45.2, \quad 150 \times 0.1761 \approx 26.4, \quad 150 \times 0.1249 \approx 18.7 \)
\( 150 \times 0.0969 \approx 14.5, \quad 150 \times 0.0792 \approx 11.9, \quad 150 \times 0.0669 \approx 10.0 \)
\( 150 \times 0.0580 \approx 8.7, \quad 150 \times 0.0512 \approx 7.7, \quad 150 \times 0.0458 \approx 6.9 \)
2. 对比：首位 \( 1 \) 实际 \( 25 \) 远低于理论 \( 45.2 \)；首位 \( 2 \) 实际 \( 28 \) 略高于理论 \( 26.4 \)；首位 \( 3,4,5 \) 均高于理论值。分布明显偏离“一多九少”规律。
3. 结论： 该数据不符合自然生成特征，很可能经过人为修饰或伪造。

变式二解析：
1. 期望频数 = 总数据量 \( \times P(1) = 500 \times \log_{10}(2) \approx 500 \times 0.3010 = 150.5 \) 条。
2. 实际频数仅为 \( 100 \) 条。
3. 绝对减少量 = \( 150.5 - 100 = 50.5 \approx 51 \) 条（保留整数）。
4. 答案： \( 51 \) 条。

变式三解析：
1. 求概率和：\( P(1) + P(2) = \log_{10}(2) + \log_{10}(1.5) \)。
\( \log_{10}(2) \approx 0.3010, \quad \log_{10}(1.5) = \log_{10}(\frac{3}{2}) = \log_{10}(3) - \log_{10}(2) \approx 0.4771 - 0.3010 = 0.1761 \)。
因此，和为 \( 0.3010 + 0.1761 = 0.4771 \)。
2. 伪造数据中该和为 \( 0.35 \)。
3. 由于 \( 0.35 < 0.4771 \)，这个数值是偏低的。造假者往往低估了 \( 1 \) 和 \( 2 \) 作为首位数字出现的超高概率。