坐标系位似变换怎么求k？坐标直接乘k的口诀与深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：坐标 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们来聊聊坐标系里的“分身术”和“照镜子”。想象一下，原点 \( O(0,0) \) 是一个神奇的“能量源”。如果你有一个点 \( A(x, y) \)，现在能量源发功了！它的规则很简单：让这个点的横坐标和纵坐标都同时乘以同一个“魔力倍数” \( k \)。如果 \( k > 0 \)（比如 \( k=2 \)），点 \( A \) 就会沿着它和原点的连线，被“拉远”到 \( A'(2x, 2y) \)，像一个放大的分身。如果 \( k < 0 \)（比如 \( k=-1 \)），点 \( A \) 会先跑到原点另一侧对称的位置 \( (-x, -y) \)，就像照了一面镜子，然后再根据 \( |k| \) 的大小进行缩放。这种以原点为中心的变换，数学上就叫位似变换。
• 计算秘籍：
  1. 确定位似中心：原点 \( O(0,0) \)。
  2. 确定位似比（魔力倍数） \( k \)。
  3. 对原图形上任意一点 \( P(x, y) \)，其对应点 \( P' \) 的坐标为： \( P'(k \times x,\ k \times y) \)，即 \( P'(kx, ky) \)。
• 阿星口诀：原点中心有魔力，坐标同乘 \( k \) 与 \( -k \)，正数同向负反向，图形缩放或翻转。

📐 图形解析

下图展示了以原点 \( O \) 为位似中心，位似比 \( k=2 \) 和 \( k=-1 \) 的变换效果。

对于点 \( A(2, 1) \)：
当 \( k=2 \) 时，对应点 \( A' \) 坐标为：\( A'(2 \times 2, 2 \times 1) = A'(4, 2) \)。
当 \( k=-1 \) 时，对应点 \( A'' \) 坐标为：\( A''(-1 \times 2, -1 \times 1) = A''(-2, -1) \)。

从图中可以直观看到：\( A' \) 是 \( A \) 沿 \( OA \) 方向放大 \( 2 \) 倍得到的（\( k=2 \)）；\( A'' \) 是 \( A \) 关于原点 \( O \) 的中心对称点（\( k=-1 \)）。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：只乘一个坐标。例如，已知 \( A(3,4) \)，以 \( O \) 为位似中心，\( k=2 \) 得到 \( A' \)，错误写成 \( A'(6, 4) \) 或 \( A'(3, 8) \)。
  ✅ 正解：位似变换要求横、纵坐标必须同乘 \( k \)。正确计算应为 \( A'(2 \times 3, 2 \times 4) = A'(6, 8) \)。
• ❌ 错误2：忽略负号的方向意义。例如，已知 \( B(1, -2) \)，以 \( O \) 为位似中心，\( k=-2 \) 得到 \( B' \)，错误写成 \( B'(2, -4) \)。
  ✅ 正解：\( k \) 为负数时，坐标符号要一起改变。正确计算应为 \( B'(-2 \times 1, -2 \times (-2)) = B'(-2, 4) \)。它不仅长度变为 \( 2 \) 倍，位置也跑到了原点的另一侧。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 点 \( P(5, -3) \) 以原点为位似中心，位似比 \( k=2 \) 变换到 \( P' \)，求 \( P' \) 坐标。
2. 点 \( Q(-1, 4) \) 以原点为位似中心，位似比 \( k=-3 \) 变换到 \( Q' \)，求 \( Q' \) 坐标。
3. 点 \( M(6, 9) \) 以原点为位似中心，变换到 \( M'(2, 3) \)，求位似比 \( k \)。
4. 点 \( N(10, -5) \) 以原点为位似中心，变换到 \( N'(-2, 1) \)，求位似比 \( k \)。
5. 三角形 \( \triangle \) 顶点为 \( (0,0), (2,0), (1,2) \)，以原点为位似中心放大 \( 2.5 \) 倍，求新三角形顶点坐标。
6. 线段 \( AB \) 端点 \( A(0,8), B(-4,0) \)，以原点为中心缩小到原来的 \( \frac{1}{4} \)，求新线段端点坐标。
7. 判断：点 \( (12, 8) \) 和 \( (-3, -2) \) 是以原点为位似中心的对应点吗？若是，求 \( k \)。
8. 判断：点 \( (-9, 6) \) 和 \( (3, -2) \) 是以原点为位似中心的对应点吗？若是，求 \( k \)。
9. 若点 \( A(a, b) \) 以原点为位似中心，\( k=\frac{3}{2} \) 变换到 \( A'(6, -9) \)，求 \( a, b \)。
10. 若点 \( S(2m, m-1) \) 以原点为位似中心，\( k=-\frac{1}{2} \) 变换到 \( S'(5, -3) \)，求 \( m \) 的值。

