银行风控与投资组合的数学奥秘：从“鸡蛋篮子”到方差公式

💡 阿星精讲：银行风控 的本质

想象一下，你是一位聪明的农夫，有 \(100\) 个金鸡蛋。如果全部放在一个篮子里，一旦篮子打翻，损失就是 \(100\%\)。但如果你把它们分放在 \(n\) 个不同的篮子里，即使一个篮子掉了，你也只损失一部分。“银行风控”和“分散投资”的精髓就在于此。

在数学上，我们可以用独立随机变量的方差来精确描述这个原理。假设你投资了两家公司：公司A和公司B。每笔投资的预期收益是随机的，其风险（波动性）用方差 \( \sigma^2 \) 来衡量。如果你把全部资金 \( w \) 投给A，整体投资组合的风险就是 \( \sigma_A^2 \)。但如果你将资金按比例分配，比如 \( x \) 投给A，\( (1-x) \) 投给B，并且两家公司的违约风险是独立的，那么整体投资组合的方差为：
\[ \sigma_P^2 = x^2 \sigma_A^2 + (1-x)^2 \sigma_B^2 \]
通过巧妙分配 \( x \)，总方差 \( \sigma_P^2 \) 可以远小于单独投资任何一家的方差。这就是“不把鸡蛋放在一个篮子里”的数学魔法——通过分散化，在不牺牲预期收益的前提下，显著降低整体资产的波动风险。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案：
组合方差 \( \sigma_P^2 = 0.0325 \)。全部投B的方差为 \( 0.09 \)。分散投资风险显著降低。

变式一解析：
已知 \( x = 0.6 \)，\( \sigma_T^2 = 0.0625 \)，\( \sigma_C^2 = 0.0225 \)。
代入公式：
\[ \sigma_P^2 = (0.6)^2 \times 0.0625 + (0.4)^2 \times 0.0225 = 0.36 \times 0.0625 + 0.16 \times 0.0225 \]
\[ \sigma_P^2 = 0.0225 + 0.0036 = 0.0261 \]

变式二解析（逆向思维）：
由公式 \( \sigma_P^2 = x^2 \sigma_1^2 + (1-x)^2 \sigma_2^2 = 0.02 \) 代入已知：
\( 0.08x^2 + 0.02(1 - 2x + x^2) = 0.02 \)
\( 0.08x^2 + 0.02 - 0.04x + 0.02x^2 = 0.02 \)
\( 0.1x^2 - 0.04x = 0 \)
\( x(0.1x - 0.04) = 0 \)
解得：\( x_1 = 0 \)，\( x_2 = 0.4 \)。
这意味着，要么全投第二项资产（\( x=0 \)），要么按 \( 40\% \) 投第一项、\( 60\% \) 投第二项，都能达到 \( \sigma_P^2 = 0.02 \) 的风险水平。

变式三解析（综合拔高）：
当资产不独立时，组合方差公式为：
\[ \sigma_P^2 = w_X^2 \sigma_X^2 + w_Y^2 \sigma_Y^2 + 2 w_X w_Y \operatorname{Cov}(X, Y) \]
代入 \( w_X = w_Y = 0.5 \)，\( \sigma_X^2 = 0.04 \)，\( \sigma_Y^2 = 0.09 \)，\( \operatorname{Cov}(X, Y) = 0.018 \)：
\[ \sigma_P^2 = (0.5)^2 \times 0.04 + (0.5)^2 \times 0.09 + 2 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.018 \]
\[ \sigma_P^2 = 0.01 + 0.0225 + 0.009 = 0.0415 \]
对比分析：若两者独立，协方差为 \(0\)，则组合方差为 \( 0.01 + 0.0225 = 0.0325 \)。本例中由于存在正协方差 \(0.018\)，导致组合方差增大至 \(0.0415\)。这说明，资产之间的正相关性会削弱分散投资的风险降低效果。理想的“篮子”应该是互不关联甚至负相关的。