等差数列求和？高斯“牵手法”一步到位！零基础终极指南（附口诀）：典型例题精讲

阿星拆解：

1. 识别队伍信息： 队伍一共有5个数（项数 \( n = 5 \)）。
2. 找到排头和排尾： 排头（第一项）\( a_1 = 2 \)，排尾（第五项）\( a_5 = 14 \)。
3. 计算一对的身高和： \( a_1 + a_5 = 2 + 14 = 16 \)。
4. 计算有多少对： 项数 \( n = 5 \)，所以对数为 \( 5 \div 2 = 2.5 \) 对？等等！这里是个关键：队伍人数（项数）必须是偶数才能刚好两两配对完吗？ 我们回想一下“牵手”的画面：当队伍人数是奇数时（比如5个），正中间的那个人（第三项，8）会没有人牵手！但他也需要被算进总身高里。怎么办？
5. 高斯的智慧： 其实公式 \( S_n = \frac{(a_1 + a_n) \times n}{2} \) 已经完美解决了这个问题。我们直接代入：\( S_5 = \frac{(2 + 14) \times 5}{2} \)。先算括号：\( 16 \times 5 = 80 \)，再除以2：\( 80 \div 2 = 40 \)。
✅ 所以，总和是40。我们可以验证：2+5+8+11+14 = 40，完全正确！

阿星敲黑板：

这道题的陷阱在于：它没有直接给出“排尾”（第10项），而是给了总和，让我们反过来找排尾。很多同学会想先去硬算第10项，再求和来验证，这就绕远了。我们要直接运用求和公式来逆向思维。

化解步骤：
1. 列出已知信息： 排头 \( a_1 = 3 \)，项数 \( n = 10 \)，总和 \( S_{10} = 120 \)。未知的是排尾 \( a_{10} \)。
2. 写出求和公式： \( S_n = \frac{(a_1 + a_n) \times n}{2} \)。代入已知：\( 120 = \frac{(3 + a_{10}) \times 10}{2} \)。
3. 零跳步解方程：
  第一步：等式两边同时乘以2，消除分母：\( 120 \times 2 = (3 + a_{10}) \times 10 \) → \( 240 = (3 + a_{10}) \times 10 \)。
  第二步：等式两边同时除以10：\( 240 \div 10 = 3 + a_{10} \) → \( 24 = 3 + a_{10} \)。
  第三步：等式两边同时减去3：\( 24 - 3 = a_{10} \) → \( a_{10} = 21 \)。
✅ 所以，第10项（排尾）是21。

快速检验： 用公式算一下前10项和：\( S_{10} = \frac{(3 + 21) \times 10}{2} = \frac{24 \times 10}{2} = 120 \)。完美！

思维迁移：

这题看起来是图形题，但它就是等差数列求和的“现实版马甲”！我们一起来“翻译”一下：

1. 找到“队伍”： 钢管的层数就是“项数”。从第1层（最上层）到第7层（最下层），每层的钢管数构成了一个等差数列。
2. 对应信息： 排头 \( a_1 \) = 最上层根数 = 4；排尾 \( a_n \) = 最下层根数 = 10。
3. 关键一步：求项数 \( n \)： 题目说“相邻两层相差1根”，这就是公差 \( d = 1 \)。从4根到10根，增加了 \( 10 - 4 = 6 \) 根。每次增加1根，需要增加 \( 6 \div 1 = 6 \) 次。这意味着从第1层开始，经过了6次“+1”到了第7层。所以，层数（项数）\( n = 7 \)。
4. 代入牵手公式： 总和 \( S_7 = \frac{(a_1 + a_7) \times 7}{2} = \frac{(4 + 10) \times 7}{2} \)。
5. 计算： 先算 \( 4 + 10 = 14 \)，然后 \( 14 \times 7 = 98 \)，最后 \( 98 \div 2 = 49 \)。
✅ 所以，这堆钢管总共有49根。

看，虽然场景变成了梯形钢管堆，但核心依然是“找到排头、排尾和人数，然后牵手配对相乘再除以2”。万变不离其宗！