第二关：中考挑战（10道）

1. （综合）在坐标系中，\( \triangle ABC \) 顶点为 \( A(-3, 6), B(-6, 0), C(-3, 0) \)。以原点 \( O \) 为位似中心，位似比为 \( \frac{1}{3} \) 画出 \( \triangle A'B'C' \)，并判断它与 \( \triangle ABC \) 是位于原点同侧还是异侧？
2. （逆用）已知 \( A(2,3) \) 和 \( B(4,6) \) 以原点 \( O \) 为位似中心的对应点分别是 \( A'(1,1.5) \) 和 \( B'(x, y) \)，求 \( x, y \) 和位似比 \( k \)。
3. （图形性质）以原点为位似中心，将五边形 \( ABCDE \) 放大到原来的 \( 1.5 \) 倍。若原五边形周长为 \( 20 \) cm，面积为 \( S \)，求新五边形的周长和面积。
4. （找规律）在坐标系中，一系列正方形中心均在原点，且后一个正方形是前一个以原点为位似中心、\( k=0.8 \) 的位似图形。已知第一个正方形一个顶点为 \( (10,10) \)，求第三个正方形同一位置顶点的坐标。
5. （含参）点 \( P(2t, t+1) \) 以原点为位似中心，变换到点 \( P'(6, -k) \)，且位似比 \( k < 0 \)，求 \( t \) 和 \( k \) 的值。
6. （面积比）\( \triangle OAB \) 顶点为 \( O(0,0), A(4,0), B(0,6) \)。以 \( O \) 为位似中心作 \( \triangle OA'B' \)，使 \( A' \) 在 \( x \) 轴负半轴，且 \( S_{\triangle OA'B'} : S_{\triangle OAB} = 9:4 \)，求 \( A', B' \) 坐标。
7. （坐标系变换）将函数 \( y=2x \) 的图像上所有点以原点为位似中心，纵坐标不变，横坐标变为原来的 \( 2 \) 倍。这个变换的位似比 \( k \) 是多少？新图像对应的函数解析式是什么？
8. （动点问题）点 \( P \) 从 \( (6, 8) \) 出发，以每秒向原点移动其与原点距离的一半的方式运动。求 \( 2 \) 秒后点 \( P \) 的坐标。这本质上是怎样的位似变换？
9. （阅读理解）定义一种“原点缩放”运算：对于点 \( (x,y) \)，运算 \( \otimes (a) \) 的结果为 \( (ax, ay) \)。计算：\( (3, -4) \otimes (2) \) 和 \( (-6, 2) \otimes (-\frac{1}{3}) \)。这与位似变换有何关系？
10. （真题改编）已知 \( \triangle ABC \) 与 \( \triangle A'B'C' \) 是以原点 \( O \) 为位似中心的位似图形，位似比为 \( 1:2 \)。若 \( \triangle ABC \) 的面积为 \( 5 \)，且点 \( A \) 的坐标为 \( (m, n) \)，点 \( C' \) 的坐标为 \( (4, -6) \)，求 \( \triangle A'B'C' \) 的面积和点 \( C \) 的坐标。

