机场安检：排队崩溃的数学秘密

💡 阿星精讲：机场安检 的本质

想象一下，机场安检口就像一个“消化系统”。乘客按一定速率 \( \lambda \)（人/分钟）“流入”，安检通道以速率 \( \mu \)（人/分钟）“服务”。

当一切平稳（\( \lambda < \mu \)），队伍缓慢移动，如同小溪流淌。但当你“卡点”到达，恰逢高峰（\( \lambda \to \mu \)），系统就来到了崩溃临界点。此时，根据排队论（M/M/1模型），你的平均等待时间公式 \( W_q = \frac{\rho}{\mu - \lambda} \) （其中 \( \rho = \frac{\lambda}{\mu} \)）的分母 \( \mu - \lambda \) 会趋近于0，导致等待时间 \( W_q \) 理论上趋向于无穷大！这就是“指数级爆炸”的数学真相——它不是在吓你，而是在告诉你：留出冗余时间，是对抗系统不确定性的唯一法宝。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案：1) \( L_q = 2.25 \) 人， \( W_q = 1.5 \) 分钟。 2) 约 \( 6.33 \) 倍。说明当到达率接近服务率时，系统稳定性急剧下降，等待时间非线性暴增。

变式一解析：
首先转换：服务率 \( \mu = \frac{1}{6} \) 辆/秒 \( = 10 \) 辆/分钟。初始到达率 \( \lambda = \frac{1}{8} \) 辆/秒 \( = 7.5 \) 辆/分钟。
初始 \( \rho = 0.75 \)， \( W_q = \frac{0.75}{10 - 7.5} = 0.3 \) 分钟 \( = 18 \) 秒。
变化后 \( \lambda' = \frac{1}{6.5} \times 60 \approx 9.23 \) 辆/分钟， \( \rho' \approx 0.923 \)， \( W_q' = \frac{0.923}{10 - 9.23} \approx 1.2 \) 分钟 \( = 72 \) 秒。
等待时间增加了 \( 54 \) 秒，是原来的 \( 4 \) 倍。再次印证“接近即崩溃”。

变式二解析：
根据公式 \( W_q = \frac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)} \)。已知 \( W_q \leq 5 \)， \( \lambda = 1.8 \)。
代入： \( 5 \geq \frac{1.8}{\mu(\mu - 1.8)} \)。
解不等式： \( 5\mu(\mu - 1.8) \geq 1.8 \) -> \( 5\mu^2 - 9\mu - 1.8 \geq 0 \)。
解得 \( \mu \geq 2.1 \) （舍去负值）。因此服务率至少需 \( 2.1 \) 人/分钟。

变式三解析：
情况A（两个独立口）：每个队列分得 \( \lambda_A = \frac{3.6}{2} = 1.8 \) 人/分钟， \( \mu = 2 \)。
每个队列 \( \rho = 0.9 \)， \( W_{qA} = \frac{0.9}{2 - 1.8} = 4.5 \) 分钟。整体平均等待时间即为 \( 4.5 \) 分钟。
情况B（一个高效口）： \( \lambda = 3.6 \)， \( \mu' = 4 \)， \( \rho' = 0.9 \)。
\( W_{qB} = \frac{0.9}{4 - 3.6} = 2.25 \) 分钟。
对比：一个高效口（\( 2.25 \) 分钟）的等待时间远短于两个独立口（\( 4.5 \) 分钟）。这是因为单一队列的 M/M/1 模型避免了因随机选择队列而可能出现的“一边忙死一边闲死”的资源浪费现象。这解释了为什么很多场所（如银行、餐厅）采用“单队多服务台”模式，它从数学上保证了更高的整体效率。