算法调度通关攻略：像指挥千军万马一样，用数学搞定最优路径！：典型例题精讲
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2025-12-20
算法调度：从外卖骑手到全局最优的数学指挥家
💡 阿星精讲：算法调度 的本质
想象一下，你是一个外卖平台的“超级大脑”。在晚高峰，你有 \(n=10000\) 个订单（每个订单有取餐点 \(P_i\) 和送餐点 \(D_i\)），和 \(m=500\) 名骑手在城市中穿梭。你的目标不是简单地“一单配一人”，而是在毫秒级的时间内，为所有订单和骑手计算出一组全局最优的配送路线，使得总配送时间最短、骑手工作量最均衡。这就是动态车辆路径问题（Dynamic Vehicle Routing Problem, DVRP）的核心。
用数学语言描述，我们追求的是最小化目标函数：总行驶距离 \(Z = \sum_{k=1}^{m} \sum_{(i,j) \in R_k} d_{ij}\)，其中 \(d_{ij}\) 是地点 \(i\) 到 \(j\) 的距离，\(R_k\) 是分配给骑手 \(k\) 的路线序列。同时，我们必须遵守约束：每个订单都被服务一次，骑手负载不超过上限 \(Q\)，订单必须在时间窗 \([e_i, l_i]\) 内送达。这本质上是一个在巨大解空间中的最优化搜索问题。
🔥 经典例题精析
题目：某快递站有 \(5\) 个待配送包裹（订单），\(2\) 名快递员（骑手）。每个订单的取送件地点间的行驶时间（分钟）矩阵如下表所示（“站”代表起点驿站）。若每名骑手最多承接 \(3\) 个订单，且必须从驿站出发并最终返回驿站，如何分配任务使最晚返回驿站的骑手所用时间尽可能早（即最小化最大行程时间）？
时间矩阵：
| 地点 | 站 | A取 | A送 | B取 | B送 | C取 | C送 | D取 | D送 | E取 | E送 |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 站 | 0 | 8 | 12 | 5 | 15 | 10 | 18 | 6 | 20 | 9 | 16 |
| A取| 8 | 0 | 4 | 9 | 17 | 12 | 20 | 10 | 22 | 13 | 18 |
| A送|12 | 4 | 0 | 13 | 9 | 16 | 12 | 14 | 10 | 17 | 8 |
| B取| 5 | 9 | 13 | 0 | 10 | 7 | 19 | 5 | 21 | 8 | 17 |
| B送|15 |17 | 9 | 10 | 0 | 19 | 11 | 21 | 7 | 20 | 9 |
... (为简洁，C、D、E数据规律类似，取送点间时间为4，对称分布)
阿星拆解：这是一个简化版的VRP问题。我们无法暴力枚举所有组合（解空间巨大），需要用启发式算法思想分步击破。
第一步：问题转化与建模
目标：最小化 \(\max(T_1, T_2)\)，其中 \(T_k\) 是骑手 \(k\) 的总行程时间。
约束：每个订单（取+送）必须被分配给一个骑手，且取件必须在送件之前。每个骑手订单数 \(\leq 3\)。
第二步：构造初始解（最近邻贪心法）
1. 为骑手1和2都从“站”开始。
2. 从所有未分配订单的取件点中，选择离骑手当前位置最近的点。例如，骑手1：离“站”最近的是B取（\(5\)分钟），前往B取。
3. 完成取件后，必须立即前往对应的送件点B送（时间\(10\)分钟）。
4. 更新骑手位置为B送，重复步骤2，直到骑手任务数满或任务分配完。
第三步：优化调整（局部搜索）
计算当前方案的总时间。尝试进行“操作”来改进：
- 交换操作：交换两个骑手路径中的各一个订单，重新计算时间。
- 迁移操作：将一个骑手的某个订单迁移给另一个骑手。
如果操作能使 \(\max(T_1, T_2)\) 减少，则接受这个新解。
口诀：
“订单骑手先配对，时间矩阵算明白。贪心构造初始解，局部搜索更出彩。最小最大是目标，均衡分配效率在。”
🚀 举一反三：变式挑战
背景换成“共享单车调度”。有 \(3\) 辆调度车，需要从 \(10\) 个车辆过剩的站点（每个站点有 \(b_i\) 辆单车需运走）调运到 \(8\) 个车辆短缺的站点（每个站点需要 \(d_j\) 辆）。每辆调度车容量为 \(C\)。已知任意两点间行驶时间 \(t_{ij}\)。如何规划路线，使得在 \(4\) 小时内完成所有调运，且总空驶时间最短？（目标函数变化）
