知识要点

💡 核心概念

最小公倍数就像是两个或多个数字的“共同聚会时间”。想象一下，你和朋友各自有不同的锻炼周期，你想找到下一次你们能一起锻炼的日子，这个日子就是你们各自周期（倍数）的“共同聚会点”，而最早的那个“聚会点”就是最小公倍数。它指的是几个数公有的倍数中，最小的那一个。

例如：4的倍数有：4, 8, 12, 16, 20, 24...；6的倍数有：6, 12, 18, 24, 30...。它们公有的倍数是12, 24...，其中最小的就是12。所以，4和6的最小公倍数是12，记作 \([4, 6] = 12\)。

📝 计算法则

方法一：短除法（最常用）

1. 用这几个数公有的质因数连续去除。
2. 一直除到所得的商两两互质（即除1外没有其他公因数）为止。
3. 把所有的除数（公有质因数）和最后的商连乘起来，积就是它们的最小公倍数。

方法二：分解质因数法

1. 先把每个数分解成质因数相乘的形式。
2. 取每个质因数的最高次幂相乘。

例如：求 \(12\) 和 \(18\) 的最小公倍数。

\(12 = 2^2 \times 3\)， \(18 = 2 \times 3^2\)。

取 \(2\) 的最高次幂 \(2^2\)，取 \(3\) 的最高次幂 \(3^2\)，相乘：\(2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\)。所以 \([12, 18] = 36\)。

🎯 记忆口诀

短除求最小公倍：公有质因数统统除，互质商才停步；除数和商连乘起，最小公倍便得出。

质因数分解法：分解质因数是基础，所有因子都列出；幂次就高不就低，乘得结果最小倍。

🔗 知识关联

• 因数与倍数： 最小公倍数是建立在“倍数”概念之上的。必须先理解什么是倍数。
• 最大公因数： 求最小公倍数常用的“短除法”与求最大公因数（短除法）前半部分相同，但最终处理方式不同，注意对比区分。
• 质数与合数： 分解质因数是求最小公倍数的关键步骤。

易错点警示

1. ❌ 错误1： 找到了公倍数，但忘记取最小的那个。

   ✅ 正解： 题目要求的是“最小公倍数”，所以一定要从公倍数中找出最小的一个。计算后要检查。

2. ❌ 错误2： 用短除法时，混淆了最大公因数和最小公倍数的取法，只把左边的除数乘起来了。

   ✅ 正解： 求最大公因数只乘左边的除数；求最小公倍数要乘所有除数与最后的商。

3. ❌ 错误3： 用短除法除到两个商还有公因数（非1）时就停止，并直接相乘。

   ✅ 正解： 必须除到任意两个商都互质（最大公因数为1）为止，才能把除数和最后的商连乘。

三例题精讲

🔥 例题1

小宇每8天去一次图书馆，小曼每12天去一次。今天他们同时去了图书馆，至少过多少天后他们会再次同时去？

📌 第一步： 理解题意。“再次同时去”所需的天数，既是8的倍数，也是12的倍数，求的是最小公倍数。

📌 第二步： 用短除法求 \(8\) 和 \(12\) 的最小公倍数。

\[ \begin{array}{c|cc} 2 & 8, & 12 \\ \hline 2 & 4, & 6 \\ \hline & 2, & 3 \\ \end{array} \]

📌 第三步： 将除数和最后的商相乘：\(2 \times 2 \times 2 \times 3 = 24\)。

✅ 答案： 至少过 \(24\) 天后他们会再次同时去图书馆。

💬 总结： 这类“每隔几天相遇一次”的问题，本质就是求最小公倍数。

🔥 例题2

求 \(18\)、\(24\) 和 \(30\) 的最小公倍数。

📌 第一步： 用三个数公有的质因数开始除。

\[ \begin{array}{c|ccc} 2 & 18, & 24, & 30 \\ \hline 3 & 9, & 12, & 15 \\ \hline & 3, & 4, & 5 \\ \end{array} \]

📌 第二步： 观察最后的商 \(3, 4, 5\)。其中 \(3\) 和 \(4\)， \(4\) 和 \(5\) 等都互质，停止短除。

📌 第三步： 将除数和最后的商相乘：\(2 \times 3 \times 3 \times 4 \times 5 = 360\)。

✅ 答案： \([18, 24, 30] = 360\)。

💬 总结： 求三个数的公倍数，短除法更便捷。关键要除到“两两互质”。

🔥 例题3

已知两个数的最大公因数是 \(6\)，最小公倍数是 \(72\)，其中一个数是 \(18\)，求另一个数。

📌 第一步： 记住一个重要关系：两个数的乘积 = 最大公因数 \(\times\) 最小公倍数。即：设两数为 \(a\) 和 \(b\)，有 \(a \times b = (a, b) \times [a, b]\)。

