知识要点

💡 核心概念

想象一下，你有一根每4米一个标记的红绳，和一根每6米一个标记的蓝绳。把两根绳子的起点对齐拉直，你会发现在某些位置，两根绳子的标记会正好对齐。第一个对齐的位置是12米处，这个“12”，就是4和6的最小公倍数。

所以，最小公倍数的“模型”思想就是：找到两个或多个数共同的“节奏”或“周期”，让它们能同时回到起点或同时发生。它解决的是“重合”、“同时”的问题。

📝 计算法则（短除法）

以求12和18的最小公倍数为例：

1. 用两个数的公有质因数依次去除。先用2除：

   \( 12 \div 2 = 6 \)， \( 18 \div 2 = 9 \)

2. 用所得的商的公有质因数继续除。现在6和9的公因数是3：

   \( 6 \div 3 = 2 \)， \( 9 \div 3 = 3 \)

3. 一直除到两个商互质（只有公因数1）为止。现在2和3互质。
4. 把所有的除数和最后的商连乘起来，积就是最小公倍数。

   \( LCM = 2 \times 3 \times 2 \times 3 = 36 \)

🎯 记忆口诀

公有质因数乘一遍，独有质因数跟后边。

（“公有”指左边除数，“独有”指下面互质的商。）

🔗 知识关联

最小公倍数的学习，建立在以下知识基础上：

1. 因数与倍数：理解“一个数的倍数”有哪些。

2. 质数与合数：能判断哪些数是质数。

3. 分解质因数：掌握用短除法分解质因数的方法。

易错点警示

1. ❌ 错误1： 求最小公倍数时，和求最大公因数混淆，只乘左边的除数。

   ✅ 正解： 求最小公倍数，要把所有除数（公有质因数）和最后的商（独有质因数）都乘起来。

2. ❌ 错误2： 看到两个数，直接用较大的数去试。例如，求6和8的最小公倍数，错误地想“8的倍数：8, 16, 24...24是6的倍数吗？是！所以答案是24”。虽然结果对，但方法效率低且容易漏掉更小的。

   ✅ 正解： 规范使用短除法或列举法（先列举一个数的倍数，再从中找另一个数的倍数），确保找到的是最小的那一个公倍数。

3. ❌ 错误3： 用短除法时，没有除到两个商互质就停止计算。

   ✅ 正解： 必须除到下面两个数互质（公因数只有1）为止，才能保证得到的是最小公倍数。

三例题精讲

🔥 例题1

小明的爸爸每工作3天休息一天，妈妈每工作4天休息一天。今天他们同时休息，至少再过多少天他们才能再次同时休息？

📌 第一步：理解“周期”。 爸爸的休息周期是 \( 3+1=4 \) 天，妈妈的休息周期是 \( 4+1=5 \) 天。

📌 第二步：转化为数学问题。 求他们再次同时休息的天数，就是求4和5的公倍数。问“至少”多少天，就是求最小公倍数。

📌 第三步：计算并作答。 4和5互质，所以最小公倍数是 \( 4 \times 5 = 20 \)。

✅ 答案： 至少再过 \( 20 \) 天。

💬 总结： 识别“每隔...发生一次”的周期，求“再次同时”就是求周期的最小公倍数。

🔥 例题2

用一种长6厘米、宽4厘米的长方形地砖铺一个正方形墙面（必须用整砖），墙面的边长至少是多少厘米？

📌 第一步：理解“铺成正方形”。 正方形的边长必须既是长方形长的倍数，又是宽的倍数。

📌 第二步：转化为数学问题。 求6和4的公倍数。问“至少”，就是求最小公倍数。

📌 第三步：用短除法计算。

\( 6 \div 2 = 3 \)， \( 4 \div 2 = 2 \)

3和2互质。

\( LCM = 2 \times 3 \times 2 = 12 \)

