二次函数最大利润问题深度解析：如何用顶点公式求最值并规避范围陷阱专项练习题库

💡 阿星精讲：最大利润问题 原理

• 核心概念：想象一下，你的“利润”是一个正在爬山的运动员。这座山的形状，就是一个开口向下的抛物线。运动员每走一步（每调整一个自变量，比如售价或产量），他的高度（利润）就会变化。那么，他在什么位置最高呢？没错，就是山顶，也就是抛物线的顶点！所以，我们的任务就是把“爬山”的过程写成函数（利润函数），然后找到这座山的“顶点坐标”。顶点处的“海拔高度”（顶点纵坐标），就是我们梦寐以求的最大利润。但切记，运动员只能在规定的山路（自变量范围）上行走，如果顶点在禁区外，那我们就得在山路允许的范围内，找一个相对最高的地方。
• 计算秘籍：
  1. 建模：根据题意，建立利润 \(y\) 与自变量 \(x\)（如售价、产量）之间的二次函数关系：\(y = ax^2 + bx + c\) (a < 0)。
  2. 配方：将一般式通过配方转化为顶点式：\(y = a(x - h)^2 + k\)。其中，顶点坐标为 \((h, k)\)。
  3. 验范围：检查顶点横坐标 \(h\) 是否在题目给出的自变量 \(x\) 的实际取值范围内。
     • 若 \(h\) 在范围内，则最大利润就是 \(k\)。
     • 若 \(h\) 不在范围内，则需取范围两端点对应的函数值进行比较，较大的那个才是实际的最大利润。
• 阿星口诀：利润爬山找顶点，配方完成是关键。纵标最高是目标，自变量范围要盯牢！

📐 图形解析

下图直观展示了利润（纵轴）随自变量（横轴）变化的抛物线关系。顶点的纵坐标 \(k\) 即为理论上的最大利润，但必须结合自变量 \(x\) 的实际范围（图中灰色区域）来判断。

函数顶点式：\( y = a(x - h)^2 + k \) （\( a < 0 \)）。当 \( x = h \) 时，\( y_{\text{最大}} = k \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：配方找到顶点后，直接认为顶点纵坐标就是答案，忽略题目中自变量 \(x\)（如售价、销售量）的实际限制范围。
  ✅ 正解：必须将顶点横坐标 \(h\) 与题目给出的 \(x\) 的取值范围进行比较。若 \(h\) 在范围内，则顶点有效；若不在，则需计算范围边界点的函数值来确定最值。
• ❌ 错误2：在建立利润函数时，搞错关系式。例如，利润 = (售价 - 进价) × 销售量，而销售量本身常常与售价有关（售价涨，销量降），是一个关联变量。
  ✅ 正解：仔细审题，先明确基本关系：总利润 = 单件利润 × 销量。然后分别用自变量 \(x\) 表示“单件利润”和“销量”，再相乘得到二次函数。设未知数时要清晰，通常设“上涨额”或“售价”为 \(x\) 更容易。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 某商品单件利润为 \(10\) 元，每日销量 \(y\)（件）与售价上涨 \(x\)（元）的关系为 \(y=200-20x\)。求日利润 \(P\) 关于 \(x\) 的函数，并求最大利润。
2. 二次函数 \(y = -2x^2 + 8x + 3\) 在 \(0 \leq x \leq 3\) 范围内的最大值和最小值。
3. 将一根长 \(20\) cm 的铁丝剪成两段，分别围成正方形。如何剪能使两个正方形的面积和最小？
4. 已知函数 \(y = x^2 - 6x + 10\)，当 \(x\) 在 \(1 \leq x \leq 4\) 范围内时，求函数的最值。
5. 某旅行社组团旅游，收费标准为：如果人数不超过 \(25\) 人，人均费用为 \(1000\) 元；每超过 \(1\) 人，人均费用降低 \(20\) 元，但总人数不超过 \(40\) 人。求总收入最高的团队人数。
6. 求函数 \(y = -x^2 + 4x - 1\) 的顶点坐标，并说明它是最大值还是最小值点。
7. 某水果店销售苹果，进价每斤 \(3\) 元。若按每斤 \(5\) 元卖，日售 \(200\) 斤；售价每涨 \(0.1\) 元，日销量减 \(2\) 斤。求日利润最大的售价。
8. 矩形周长为 \(20\)，求其面积最大时的长和宽。
9. 已知二次函数 \(y = a(x-1)^2 + 4\) 的图象过点 \((3, 0)\)，求该函数的表达式及最大值。
10. 某厂生产固定成本为 \(2000\) 元，每生产一件产品，成本增加 \(10\) 元。若总收入 \(R\)（元）与产量 \(q\)（件）的关系为 \(R = 50q - 0.5q^2\)，求利润最大的产量。

