初中数学最大利润问题深度解析：二次函数应用与抛物线顶点求法专项练习题库

💡 阿星精讲：最大利润 原理

• 核心概念：阿星来啦！想象一下，你卖一瓶自制的“星星汽水”。定价太低，卖得多但赚得少；定价太高，没人买，赚得更少。你的总利润就像向天空扔出的石头，划出一条美丽的抛物线，总会有一个最高点。这个“最高点”，就是我们的终极目标——最大利润！我们的任务就是：列出利润w与单价x的函数关系，然后像给抛物线“精准定位”一样，通过“配方”找到它的最高顶点，求出最大值。
• 计算秘籍：
  1. 建关系：从题目中找出利润 \( w \)（或因变量 \( y \)）与单价 \( x \)（或自变量 \( x \)）之间的二次函数关系，通常是 \( w = ax^2 + bx + c \) 的形式。
  2. 定方向：看二次项系数 \( a \)。若 \( a < 0 \)，抛物线开口向下，才有最大值！若 \( a > 0 \)，开口向上，那是求最小值。
  3. 寻顶点（配方）：对一般式进行配方：\( w = a(x - h)^2 + k \)。其中，顶点坐标 \( (h, k) \) 就是利润最大的“甜蜜点”。最大值 \( w_{max} = k \)，此时单价 \( x = h \)。顶点横坐标公式 \( h = -\frac{b}{2a} \) 可直接使用。
  4. 验边界：有时 \( x \) 有实际限制（比如成本限制、市场接受度），要检查顶点是否在 \( x \) 的允许取值范围内。如果不在，就要在边界值中找最大利润。
• 阿星口诀：单价利润找关系，二次函数建模型。配方顶点最大值，定义域内定乾坤。

📐 图形解析

利润如何随单价变化？看下面的“利润抛物线”就一目了然！

二次函数顶点坐标公式：\( (-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}) \)

如图所示，抛物线开口向下，像一个倒扣的碗。它的顶点就是利润的顶峰。我们的计算，就是在数学上精确找到这个点的位置。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：列出函数后，不看二次项系数 \( a \) 的正负，直接套顶点公式求“最大值”。 → ✅ 正解：必须先判断开口方向。只有 \( a < 0 \) 时，抛物线才有最大值。\( a > 0 \) 时，顶点是最低点。
• ❌ 错误2：求出顶点的 \( x \) 值后，直接当作答案，不考虑实际情况中 \( x \) 的取值范围（定义域）。 → ✅ 正解：务必结合题意检验。若顶点横坐标不在 \( x \) 的允许范围内，则最大利润出现在定义域的边界点，需要将边界值代入函数计算比较。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 某商品进价10元，售价15元时每天卖100件，每涨1元少卖5件。求日利润最大时的售价和利润。
2. 将一根长40cm的铁丝剪成两段，分别围成一个正方形。如何剪能使两个正方形面积和最小？
3. 已知二次函数 \( y = -x^2 + 4x + 5 \)，求其最大值。
4. 某宾馆有50个房间供游客居住，每个房间定价每天180元时，房间会全部住满。定价每增加10元，就会有一个房间空闲。求宾馆最大日收入。
5. 用总长60米的栅栏围成矩形场地，求矩形最大面积。
6. 已知抛物线 \( y = 2x^2 - 8x + 3 \)，它的顶点坐标是？这是最大值点还是最小值点？
7. 某商品单件利润30元时，月销300件。若单件利润每减少1元，月销增加10件。求月总利润最大值。
8. 求函数 \( y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4 \) 的最大值。
9. 学校计划用围墙（足够长）和一段40米长的栅栏围成一个矩形植物园。如何设计使面积最大？
10. 某商店将进价8元的商品按10元售出，每天可售200件。调查发现，单价每降0.1元，每天多售20件。求日利润最大的售价。