✅ 答案： 墙面的边长至少是 \( 12 \) 厘米。

💬 总结： “铺成正方形”或“拼成大正方形”问题，是典型的最小公倍数模型。

🔥 例题3

一盒糖果，平均分给4个或6个小朋友，都正好剩3颗。这盒糖果至少有多少颗？

📌 第一步：理解“正好剩3颗”。 如果糖果总数去掉3颗，那么就能正好平均分给4个或6个小朋友，没有剩余。

📌 第二步：转化问题。 “总数 - 3” 既是4的倍数，也是6的倍数。所以先求4和6的最小公倍数。

📌 第三步：计算并还原。

求4和6的最小公倍数： \( LCM(4,6) = 12 \)。

这个12是“总数 - 3”的最小可能值。

所以糖果至少有 \( 12 + 3 = 15 \) 颗。

✅ 答案： 这盒糖果至少有 \( 15 \) 颗。

💬 总结： 遇到“多几个”或“剩几个”的问题，通常先去掉多出的部分，求出公倍数后，再加回去。

练习题（10道）

1. 求8和12的最小公倍数。
2. 求9和15的最小公倍数。
3. 甲、乙两路公交车，甲路每8分钟发一班，乙路每12分钟发一班。早上6:00它们同时发车，下一次同时发车是几时几分？
4. 一些练习本，无论是平均分给5个人还是7个人，都正好分完。这些练习本至少有多少本？
5. 有两根木料，一根长18分米，另一根长24分米。要把它们截成同样长的小段，且没有剩余，每段最长可以是几分米？这时一共能截成多少段？（提示：先思考这是求公因数还是公倍数）
6. 一筐苹果，3个3个地数，最后剩2个；5个5个地数，最后也剩2个。这筐苹果至少有多少个？
7. 求12、15和18的最小公倍数。
8. 人民广场是1路和3路公交车的起点站。1路车每6分钟发一辆，3路车每8分钟发一辆。两路车同时发车后，至少再过多少分钟又同时发车？
9. 学校合唱队排练，如果每排站9人，则多出2人；如果每排站12人，还是多出2人。合唱队至少有多少人？
10. 已知两个数的最大公因数是4，最小公倍数是60。其中一个数是12，求另一个数。

奥数挑战（10道）

1. 两个自然数的差是3，它们的最大公因数与最小公倍数的积是180。求这两个数。
2. 三个互不相同的自然数，它们的最小公倍是120。这样的三个数之和最大是多少？
3. 齿轮A有60齿，齿轮B有45齿。当两个齿轮的某个齿第一次重新相遇时，两个齿轮各转了多少圈？
4. 从学校到少年宫的公路一侧，每隔36米有一根电线杆，现在要改成每隔45米立一根。如果起点的一根不动，那么最近的一根不需要移动的电线杆距离起点多少米？
5. 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余5。这个数最小是多少？
6. 两个自然数的最小公倍数是它们最大公因数的20倍，并且这两个数相差7。求这两个数。
7. 一排路灯，原来每两盏之间的距离是45米，现在改为60米。如果起点的一盏不动，那么至少再隔多远又有一盏路灯不需要移动？
8. 三个连续自然数的最小公倍数是2730，求这三个数。
9. a和b是两个自然数，\( a \div b = 2 \cdots 2 \)，已知 \( a \) 和 \( b \) 的最小公倍数是84，求 \( a \) 和 \( b \)。
10. 有一批树苗，如果每行种12棵，最后一行少1棵；如果每行种15棵，最后一行也少1棵；如果每行种18棵，最后一行还是少1棵。这批树苗在300至400棵之间，问共有多少棵树苗？

生活应用（5道）

1. （高铁） 北京南站开往上海的高铁G1次列车每30分钟发车一趟，开往广州的G7次列车每45分钟发车一趟。上午8:00两趟车同时发车，请问下一次同时发车是几点？
2. （航天） 卫星A绕地球一圈需要90分钟，卫星B绕地球一圈需要120分钟。假设它们在0:00同时经过北京上空，下一次它们同时经过北京上空至少需要多少分钟？
3. （AI训练） 一个AI模型处理数据集A的周期是18秒，处理数据集B的周期是24秒。为了让两个数据集的处理结果同步输出，工程师希望找到一个最短的同步周期。这个周期是多少秒？
4. （环保） 社区A每4天进行一次垃圾分类集中检查，社区B每6天进行一次。两个社区在周一同时进行了检查，下一次在周几会再次同时检查？（假设从周一开始）
5. （网购促销） 某电商平台，“品牌日”活动每15天一次，“会员日”活动每20天一次。已知今年1月1日两个活动同时上线，那么在今年的前100天内，两个活动能同时举行几次？