阿星的显微镜

观察每一项的分母，都是两个相邻自然数相乘（差为1）。直接使用“裂项刀法”：

标准算式：
\( \frac{1}{1\times2} = 1 - \frac{1}{2} \)
\( \frac{1}{2\times3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \)
\( \frac{1}{3\times4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \)
把它们加起来：\( (1 - \cancel{\frac{1}{2}}) + (\cancel{\frac{1}{2}} - \cancel{\frac{1}{3}}) + (\cancel{\frac{1}{3}} - \frac{1}{4}) \)
神奇的事情发生了！中间所有分数像多米诺骨牌一样全部抵消！
最后只剩下：\( 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)

阿星的避雷针：

大多数人会怎么错：直接写成 \( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \)。但这是错误的！

图解陷阱：用香肠法验证：\( \frac{1}{2\times5} = \frac{1}{10} \)，而 \( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} = \frac{3}{10} \)，两者不相等！图中被减数和减数的“长度差”不再是“1份”，而是“3份”（因为5-2=3）。

正确思路：当分母两数差不是1时，裂项公式需要“配平”。通用公式为：
\( \frac{1}{n\times(n+d)} = \frac{1}{d} \times (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+d}) \)
所以，\( \frac{1}{2\times5} = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) \)
\( \frac{1}{5\times8} = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{5} - \frac{1}{8}) \)
原式 = \( \frac{1}{3} \times [(\frac{1}{2} - \cancel{\frac{1}{5}}) + (\cancel{\frac{1}{5}} - \frac{1}{8})] = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{8}) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{1}{8} \)

思维迁移：这看起来是工程问题，但计算中藏着“裂项”思维！
甲乙合作效率：\( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3+2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \)
合作3天完成：\( 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \)
剩下：\( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)
乙需要的天数：\( \frac{1}{2} \div \frac{1}{15} = \frac{15}{2} = 7.5 \) (天)
看，在计算合作效率时，\( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} \)，本质上就是在处理“分数单位”的相加，它通向裂项计算中常见的分数通分与化简。掌握了裂项，你对分数的敏感度会大大提升！