第二关：中考挑战（10道）

1. （多地中考改编）某企业设计一款产品，包装成本为10元/件。若定价50元，日销200件。市场调查：单价每降1元，日销增加20件；每涨1元，日销减少10件。为同时保证日利润不低于6400元且让利消费者，应定价多少元？
2. （结合一次函数）某水果店销售一种水果，成本8元/千克。售价10元/千克时，日销100千克。售价每涨0.5元，日销减少5千克。设售价x元/千克，日利润w元。求w与x的函数关系，并求清明节当天为了促销，保证日利润不低于300元，售价应如何定？
3. （几何动态）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从A出发沿AC向C移动(速度1cm/s)，点Q从C出发沿CB向B移动(速度2cm/s)。当t为何值时，△PCQ的面积最大？最大值是多少？
4. （分段函数）某地“共享电动车”收费标准：30分钟内2元；超过30分钟，每30分钟加收1元（不足30分钟按30分钟计）。求一次骑行最长n分钟时，平均每分钟费用最低。求此最低费用。
5. （双变量）农户生产一种农产品，每千克成本20元。经市场调研，若每千克售价x元（30≤x≤50），日销量为m千克，且m是x的一次函数：当x=30时，m=500；当x=40时，m=400。求日销售利润y的最大值。
6. （抛物线图像）已知关于x的二次函数 \( y = (k-1)x^2 - 2kx + k+2 \) 的图像最高点在x轴上，求k的值及此时函数的最大值。
7. （矩形面积）用一段长为30m的篱笆围成一边靠墙的矩形花园，墙长18m。求能围成的花园最大面积。
8. （利润比较）某公司有A、B两种产品销售方案：A方案，单价100元，无促销；B方案，单价80元，但需付销售员工资2000元/月。月销量均与单价满足：单价每降10元，月销增100件。已知月固定成本为4000元，若不考虑其他，选哪种方案月利润更高？
9. （建模应用）飞机着陆后滑行的距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系式为 \( s = 60t - 1.5t^2 \)。求飞机着陆后滑行的最远距离。
10. （综合）某商场销售一种进价为20元/个的文具。调查发现，售价为30元时，月售400个；售价每涨1元，月售减10个。设月利润为w元，售价为x元。(1)求w与x关系。(2)物价局规定售价不高于进价的200%，求月最大利润。

第三关：生活应用（5道）

1. （窗户设计）某建筑要设计一个下部是矩形、上部是半圆形的窗户（如图所示）。窗框周长固定为6米。如何设计尺寸使透光面积最大？
   
2. （桥梁拱形）某抛物线形拱桥，水面跨度AB为20米，拱顶离水面4米。一艘宽8米、水面以上高3米的货船能否安全通过？
3. （经济效益）某农场种植有机蔬菜，每亩种植成本为3000元，产量为800公斤。市场调研：单价每公斤提高1元，销量减少50公斤。政府补贴每亩1000元。如何定价使每亩净利润最大？
4. （体育投射）篮球运动员投篮，球出手时离地面高2米，与篮筐水平距离7米。已知篮球运行轨迹为抛物线，最高点离地4米，与篮筐水平距离3米时达到最高。篮筐高3.05米。问此球能否直接投中？（不考虑空气阻力）
5. （材料最省）某工厂要制作一个容积为32π立方米的有盖圆柱形储油罐。问底面半径和高为多少时，所用材料（表面积）最省？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 解析：设售价 \( x \) 元 (\( x \ge 15 \))，销量 \( 100 - 5(x-15) = 175 - 5x \)。利润 \( w = (x-10)(175-5x) = -5x^2 + 225x - 1750 \)。\( a=-5<0 \)，顶点 \( x = -\frac{225}{2\times(-5)} = 22.5 \)。最大利润 \( w = -5(22.5)^2+225\times22.5-1750 = 781.25 \) 元。
2. 解析：设一段长 \( x \) cm，另一段 \( (40-x) \) cm。面积和 \( S = (\frac{x}{4})^2 + (\frac{40-x}{4})^2 = \frac{1}{16}(2x^2 - 80x + 1600) = \frac{1}{8}(x^2 - 40x + 800) \)。\( a=\frac{1}{8}>0 \)，有最小值。顶点 \( x = 20 \)。各围成边长为5cm的正方形时，面积和最小为 \( 50 \) cm²。
3. 解析：\( a=-1<0 \)，有最大值。配方 \( y = -(x-2)^2 + 9 \)，最大值 \( 9 \)。或用公式 \( y_{max} = \frac{4ac-b^2}{4a} = \frac{4\times(-1)\times5 - 16}{4\times(-1)} = 9 \)。
4. 解析：设涨价 \( 10x \) 元，则空闲 \( x \) 间，实际出租 \( (50-x) \) 间，房价 \( (180+10x) \) 元。收入 \( R = (180+10x)(50-x) = -10x^2 + 320x + 9000 \)。顶点 \( x = 16 \)。定价 \( 180+10\times16=340 \) 元时，最大收入 \( R_{max} = -10(16)^2+320\times16+9000=11560 \) 元。
5. 解析：设长 \( x \) 米，宽 \( (30-x) \) 米。面积 \( S = x(30-x) = -x^2+30x \)。顶点 \( x=15 \)，最大面积 \( S_{max}=225 \) 平方米。
6. 解析：\( a=2>0 \)，开口向上，顶点是最小值点。配方 \( y=2(x-2)^2 -5 \)，顶点坐标 \( (2, -5) \)。
7. 解析：设单件利润减少 \( x \) 元，即单件利润为 \( (30-x) \) 元，销量为 \( (300+10x) \) 件。总利润 \( w = (30-x)(300+10x) = -10x^2 + 6000 \)。当 \( x=0 \) 时（即不降价），\( w_{max}=6000 \) 元。此处函数无一次项，顶点即 \( x=0 \)。
8. 解析：配方 \( y = -\frac{1}{2}(x^2 - 6x) - 4 = -\frac{1}{2}[(x-3)^2 - 9] - 4 = -\frac{1}{2}(x-3)^2 + \frac{1}{2} \)。最大值 \( \frac{1}{2} \)。
9. 解析：与例题2类似。设垂直墙边为 \( x \) 米，平行墙边为 \( (40-2x) \) 米。面积 \( y=x(40-2x)=-2x^2+40x \)。顶点 \( x=10 \)，最大面积 \( y_{max}=200 \) 平方米。
10. 解析：设降价 \( 0.1n \) 元，即售价 \( (10-0.1n) \) 元，销量 \( (200+20n) \) 件。利润 \( w = (2-0.1n)(200+20n) = -2n^2 + 20n + 400 \)。顶点 \( n=5 \)。故最佳售价为 \( 10-0.1\times5 = 9.5 \) 元。

