浴盆曲线与威布尔分布：厂家如何“计算”出你的保修期？｜数学建模深度攻略：典型例题精讲

💡 阿星精讲：保修期设计 的本质

同学们好！我是阿星。想象一下，你家新买的电器，为什么保修期通常是1年或2年，而不是3个月或者5年？这背后藏着厂家精密的“寿命计算”。

这不是巧合，是计算。 厂家就像一位深谙产品“生老病死”规律的医生，他们手中有一张神奇的“病历图”——浴盆曲线。这条曲线描绘了产品一生的故障率：早期 (“婴儿夭折期”) 故障率高，因生产缺陷；中期 (“青壮年稳定期”) 故障率低且稳定；后期 (“老年衰竭期”) 故障率又急剧上升。

为了量化这个规律，工程师们请来了数学模型界的“瑞士军刀”——威布尔分布。它的累积分布函数 \( F(t) = 1 - e^{-(t/\lambda)^k} \) 是核心武器。其中，\( t \) 是时间，尺度参数 \( \lambda \) 代表“特征寿命”，形状参数 \( k \) 掌控曲线形态：当 \( k < 1 \) 时，描述早期故障（浴盆左壁）；\( k = 1 \) 时退化为指数分布，描述随机故障（浴盆底部）；\( k > 1 \) 时，描述耗损故障（浴盆右壁）。

厂家通过历史数据拟合出产品的 \( \lambda \) 和 \( k \)，就能精准计算出在时间 \( T \) 内产品发生故障的概率 \( P = F(T) \)。他们据此设定保修期，目标是将保修期内的总故障概率（即售后成本）控制在一个可接受的利润阈值内。所以，你手中的保修卡，是经过一场复杂数学博弈后的结果。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案：约为 \( 0.340 \) 或 \( 34.0\% \)。

变式一解析：
代入公式 \( F(24) = 1 - e^{-(24/60)^{1.5}} \)。
计算：\( (24/60)=0.4 \)，\( 0.4^{1.5} = (0.4^{1}) \times (0.4^{0.5}) = 0.4 \times 0.63246 \approx 0.2530 \)。
则 \( F(24) \approx 1 - e^{-0.2530} \approx 1 - 0.7765 = 0.224 \)。
答案：概率约为 \( 0.224 \) 或 \( 22.4\% \)。

变式二解析：
本题已知目标概率 \( F(T) = 0.05 \)，反求 \( T \)。
由 \( 0.05 = 1 - e^{-(T/48)^{2.0}} \)，得 \( e^{-(T/48)^2} = 0.95 \)。
两边取自然对数：\( -(T/48)^2 = \ln(0.95) \approx -0.051293 \)。
所以 \( (T/48)^2 = 0.051293 \)。
开方：\( T/48 = \sqrt{0.051293} \approx 0.2265 \)。
求得 \( T \approx 48 \times 0.2265 \approx 10.9 \) 个月。
答案：最长保修期可设为 \( 10.9 \) 个月。

变式三解析：
核心：计算不同保修期 \( T \) 下的单台预期利润。
公式： 预期利润 = 售价 - 成本 - 保修期内的预期更换成本。
其中，预期更换成本 = 更换成本 \( \times \) 保修期内故障概率 \( F(T) \)。
已知：售价 \( = 800 \)，成本 \( = 300 \)，更换成本 \( = 400 \)。
需分别计算 \( T = 6, 12, 18 \) 时的 \( F(T) \)。

• 当 \( T=6 \)：\( F(6) = 1 - e^{-(6/24)^{0.7}} \approx 1 - e^{-(0.25^{0.7})} \)。计算 \( 0.25^{0.7} \approx 0.25^{0.7} = e^{0.7 \times \ln(0.25)} \approx e^{0.7 \times (-1.3863)} \approx e^{-0.9704} \approx 0.3790 \)。则 \( F(6) \approx 1 - e^{-0.3790} \approx 1 - 0.6847 = 0.3153 \)。预期利润 \( = 800 - 300 - 400 \times 0.3153 = 500 - 126.12 = 373.88 \) 元。
• 当 \( T=12 \)：\( F(12) = 1 - e^{-(12/24)^{0.7}} = 1 - e^{-(0.5^{0.7})} \)。计算 \( 0.5^{0.7} \approx e^{0.7 \times \ln(0.5)} \approx e^{0.7 \times (-0.6931)} \approx e^{-0.4852} \approx 0.6154 \)。则 \( F(12) \approx 1 - e^{-0.6154} \approx 1 - 0.5406 = 0.4594 \)。预期利润 \( = 500 - 400 \times 0.4594 = 500 - 183.76 = 316.24 \) 元。
• 当 \( T=18 \)：\( F(18) = 1 - e^{-(18/24)^{0.7}} = 1 - e^{-(0.75^{0.7})} \)。计算 \( 0.75^{0.7} \approx e^{0.7 \times \ln(0.75)} \approx e^{0.7 \times (-0.2877)} \approx e^{-0.2014} \approx 0.8176 \)。则 \( F(18) \approx 1 - e^{-0.8176} \approx 1 - 0.4416 = 0.5584 \)。预期利润 \( = 500 - 400 \times 0.5584 = 500 - 223.36 = 276.64 \) 元。

比较预期利润：\( 373.88 > 316.24 > 276.64 \)。
答案：为最大化单台预期利润，建议将保修期设为 \( 6 \) 个月。