听声辨数：跟阿星学“拍西瓜”中的深度数学建模与举一反三：典型例题精讲
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五年级
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最近更新
2025-12-20
💡 阿星精讲：声学辨识 的本质
“听声辨位”不仅是生活经验，更是数学建模的智慧。想象一下，当你轻拍一个西瓜时，发出的声音音调高低（频率）就像物体密度的“情报员”，而声音消失的快慢（阻尼）则是内部结构（如空心程度）的“告密者”。一个结构致密、实心的西瓜，拍打声清脆（频率 \( f \) 较高）且余音绵长（阻尼系数 \( \beta \) 较小）；而一个内部有空洞或熟过头的西瓜，声音则沉闷（频率 \( f \) 较低）且短促（阻尼系数 \( \beta \) 较大）。在数学上，这常被建模为受迫阻尼振动，其振幅随时间的变化规律为 \( A(t) = A_0 e^{-\beta t} \cos(2\pi f t) \)。我们解题，就是解码这些声音信号背后的物理与数学方程。
🔥 经典例题精析
题目：阿星拍击一个西瓜，测得声音的基频为 \( f = 95 \, \text{Hz} \)，且振幅每秒衰减为原来的 \( e^{-2.3} \) 倍（即阻尼系数 \( \beta = 2.3 \, \text{s}^{-1} \)）。已知该品种西瓜理想成熟态的标准频率 \( f_0 = 100 \, \text{Hz} \)，标准阻尼系数 \( \beta_0 = 2.0 \, \text{s}^{-1} \)。理论模型指出，频率平方与果肉平均密度成反比，即 \( \frac{f^2}{f_0^2} = \frac{\rho_0}{\rho} \)；阻尼系数与内部空腔大小成正比，即 \( \frac{\beta}{\beta_0} = \frac{V_{\text{空}}}{V_{\text{空，0}}} \)。求此西瓜相对于标准状态的密度比 \( \frac{\rho}{\rho_0} \) 和空腔大小比 \( \frac{V_{\text{空}}}{V_{\text{空，0}}} \)。
阿星拆解：
第一步：解码“音调”求密度。 根据频率模型 \( \frac{f^2}{f_0^2} = \frac{\rho_0}{\rho} \)，代入 \( f = 95 \)， \( f_0 = 100 \)：
\[ \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{f_0^2}{f^2} = \frac{100^2}{95^2} = \frac{10000}{9025} \approx 1.108 \]
密度比约为 \( 1.108 \)，说明这个西瓜果肉密度比标准状态略高，可能还不够熟透。
第二步：解码“余音”求空腔。 根据阻尼模型 \( \frac{\beta}{\beta_0} = \frac{V_{\text{空}}}{V_{\text{空，0}}} \)，代入 \( \beta = 2.3 \)， \( \beta_0 = 2.0 \)：
\[ \frac{V_{\text{空}}}{V_{\text{空，0}}} = \frac{2.3}{2.0} = 1.15 \]
空腔大小比为 \( 1.15 \)，说明内部空腔（或过熟区域）比标准状态大了 \( 15\% \)。
口诀：频率平方反比密，阻尼正比空腔体。先算比值再分析，瓜熟蒂落现原形。
🚀 举一反三：变式挑战
拍击一颗椰子，测得声音频率 \( f = 220 \, \text{Hz} \)，阻尼系数 \( \beta = 4.5 \, \text{s}^{-1} \)。已知标准椰子的参数为 \( f_0 = 200 \, \text{Hz} \)， \( \beta_0 = 5.0 \, \text{s}^{-1} \)，关系模型同上。求此椰子的密度比和空腔大小比，并判断其果肉是更致密了还是更疏松了，内部是更“实”还是更“空”？
已知一个西瓜的果肉密度为标准状态的 \( 0.96 \) 倍（即 \( \frac{\rho}{\rho_0} = 0.96 \)），且其内部空腔体积为标准状态的 \( 0.8 \) 倍。根据上述频率与阻尼模型，反推拍击时测得的频率 \( f \) 与阻尼系数 \( \beta \) 与各自标准值的比值 \( \frac{f}{f_0} \) 和 \( \frac{\beta}{\beta_0} \) 分别是多少？
对于一套更普适的模型，假设声音频率满足 \( f = \frac{k}{2\pi} \sqrt{\frac{E}{\rho}} \)，其中 \( E \) 为果肉弹性模量， \( \rho \) 为密度， \( k \) 为形状常数。现对同一品种的两个西瓜A和B进行测试。已知标准西瓜的 \( E_0 \)， \( \rho_0 \)。测得A瓜的频率 \( f_A = 1.1 f_0 \)，B瓜的频率 \( f_B = 0.9 f_0 \)。若A、B两瓜的密度之比为 \( \frac{\rho_A}{\rho_B} = 1.21 \)，求两瓜的弹性模量之比** \( \frac{E_A}{E_B} \) 是多少？
答案与解析
经典例题答案：密度比 \( \frac{\rho}{\rho_0} \approx 1.108 \)；空腔大小比 \( \frac{V_{\text{空}}}{V_{\text{空，0}}} = 1.15 \)。
变式一解析：
密度比： \( \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{f_0^2}{f^2} = \frac{200^2}{220^2} = \frac{40000}{48400} \approx 0.826 \)。密度比小于 \( 1 \)，说明果肉比标准状态更疏松。
空腔比： \( \frac{V_{\text{空}}}{V_{\text{空，0}}} = \frac{\beta}{\beta_0} = \frac{4.5}{5.0} = 0.9 \)。空腔比小于 \( 1 \)，说明内部比标准状态更“实”。
变式二解析：
由 \( \frac{\rho}{\rho_0} = 0.96 \) 及 \( \frac{f_0^2}{f^2} = \frac{\rho_0}{\rho} \)，得 \( \frac{f}{f_0} = \sqrt{\frac{\rho}{\rho_0}} = \sqrt{0.96} \approx 0.98 \)。
由 \( \frac{V_{\text{空}}}{V_{\text{空，0}}} = 0.8 \) 及 \( \frac{\beta}{\beta_0} = \frac{V_{\text{空}}}{V_{\text{空，0}}} \)，得 \( \frac{\beta}{\beta_0} = 0.8 \)。
变式三解析：
由公式 \( f = \frac{k}{2\pi} \sqrt{\frac{E}{\rho}} \)，对于同一品种 \( k \) 相同。因此有比例关系： \( \frac{f}{f_0} \propto \sqrt{\frac{E}{\rho}} \)。
对于A瓜： \( 1.1 \propto \sqrt{\frac{E_A}{\rho_A}} \quad \Rightarrow \quad 1.21 \propto \frac{E_A}{\rho_A} \)
对于B瓜： \( 0.9 \propto \sqrt{\frac{E_B}{\rho_B}} \quad \Rightarrow \quad 0.81 \propto \frac{E_B}{\rho_B} \)
两式相除： \( \frac{1.21}{0.81} = \frac{E_A / \rho_A}{E_B / \rho_B} = \frac{E_A}{E_B} \cdot \frac{\rho_B}{\rho_A} \)
代入已知 \( \frac{\rho_A}{\rho_B} = 1.21 \) 即 \( \frac{\rho_B}{\rho_A} = \frac{1}{1.21} \)：
\[ \frac{E_A}{E_B} = \frac{1.21}{0.81} \times \frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{1.21}{0.81} \times 1.21 = \frac{1.4641}{0.81} \approx 1.8075 \]
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