面积一样周长却不同？阿星用“拼图”一招讲透 | 小学数学易错题破解：典型例题精讲
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2025-12-20
阿星解密：面积一样，为什么周长不一样？
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象你在玩拼图，或者用乐高积木搭东西。你有固定数量（面积）的“块”，但可以用不同方式把它们拼起来。面积就是你拥有的“材料”总量，而周长就是这些材料拼好后，最外面那圈“边”的总长度。
阿星的拼图秘笈：“面积是面，周长是边。把图形‘凹’进去，面不会少，但边会变多！”
👀 看图说话：
关键点拨：
看上面的图，两个图形都由4个一模一样的小方块组成，所以它们的“面”（面积）肯定一样大。但是，数一数最外圈红色边线的长度（每小段算1份）：
- 形状A（长条）：它的边界很“光滑”，只有顶边、底边和左右两侧。
- 形状B（正方形）：它中间有个凹进去的角落！仔细看，这个凹角凭空多出了2条内部的边，变成了外部边界。这就是周长变长的秘密！
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】用4个边长为1厘米的小正方形，能拼成哪几种不同的图形？它们的周长分别是多少？
阿星的显微镜（画图验证）：
我们用“口”代表一个正方形块，把所有主要拼法画出来：
拼法1（长条）： 口口口口 周长 = (4 + 1) × 2 = 10厘米
拼法2（正方形）： 口口
口口 周长 = 2 × 4 = 8厘米
拼法3（L形）： 口口口
口 周长 = (3+2+1+1+1+1) = 9厘米？让我们仔细数！
实际上，可以看作一个“凸”字形：上边3，右边2，下边（分两段：1和2），左边（分两段：1和1）。
总周长 = 3+2+2+1+1+1 = 10厘米。
核心发现：同样是4块“面”，拼得越方正、越紧凑（像正方形），周长越短；拼得越细长、越凹凸不平，周长就越长。
【易错陷阱】用9个面积是1平方分米的正方形拼成一个图形，这个图形的面积一定是9平方分米，周长也一定是（9×4=36分米）吗？
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：认为“面积是9个小方块之和，那周长就是9个小方块的边长之和”，错误地算出 9 × 4 = 36分米。
图解陷阱：这种算法把内部所有被遮住的边也都算进去了！当小方块拼在一起时，中间贴合的那些边就不再是图形的外边界了，不能算入周长。
正确思路：代入“拼图”隐喻。面积是固定的9块“面”。周长取决于怎么拼。
- 如果拼成一个大正方形（3×3），它的周长是 3 × 4 = 12分米。
- 如果拼成一个细长条（1×9），它的周长是 (9 + 1) × 2 = 20分米。
看，周长根本不一样！ 20分米 ≠ 36分米，也 ≠ 12分米。必须根据具体形状去数最外圈的边。
【高手进阶】园艺师阿星想用24块边长为1米的方形草皮铺一块草坪，要求铺成长方形。怎样铺最节省围栏材料？
思维迁移：这本质上就是“面积相等（24平方米），求周长最小的长方形”。面积固定，长和宽越接近，图形越“方正”，周长就越小。
24 = 24×1 = 12×2 = 8×3 = 6×4。分别计算周长：
(24+1)×2=50米， (12+2)×2=28米， (8+3)×2=22米， (6+4)×2=20米。
所以，铺成长6米、宽4米的长方形最节省围栏。
生活应用：包装礼盒（用最少的包装纸）、修建花园围栏（节省成本）、设计房间布局（让空间显得更大）都藏着这个原理！
📝 阿星的定海神针（口诀）：
面积是面，周长是边。
面同边不同，凹凸是关键。
越近越方正，周长就越短！
🚀 举一反三：巩固练习
用6个边长为1厘米的正方形拼图形。拼成的长方形中，周长最长是多少厘米？最短是多少厘米？
（陷阱题）两个图形都由10个面积为1的小方格组成。小明说：“它们面积一样，所以周长肯定一样。” 他说的对吗？为什么？
（生活应用）妈妈有36块边长2分米的地板砖，要铺一个长方形的阳台。怎样铺能使阳台四周的踢脚线（相当于周长）用得最少？最少需要多长的踢脚线？
📚 答案与解析
【答案速查】
- 练习一：最长周长：拼成1×6的长条，周长 = (6+1)×2 = 14厘米。最短周长：拼成3×2的长方形，周长 = (3+2)×2 = 10厘米。
- 练习二：不对。根据“拼图”原理，面积相等只说明“面”的总量相同。如果拼法不同，一个图形可能更凹凸不平，导致它的“边”（周长）更长。必须看具体形状。
- 练习三：要使周长最小，应让长和宽最接近。36块砖铺成长方形，可能的情况有：1×36， 2×18， 3×12， 4×9， 6×6。计算每种情况大长方形的周长（注意单位换算：砖边长2分米）：
- 6×6时，大长方形边长为 6×2=12分米，周长=12×4=48分米，这是正方形，周长最短。
（或计算比较：(6×2 + 6×2)×2 = 48分米）
答：铺成边长相等的正方形（6块砖长，6块砖宽）最省踢脚线，最少需要48分米。
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