第二关：中考挑战（10道）

1. （结合一次函数）某网店销售一种商品，成本为每件 \(30\) 元。销售发现：日销量 \(y\)（件）是售价 \(x\)（元）的一次函数，当 \(x=35\) 时，\(y=350\)；\(x=40\) 时，\(y=300\)。规定售价不低于成本且不高于 \(50\) 元。求日利润最大时的售价。
2. （范围讨论）已知二次函数 \(y = x^2 - 2x - 3\)，当 \(m \leq x \leq m+2\) 时，函数最小值为 \(-4\)，求 \(m\) 的值。
3. （动态几何）直角三角形 \(ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)，\(AC=4\)，\(BC=3\)，点 \(P\) 在斜边 \(AB\) 上，过 \(P\) 作 \(PE \perp BC\) 于 \(E\)，\(PF \perp AC\) 于 \(F\)。设 \(BP=x\)，矩形 \(PECF\) 面积为 \(S\)，求 \(S\) 关于 \(x\) 的函数及最大值。
4. （分段函数）某工厂按订单生产，若日产量不超过 \(50\) 件，则每件成本 \(100\) 元；每超过 \(1\) 件，所有产品平均成本降低 \(0.5\) 元，但最多生产 \(80\) 件。若每件售价 \(120\) 元，求日利润最大的生产量。
5. （图象信息题）已知抛物线 \(y=ax^2+bx+c(a<0)\) 顶点为 \(P(2, m)\)，与x轴交于 \(A(x_1，0)，B(x_2,0)\) 两点，且 \(x_1^2 + x_2^2 = 16\)。求 \(m\) 的最大值。

第三关：生活应用（5道）

1. （窗户采光）建筑师设计一个矩形窗户，上部是半圆形。窗户周长为 \(6\) 米。要使透过窗户的光线最多（即面积最大），矩形部分的底边应为多长？
2. （喷泉水柱）公园喷泉喷出的水柱形状可近似看作抛物线 \(y = -\frac{1}{20}x^2 + \frac{3}{2}x\)（单位：米）。求水柱能达到的最大高度。
3. （材料最省）要制作一个容积为 \(500\pi\) 立方厘米的圆柱形易拉罐，求使其表面积最小时，底面半径和高度的比值。
4. （运费优化）\(A\)、\(B\) 两地位于河的两侧，\(B\) 在 \(A\) 下游。\(A\) 地货物需先经陆路运到河边某点 \(C\)，再水路运到 \(B\)。陆路运费 \(2\) 元/公里，水路运费 \(1\) 元/公里。若 \(A\) 到河岸垂直距离 \(10\) km，\(A\)、\(B\) 沿河方向距离 \(40\) km，如何选择 \(C\) 点使总运费最省？
5. （投资收益）某公司投资一项新技术，初始投入 \(100\) 万元。预计收益 \(y\)（万元）与时间 \(t\)（年）满足 \(y = -t^2 + 10t\)。考虑到资金时间成本，需将收益按公式 \(P = y - 0.5t\) 折算为当前价值 \(P\)。求投资回收期（即 \(P=0\) 的时间）内，何时当前价值 \(P\) 最大。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关 解析（部分示例）:

1. 解： \(P = (10+x)(200-20x) = -20x^2 + 2000\)。配方得 \(P = -20(x-0)^2+2000\)，顶点 \((0，2000)\)。当 \(x=0\)（不涨价）时，\(P_{\text{max}}=2000\)元。
2. 解： \(y = -2(x-2)^2+11\)，顶点 \((2， 11)\) 在范围内。比较端点：\(y(0)=3\)， \(y(3)=9\)。故最大值为 \(11\)，最小值为 \(3\)。
3. 解：设一段长 \(x\) cm，则另一段 \((20-x)\) cm。面积和 \(S = (\frac{x}{4})^2 + (\frac{20-x}{4})^2 = \frac{1}{8}(x^2 -20x +200) = \frac{1}{8}[(x-10)^2+100]\)。当 \(x=10\) 时，\(S_{\text{min}}=12.5 \text{ cm}^2\)。

第二关 解析（部分示例）:

1. 解：先求销量函数：设 \(y=kx+b\)，代入得 \(k=-10, b=700\)，即 \(y=-10x+700\)。利润 \(P=(x-30)(-10x+700) = -10x^2+1000x-21000\)。顶点横坐标 \(x=-\frac{1000}{2\times(-10)}=50\)。范围 \(30 \leq x \leq 50\)，顶点在边界上。比较 \(P(50)=4000\)，即为最大。

第三关 解析（部分示例）:

1. 解：设矩形底边为 \(2r\) 米，则半圆半径 \(r\) 米，高为 \(h\) 米。周长：\(2r+2h+\pi r =6\)，得 \(h=3 - \frac{2+\pi}{2}r\)。总面积 \(S = \text{矩形} + \text{半圆} = 2r \cdot h + \frac{1}{2}\pi r^2\)。代入 \(h\) 得 \(S = -(2+\frac{\pi}{2})r^2 + 6r\)。顶点横坐标 \(r = \frac{6}{4+\pi}\)，则底边 \(2r = \frac{12}{4+\pi}\) 米。