（第二关、第三关解析因篇幅所限，在此省略详细过程，提供关键思路。）

第二关关键提示：

1. 设降价/涨价 \( x \) 元，分情况讨论，注意“日利润不低于6400元”是约束条件。
2. 先求销量关于 \( x \) 的一次函数关系，再列利润函数，解不等式 \( w \ge 300 \)。
3. △PCQ 面积 \( S = \frac{1}{2} \times PC \times CQ = \frac{1}{2}(6-t) \times 2t \)，转化为关于 \( t \) 的二次函数。
4. 设骑行 \( t \) 分钟（\( t>30 \)），平均费用 \( f(t) = \frac{2 + ceil(\frac{t-30}{30})}{t} \)，需分段求最小值。
5. 先由两点求销量 \( m = -10x + 800 \)，再列利润 \( y = (x-20)(-10x+800) \)。
6. “最高点在x轴上”意味着 \( a<0 \) 且顶点纵坐标 \( k=0 \)。联立 \( a=k-1<0 \) 和 \( \frac{4ac-b^2}{4a}=0 \) 解 \( k \)。
7. 注意墙长18m的限制，平行于墙的边不能超过18m，即 \( 30-2x \le 18 \)，从而定义域为 \( x \ge 6 \)（结合 \( x>0 \)）。
8. 分别列出A、B方案的月利润函数（需减去固定成本和B方案的工资），比较大小。
9. 即求二次函数 \( s = -1.5t^2 + 60t \) 的最大值。
10. 第(2)问中，“不高于进价的200%”即 \( x \le 40 \)，顶点 \( x=35 \) 在定义域内，故可直接用。

第三关关键提示：

1. 设半圆半径为 \( r \)，矩形高为 \( h \)。周长 \( \pi r + 2r + 2h = 6 \)，得 \( h = 3 - \frac{(\pi+2)}{2}r \)。面积 \( S = \frac{1}{2}\pi r^2 + 2r \cdot h \)，代入 \( h \) 得到关于 \( r \) 的二次函数，求最大值。
2. 以拱桥中点为原点建系，设抛物线方程 \( y = ax^2 + 4 \)。代入点 \( (10, 0) \) 求 \( a \)。货船中心通过拱桥中心时最易通过，计算 \( x=4 \) 时对应的 \( y \) 值，判断 \( y-3 \) 是否大于0。
3. 设单价提高 \( x \) 元，则单价 \( (800/亩成本折算成单价？这里更清晰：设销售单价为 \( p \) 元/公斤) ，销量 \( Q = 800 - 50(p - p_0) \)，其中 \( p_0 \) 为成本价对应的保本单价。净利润 = (单价-成本价)×销量 + 补贴。建立关于 \( p \) 的二次函数。
4. 以出手点为原点建系，设抛物线方程 \( y = ax^2 + bx + 2 \)。已知顶点 \( (3, 4) \) 和点 \( (7, y_0) \)，求方程后计算 \( x=7 \) 时 \( y \) 是否等于3.05。
5. 设半径 \( r \)，高 \( h \)。体积 \( V = \pi r^2 h = 32\pi \Rightarrow h = \frac{32}{r^2} \)。表面积 \( S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + \frac{64\pi}{r} \)。这是关于 \( r \) 的函数（非二次），可用高中导数或均值不等式求解。答案为 \( r=2, h=8 \) 时最省。