📌 第二步： 代入已知数据：\(18 \times b = 6 \times 72\)。

📌 第三步： 计算：\(18b = 432\)，所以 \(b = 432 \div 18 = 24\)。

✅ 答案： 另一个数是 \(24\)。

💬 总结： 掌握“两数之积等于最大公因数与最小公倍数之积”这个模型，是解决此类未知数问题的钥匙。

练习题（10道）

1. 求 \(6\) 和 \(9\) 的最小公倍数。
2. 求 \(15\) 和 \(25\) 的最小公倍数。
3. 求 \(4\)、\(10\) 和 \(14\) 的最小公倍数。
4. 两盏LED灯，一盏每 \(20\) 秒闪烁一次，另一盏每 \(35\) 秒闪烁一次。它们同时亮起后，至少过多少秒会再次同时亮起？
5. 一包糖果，如果每 \(8\) 颗一袋或每 \(12\) 颗一袋，都能正好分完。这包糖果至少有多少颗？
6. 用短除法求 \([36, 54]\)。
7. 用分解质因数法求 \([28, 42]\)。
8. 判断：如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数就是它们的乘积。（ ）
9. 已知 \(a = 2^3 \times 3 \times 5\)， \(b = 2^2 \times 3^2 \times 7\)，求 \([a, b]\)。
10. 火车站是\(3\)路和\(5\)路公交车的起点站。3路车每\(10\)分钟发一班，5路车每\(15\)分钟发一班。早上6:00两路车同时发车，下一次同时发车是几点？

奥数挑战（10道）

1. 两个自然数的和是\(60\)，它们的最大公因数是\(12\)，求这两个数。
2. 两个数的最小公倍数是\(90\)，最大公因数是\(6\)，其中一个数是\(18\)，另一个数是多少？
3. 甲、乙、丙三人绕操场跑步，甲跑一圈需\(2\)分钟，乙需\(3\)分钟，丙需\(4\)分钟。三人同时同地同向出发，至少多少分钟后三人在起点再次相遇？
4. 有一个自然数，用它去除\(70\)、\(98\)、\(143\)，得到的三个余数之和是\(29\)。求这个自然数。
5. 能同时被 \(2, 3, 4, 5, 6\) 整除的最小四位数是多少？
6. 已知两个数的差是\(48\)，它们的最大公因数是\(16\)，求这两个数。
7. 一排电线杆，原来每两根之间的距离是\(45\)米，现在要改成\(60\)米。如果起点的一根不动，那么至少再隔多远又有一根电线杆不需要移动？
8. 三个连续偶数的最小公倍数是\(1092\)，求这三个数。
9. 一个数除\(200\)余\(4\)，除\(300\)余\(6\)，除\(500\)余\(10\)。这个数最大是多少？
10. 有一批树苗，不论是\(7\)人一组还是\(9\)人一组，都正好分完。这批树苗在\(100\)到\(150\)棵之间，请问有多少棵？

生活应用（5道）

1. （高铁时刻） 从A站开往B站的高铁，G101次每\(8\)分钟发一班，G102次每\(12\)分钟发一班。上午7:00两车次同时发车，下一次同时发车是什么时候？
2. （航天测控） 中国空间站的轨道周期约为\(90\)分钟，一颗遥感卫星的轨道周期约为\(100\)分钟。假设它们在某一时刻同时经过北京上空，至少多少分钟后会再次同时经过？
3. （AI训练） 一个AI模型处理数据集A需要\(18\)秒一轮，处理数据集B需要\(24\)秒一轮。如果两个处理任务同时开始，至少多少秒后，两个任务会同时结束一轮处理？
4. （环保植树） 在一条河堤上植树，计划每隔\(16\)米种一棵柳树，每隔\(20\)米种一棵杨树。在起点两种树同时种下后，至少还要隔多少米会再次同时种下柳树和杨树？
5. （网购促销） 某电商平台“文具日”活动每\(15\)天一次，“图书日”活动每\(21\)天一次。如果今天是两个活动日重合的日子，那么至少再过多少天，两个活动日会再次重合？