第三关：生活应用（5道）

1. （地图缩放）手机地图上，你家位于坐标点 \( (15, 10) \)（单位：像素）。当你双指放大地图（以屏幕中心为原点近似看作位似中心）到原来的 \( 2 \) 倍时，你家图标的像素坐标将变成多少？若屏幕中心不在原点，这个比喻还完全准确吗？
2. （工程制图）一个零件在 CAD 软件中的设计图上一个关键点的坐标是 \( (50.0, 25.0) \) mm。为了制作装配说明图，需要将整个设计图以坐标原点为中心缩小到原来的 \( 0.2 \) 倍，求该关键点在装配图上的坐标。
3. （光学成像）在小孔成像的简化模型中，物体（一段灯丝）上一点 \( P \) 的坐标为 \( (2, 3) \)（以小孔为原点）。若成像的像距是物距的 \( \frac{1}{2} \)，且成倒立实像，求像点 \( P' \) 的坐标。这与位似变换的哪个情形对应？
4. （军事沙盘）在真实地形中，一个碉堡的坐标是 \( (北3000米, 东2000米) \)。现要以指挥所（设为原点）为中心，制作一个 \( 1:500 \) 的沙盘模型。求碉堡在沙盘上的坐标（单位：米）。
5. （艺术设计）一位平面设计师将一张 Logo 的矢量图以图案中心为原点放大 \( 1.5 \) 倍。若 Logo 上某元素的一个控制点原始坐标为 \( (8, -4) \)，放大后坐标是多少？如果她想以左下角顶点 \( (-10, -10) \) 为中心放大，还能直接用“坐标乘k”的公式吗？为什么？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( P'(10, -6) \)
2. \( Q'(3, -12) \)
3. \( k = \frac{1}{3} \) (由 \( 6k=2 \) 或 \( 9k=3 \) 解得)
4. \( k = -\frac{1}{5} \) (由 \( 10k=-2 \) 解得，注意验证 \( (-5) \times (-\frac{1}{5}) = 1 \))
5. 顶点变为 \( (0,0), (5,0), (2.5,5) \)。（注意 \( (0,0) \) 乘任何 \( k \) 仍是原点）
6. \( A'(0, 2), B'(-1, 0) \)
7. 是。\( k = -\frac{1}{4} \) 或 \( k = -\frac{1}{4} \) (由 \( 12k=-3 \) 解得)。
8. 不是。因为 \( \frac{3}{-9} = -\frac{1}{3} \)，而 \( \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \)，看似相等，但 \( 3 \) 和 \( -2 \) 不是由 \( -9 \) 和 \( 6 \) 同乘一个 \( k \) 得到（符号不完全匹配规则）。实际上，若 \( (-9)k=3 \)，则 \( k=-\frac{1}{3} \)，但 \( 6 \times (-\frac{1}{3}) = -2 \neq -2 \)? 等等，\( 6 \times (-\frac{1}{3}) = -2 \)，成立。所以它们是位似点？仔细看：A(-9,6), B(3,-2)。若k=-1/3，则(-9)*(-1/3)=3, 6*(-1/3)=-2。完全成立。所以答案是：是，\( k=-\frac{1}{3} \)。我之前的直觉错了，这是一个很好的例子，说明必须严格计算验证。
9. 由 \( \frac{3}{2}a = 6 \) 得 \( a=4 \)；由 \( \frac{3}{2}b = -9 \) 得 \( b=-6 \)。
10. 由变换公式：\( -\frac{1}{2}(2m) = 5 \) 得 \( m=-5 \)；或由 \( -\frac{1}{2}(m-1) = -3 \) 得 \( m=7 \)。两个方程矛盾，故不存在这样的 \( m \)。（本题意在检查解的一致性）

