独家心法！攻克小学“轮流工作”难题：像玩周期游戏一样解题：典型例题精讲

阿星拆解：这是最标准的“轮流工作”题，我们一步步来，绝不跳步。

第1步：理解“一个周期”干了多少活。
一个周期是：甲1小时 + 乙1小时。
甲每小时完成 \( \frac{1}{10} \)（十分之一）的工程。
乙每小时完成 \( \frac{1}{15} \)（十五分之一）的工程。
所以一个周期（2小时）完成的工作量是：\( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \)。

第2步：算算需要几个完整的周期。
总工程是“1”。
用总工程除以一个周期的工作量：\( 1 \div \frac{1}{6} = 6 \)（个）。
这意味着，整整6个周期就能把活干完！

第3步：计算总时间。
一个周期2小时，6个周期就是：\( 6 \times 2 = 12 \) 小时。
✅ 答案：总共需要12小时。

看，这就是最理想的情况，整周期正好干完，没有零头。就像买水果，正好买了整箱，不用散称。

阿星敲黑板：这道题有个隐藏大坑！你算完周期会发现，有零头！而且这个零头工程，需要判断轮到谁做，以及是否做满整个1天。很多人就在这里出错。

第1步：计算周期工作量。
甲每天完成 \( \frac{1}{4} \)，乙每天完成 \( \frac{1}{6} \)。
一个周期（甲1天+乙1天）完成：\( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12} \)。

第2步：计算完整周期数。
总工程“1”除以 \( \frac{5}{12} \)：\( 1 \div \frac{5}{12} = \frac{12}{5} = 2.4 \)（个周期）。
⚠️注意！ 2.4个周期，意思是2个完整周期后，还剩一些活。我们把它算出来：
2个完整周期完成的工作量：\( 2 \times \frac{5}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \)。
剩余工作量：\( 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \)。

第3步（关键）：处理剩余工作量。
顺序是甲、乙、甲、乙……两个完整周期后（做了4天），接下来轮到甲做第5天。
问：甲1天能完成 \( \frac{1}{4} \)，现在只剩 \( \frac{1}{6} \) 的活，甲需要干满一整天吗？
比较一下：\( \frac{1}{6} < \frac{1}{4} \)，意思是剩下的这点活，甲在1天之内就能干完，而且不用做满全天！
所以，甲做这 \( \frac{1}{6} \) 的活，需要的时间是：\( \frac{1}{6} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{6} \times 4 = \frac{2}{3} \)（天）。

第4步：计算总时间。
2个完整周期：\( 2 \times 2 = 4 \) 天。
加上甲做零头的时间：\( \frac{2}{3} \) 天。
总时间：\( 4 + \frac{2}{3} = 4\frac{2}{3} \) 天 或 \( \frac{14}{3} \) 天。
✅ 答案：需要 \( 4\frac{2}{3} \) 天。

核心避坑点： 剩余工作量不一定要干满一个单位时间！要像买菜一样，需要多少称多少，用“工作量÷工作效率”来算具体时间。

思维迁移：看，场景从“做工程”变成了“注水”，但“周期性工程”的原型丝毫没变！水池容量就是“总工程1”，进水管的效率就是每小时完成 \( \frac{1}{时间} \)。解题逻辑完全一样。

第1步：计算周期工作量。
甲管每小时进水 \( \frac{1}{12} \)，乙管每小时进水 \( \frac{1}{18} \)。
一个周期（甲1小时+乙1小时）的进水量：\( \frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36} \)。

第2步：计算完整周期数。
\( 1 \div \frac{5}{36} = \frac{36}{5} = 7.2 \) 个周期。
取整，7个完整周期。
7个周期完成的进水量：\( 7 \times \frac{5}{36} = \frac{35}{36} \)。
剩余水量：\( 1 - \frac{35}{36} = \frac{1}{36} \)。

第3步：处理剩余水量。
顺序是甲、乙、甲、乙……7个完整周期后（过了 \( 7\times2=14 \) 小时），接下来轮到甲管开第15小时。
甲管每小时进水 \( \frac{1}{12} = \frac{3}{36} \)。现在只剩 \( \frac{1}{36} \) 的水要进。
因为 \( \frac{1}{36} < \frac{3}{36} \)，所以甲管不需要开满1小时。
所需时间：\( \frac{1}{36} \div \frac{1}{12} = \frac{1}{36} \times 12 = \frac{1}{3} \)（小时）。

第4步：计算总时间。
7个完整周期：\( 14 \) 小时。
甲管再开 \( \frac{1}{3} \) 小时。
总时间：\( 14 + \frac{1}{3} = 14\frac{1}{3} \) 小时。
✅ 答案：需要 \( 14\frac{1}{3} \) 小时。

看，无论场景怎么换，只要抓住“周期打包，整零分算”这个内核，你就能一眼看穿题目的真面目！