从9毫米黑洞到宇宙尺度：天体物理「举一反三」深度攻略

💡 阿星精讲：天体物理 的本质

想象一下，你手中的地球仪如果被一股神力疯狂压缩，直到它的直径只剩下大约 \( 9 \) 毫米——一个玻璃弹珠的大小。这时，它就不再是我们熟悉的家园，而会变成一个连光都无法逃脱的「黑洞」。这个神奇的临界尺寸，在天体物理中被称为「史瓦西半径」，其计算公式为 \( R_s = \frac{2GM}{c^2} \)，其中 \( G \) 是万有引力常数，\( M \) 是天体质量，\( c \) 是光速。这个公式揭示了一个深刻本质：任何有质量的物体，都有一个属于自己的“黑洞临界点”。 天体物理的很多问题，都围绕着质量、引力与时空的尺度展开。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案：计算过程见上，结果约为 \( 8.84 \, \text{mm} \)，验证了“约 \( 9 \) 毫米”的说法。

变式一解析：
代入公式 \( R_s = \frac{2GM_\odot}{c^2} \)：
\( R_s = \frac{2 \times (6.67 \times 10^{-11}) \times (1.99 \times 10^{30})}{(3.00 \times 10^8)^2} \approx 2.95 \times 10^3 \, \text{m} \)。
换算为公里：\( 2.95 \, \text{km} \)。答案：约 \( 3 \) 公里。

变式二解析：
由 \( R_s = \frac{2GM}{c^2} \) 变形得 \( M = \frac{R_s c^2}{2G} \)。
代入 \( R_s = 1.2 \times 10^{10} \, \text{m} \)：
\( M = \frac{(1.2 \times 10^{10}) \times (3.00 \times 10^8)^2}{2 \times 6.67 \times 10^{-11}} \approx 8.09 \times 10^{36} \, \text{kg} \)。
太阳质量 \( M_\odot = 1.99 \times 10^{30} \, \text{kg} \)，故 \( \frac{M}{M_\odot} \approx \frac{8.09 \times 10^{36}}{1.99 \times 10^{30}} \approx 4.06 \times 10^{6} \)。
答案：约 \( 4.1 \) 百万倍太阳质量。

变式三解析：
第1步：球体质量 \( M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \)。
第2步：史瓦西半径 \( R_s = \frac{2GM}{c^2} = \frac{2G}{c^2} \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \)。
第3步：当天体的实际半径 \( R \) 恰好等于其史瓦西半径 \( R_s \) 时，它便成为黑洞。令 \( R = R_s \)：
\( R = \frac{8\pi G}{3c^2} \rho R^3 \)。
第4步：化简得关系式：\( \rho = \frac{3c^2}{8\pi G R^2} \)。或者，对于给定的密度，成为黑洞的临界半径为 \( R = \sqrt{\frac{3c^2}{8\pi G \rho}} \)。
第5步：代入水的密度 \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \)：
\( R = \sqrt{\frac{3 \times (3.00 \times 10^8)^2}{8 \pi \times 6.67 \times 10^{-11} \times 1000}} \approx \sqrt{1.61 \times 10^{26}} \approx 1.27 \times 10^{13} \, \text{m} \)。
这个距离约等于 \( 0.0013 \) 光年，或 \( 85 \) 个天文单位（AU），远超海王星轨道。
答案：关系式为 \( R = \sqrt{\frac{3c^2}{8\pi G \rho}} \)；临界半径约 \( 1.27 \times 10^{13} \, \text{m} \)。