已知在某一最优调度方案下，两名骑手完成所有 \(6\) 个订单的总耗时分别为 \(T_1 = 95\) 分钟和 \(T_2 = 100\) 分钟（从离站到回站）。现已确定其中一个订单（取送点时间固定为 \(7\) 和 \(5\) 分钟，且两点间距离为 \(4\) 分钟）从骑手1调整给了骑手2。若调整后，骑手1的新路线因少了这个订单，其节约的时间恰好等于该订单取件点到骑手1原下个地点的距离 \(x\)。求 \(x\) 是多少？（考察反推与约束理解）
在上题基础上，引入动态订单。当两名骑手已按初始方案执行 \(30\) 分钟后，突然在的新地点 \(F\) 产生一个新订单（取件点F取，送件点F送，F取至F送需 \(8\) 分钟）。已知此时骑手1在位置 \(L_1\)，骑手2在位置 \(L_2\)，且他们剩余路径已知。系统需在 \(10\) 秒内决策：1）是否接受该订单？2）如果接受，插入哪位骑手的现有路径中，以及插入在何时（必须满足取送顺序和时间窗）？请设计决策逻辑和评估函数。（考察动态插入与实时重规划）
答案与解析
经典例题参考思路与答案：
通过贪心+局部搜索，一种较优的分配方案可能是：
- 骑手1： 站 → B取 (\(5\)) → B送 (\(10\)) → D取 (\(5\)，从B送到D取) → D送 (\(7\)) → 站 (\(20\))。总时间 \(T_1 = 5+10+5+7+20 = 47\) 分钟。
- 骑手2： 站 → A取 (\(8\)) → A送 (\(4\)) → C取 (\(12\)，从A送到C取) → C送 (\(4\)) → E取 (\(11\)，从C送到E取) → E送 (\(4\)) → 站 (\(16\))。总时间 \(T_2 = 8+4+12+4+11+4+16 = 59\) 分钟。
最小化最大行程时间为 \(\max(47, 59) = 59\) 分钟。可通过尝试交换B订单和C订单等操作看能否平衡至更低。
变式一解析： 目标函数变为最小化总空驶时间 \(\sum_{k=1}^{3} \sum_{(i,j) \in Path_k} t_{ij}\)，但仅当车辆为空时才计入空驶。约束增加装载量限制 \(\sum b_i = \sum d_j\) 和调度车容量 \(C\)。需采用带容量约束的VRP (CVRP) 和取送货模型 (PD)。
变式二解析： 设调整的订单在骑手1原路径中，其取件点前驱为 \(M\)，后继（即原下一个地点）为 \(N\)。节约的时间 \(x = t_{M,取} + t_{取,送} + t_{送,N} - t_{M,N}\)。已知 \(t_{取,送} = 4\)，且订单本身耗时 \(7+5=12\) 分钟已包含在 \(T_1\) 中。调整后 \(T_1' = T_1 - 12 - x\)。同时，骑手2增加该订单，其新增时间不仅包括订单本身的 \(12\) 分钟，还有从其当前位置到该订单取件点的接入时间，以及从订单送件点回原路径的接出时间。题目条件“节约的时间恰好等于 \(x\)” 是关键，用于反推路径结构。答案取决于具体路径，但 \(x\) 的计算公式是核心。
变式三解析： 决策逻辑：
1. 评估可行性： 分别模拟将新订单插入两名骑手当前位置之后路径的所有可能位置（保持取送顺序），检查是否满足时间窗约束（如有）且是否导致其他订单超时。
2. 评估函数： 计算插入后的成本增量 \(\Delta_k = T_k^{new} - T_k^{old}\)（\(T_k\) 为骑手 \(k\) 完成全部订单的总时间）。同时考虑公平性，避免某骑手过载。评估函数可设为 \(f(k) = \alpha \cdot \Delta_k + \beta \cdot |T_1^{new} - T_2^{new}|\)，选择 \(f(k)\) 较小且可行的方案。
3. 快速决策： 使用插入启发式，只评估插入当前路径中“最优”的几个位置（如就近插入），而非全部，以满足 \(10\) 秒时限。
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