第二关：中考挑战（解析关键步骤）

1. \( A'(-1, 2), B'(-2, 0), C'(-1, 0) \)。因为 \( k=\frac{1}{3}>0 \)，所以同侧。
2. 由 \( A \) 和 \( A' \) 得 \( k = \frac{1.5}{3} = \frac{1}{2} \) (或 \( \frac{1}{2} \))。所以 \( B'(4 \times \frac{1}{2}, 6 \times \frac{1}{2}) = (2, 3) \)。
3. 周长：\( 20 \times 1.5 = 30 \) cm。面积：\( S \times (1.5)^2 = 2.25S \ \text{cm}^2 \)。（面积比等于相似比的平方）
4. 第一个顶点 \( (10,10) \)，第二个：\( (10,10) \times 0.8 = (8,8) \)，第三个：\( (8,8) \times 0.8 = (6.4, 6.4) \)。
5. 由 \( 2t \cdot k = 6 \) 且 \( (t+1) \cdot k = -k \)。由第二个方程：若 \( k \neq 0 \)，则 \( t+1 = -1 \)，所以 \( t=-2 \)。代入第一个方程：\( 2 \times (-2) \times k = 6 \) → \( -4k=6 \) → \( k=-\frac{3}{2} \)。满足 \( k<0 \)。
6. 面积比 \( 9:4 \) 即相似比 \( |k| = \sqrt{9/4} = 3:2 \)。因 \( A' \) 在x轴负半轴，故 \( k = -\frac{3}{2} \)。所以 \( A'(-\frac{3}{2} \times 4, 0) = (-6, 0) \)，\( B'(0, -\frac{3}{2} \times 6) = (0, -9) \)。
7. “纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍”等价于变换 \( (x,y) \to (2x, y) \)。这不是一个统一的位似比变换（因为x和y变化倍数不同），而是一种“伸缩变换”。若强行找统一的k，则需满足 \( kx=2x \) 且 \( ky=y \)，这对所有点不可能成立。新函数：点满足 \( y=2(\frac{x}{2}) = x \)，所以是 \( y=x \)。
8. 每秒移动一半，即坐标变为原来的 \( \frac{1}{2} \)。2秒后，即连续进行两次该变换：\( P'' = (6 \times (\frac{1}{2})^2, 8 \times (\frac{1}{2})^2) = (1.5, 2) \)。本质是位似比 \( k = \frac{1}{4} \) 的位似变换。
9. \( (6, -8) \)；\( (2, -\frac{2}{3}) \)。这正是以原点为中心、位似比为 \( a \) 的位似变换。
10. 面积：\( 5 \times 2^2 = 20 \)。位似比 \( 1:2 \) 指新图与原图比，即 \( k=2 \)。所以 \( C \) 点坐标：\( C(4/2, -6/2) = (2, -3) \)。（注意题目给的位似比顺序）

第三关：生活应用（思路点睛）

1. 放大 \( 2 \) 倍：新坐标 \( (30, 20) \)。不准确，因为屏幕中心（缩放中心）通常不是坐标原点(0,0)，而是屏幕中心点。此时需要先将中心点平移至原点，进行缩放，再平移回去。
2. 缩小 \( 0.2 \) 倍：\( (50.0 \times 0.2, 25.0 \times 0.2) = (10.0, 5.0) \) mm。
3. 倒立实像意味着 \( k < 0 \)。像距是物距的一半，即 \( |k| = \frac{1}{2} \)，所以 \( k = -\frac{1}{2} \)。故 \( P'(-\frac{1}{2} \times 2, -\frac{1}{2} \times 3) = (-1, -1.5) \)。对应反向位似。
4. 比例尺 \( 1:500 \) 即 \( k = \frac{1}{500} \)。沙盘坐标：\( (3000 \times \frac{1}{500}, 2000 \times \frac{1}{500}) = (6, 4) \) 米。
5. 放大 \( 1.5 \) 倍：\( (8 \times 1.5, -4 \times 1.5) = (12, -6) \)。不能。因为“坐标直接乘k”的公式仅当位似中心为原点时才成立。若中心为 \( (-10, -10) \)，需先将该点平移至原点，变换后再平移回去。公式为：\( (x', y') = (1.5(x+10)-10, 1.5(y+10)-10) \)。