六年级数学期末急救：半径扩大与面积易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

【易错题1：概念陷阱】 一个圆的半径由 4 cm 增加了 4 cm，它的面积是原来的多少倍？

💀 错误率：85%

❌ 常见错误：学生看到“增加了4”，而原来的半径是4，容易脱口而出：半径扩大到 \(4 \div 4 = 1\) 倍？不对，是扩大到 \(4+4=8\)，8是4的2倍！所以面积扩大到 \(2^2 = 4\) 倍。

✅ 阿星解析：

1. 第一步（审题关键）：半径“增加了”4 cm，不是“扩大到”4倍。新半径 \( r_{新} = 4 + 4 = 8 \) (cm)。
2. 第二步（找倍数）：新半径是原来的 \( 8 \div 4 = 2 \) 倍。
3. 第三步（用平方）：面积扩大倍数是半径扩大倍数的平方。所以面积是原来的 \( 2^2 = 4 \) 倍。

正解：面积是原来的 4 倍。

【易错题2：思维陷阱】 一个半圆形草坪（如图），其半径扩大为原来的3倍后，这个半圆形草坪的周长和面积各扩大为原来的几倍？

💀 错误率：90%

❌ 常见错误：学生想：“整个圆的话，面积扩大9倍，周长（整个圆周）扩大3倍。那半圆应该就是面积扩大 \(9 \div 2 = 4.5\) 倍，周长扩大 \(3 \div 2 = 1.5\) 倍吧？” 大错特错！

✅ 阿星解析：

1. 第一步（拆分公式）：半圆面积 = \( \frac{1}{2} \pi r^2 \)，半圆周长 = \( \pi r + 2r \)（弧长加直径）。
2. 第二步（核心洞察）：公式中的 \( r \) 是核心变量。当半径 \( r \) 扩大3倍时：
   • 对于面积：\( \frac{1}{2} \pi (3r)^2 = \frac{1}{2} \pi \times 9 r^2 = 9 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) \)。看到了吗？前面的系数 \( \frac{1}{2} \) 和 \( \pi \) 都没变，变的是 \( r^2 \) 成了 \( 9r^2 \)。所以面积仍然扩大9倍，与是不是半圆无关！
   • 对于周长：\( \pi (3r) + 2 \times (3r) = 3\pi r + 6r = 3 \times (\pi r + 2r) \)。所以周长也扩大3倍。

正解：面积扩大为原来的 9 倍，周长扩大为原来的 3 倍。

【易错题3：大题陷阱】 公园里有两个同心圆形花坛（如图）。小圆花坛半径是5米，大圆花坛半径比小圆多5米。现在计划将小圆花坛的半径扩大，使得扩大后的小圆花坛面积等于原来大圆花坛与小圆花坛的面积差。问小圆半径需要扩大多少米？

💀 错误率：95%

❌ 常见错误：1. 误以为题目问的是“扩大几倍”，直接去求倍数。2. 求出新半径后，忘记减去原半径，直接答成新半径的长度。3. 计算大圆半径时出错：\(5 + 5 = 10\)。

✅ 阿星解析：

1. 第一步（理清已知）：小圆原半径 \( r = 5 \) m，大圆半径 \( R = 5 + 5 = 10 \) m。
2. 第二步（求目标面积）：原来圆环（面积差）面积 = \( \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (10^2 - 5^2) = \pi (100 - 25) = 75\pi \) (平方米)。这个 \(75\pi\) 就是扩大后小圆的目标面积。
3. 第三步（列方程求新半径）：设扩大后小圆半径为 \( r_{新} \)。则其面积为 \( \pi (r_{新})^2 = 75\pi \)。
   两边约去 \( \pi \)：\( (r_{新})^2 = 75 \)。
   所以 \( r_{新} = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \) (米)。（保留根号形式更精确）
4. 第四步（回答问题）：问的是“半径需要扩大多少米”，所以是 \( r_{新} - r = 5\sqrt{3} - 5 = 5(\sqrt{3} - 1) \) 米。

正解：小圆半径需要扩大 \( 5(\sqrt{3} - 1) \) 米。