自变量取值范围怎么求？定义域求解方法、易错点及中考真题深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：自变量取值范围 原理

• 核心概念：嘿，朋友！想象一下，每个函数就像一个小宇宙，而自变量 \(x\) 就是生活在这个宇宙里的“小精灵”。这个宇宙的生存空间——也就是自变量的取值范围（专业点叫“定义域”）——决定了小精灵能在哪里活蹦乱跳。
  • “空气”有毒区（分母为零）：在分数 \(\frac{A}{B}\) 里，分母 \(B\) 就像是小精灵呼吸的空气。如果空气没了（\(B=0\)），精灵就无法生存。所以，铁律一：分母不能为零！
  • “重力”异常区（根号为负）：在偶次根号 \(\sqrt{A}\)（比如 \(\sqrt[2]{A}, \sqrt[4]{A}\)）下，被开方数 \(A\) 就像宇宙的重力。重力不能为负（\(A<0\)），否则精灵会飘走（在实数世界里无意义）。所以，铁律二：偶次根号下必须非负（\(A \ge 0\)）！
  • “常识”保护区（实际问题）：当函数描述现实，比如人数、长度、时间，精灵的生存还要符合生活常识。人数不能是半个，长度不能为负，时间不能倒流。这些都会进一步压缩它的活动空间。

  我们的任务，就是为小精灵 \(x\) 划出这个安全的、能生存的宇宙边界！

• 计算秘籍：
  1. 找“禁区”：列出所有限制 \(x\) 的条件。
     • 遇分母：令 分母 \(=0\)，解出的 \(x\) 就是禁区。
     • 遇偶次根号：令 被开方数 \(\ge 0\)，解不等式。
  2. 划“边界”：把所有限制条件用大括号 \(\{\) 联立起来。
  3. 定“空间”：解这个不等式组，在数轴上画出解集，就是最终的生存空间。
• 阿星口诀：函数精灵要存活，生存空间细琢磨。分母为零是毒气，根号下负引力失。实际问题常理发，整数非负是常识。联立求解画数轴，安全区域必扎实！

📐 图形解析

我们用一个经典的“面积与边长”问题，可视化“生存空间”如何被常识压缩。

问题：用一根长度为 \(L\) 的绳子围成一个矩形，设矩形一边长为 \(x\)，则另一边长为 \(\frac{L}{2} - x\)，面积 \(y = x \cdot (\frac{L}{2} - x)\)。求自变量 \(x\) 的生存空间。

公式：\(y = x(\frac{L}{2} - x)\)，其中 \(L\) 是常数，\(x\) 是边长。

从纯数学看，\(x\) 可以取任何实数。但从几何意义（边长）和实际意义（绳子长度固定）看：

1. 边长 \(x > 0\)。
2. 另一边长 \(\frac{L}{2} - x > 0\)，解得 \(x < \frac{L}{2}\)。

所以，小精灵 \(x\) 真正的生存空间被压缩在开区间 \((0, \frac{L}{2})\) 内，如图中绿色高亮线段所示（不含两端红色端点）。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：只看到分母，忘了看根号。
  → ✅ 正解：必须扫描整个解析式，分母、根号、对数、实际问题限制，一个都不能漏，然后联立所有条件。
• ❌ 错误2：解出 \(x \neq 2\) 后，就写成 \(x < 2\) 或 \(x > 2\)。
  → ✅ 正解：“不等于”意味着在数轴上挖掉一个点，正确的写法是 \(x \in (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)\)。用区间明确表示“挖洞”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 求 \(y = \frac{1}{x+5}\) 中 \(x\) 的取值范围。
2. 求 \(y = \sqrt{x-4}\) 中 \(x\) 的取值范围。
3. 求 \(y = \frac{3}{\sqrt{2x-6}}\) 中 \(x\) 的取值范围。
4. 求 \(y = \frac{\sqrt{7-x}}{x}\) 中 \(x\) 的取值范围。
5. 求 \(y = \sqrt{x-1} + \sqrt{5-x}\) 中 \(x\) 的取值范围。
6. 直角三角形两直角边之和为 \(10\)，其中一条直角边长为 \(x\)，面积为 \(y\)，求 \(y\) 与 \(x\) 的关系式及 \(x\) 的范围。
7. 一个长方形的长比宽多 \(3\) cm，设宽为 \(x\) cm，面积为 \(y \text{ cm}^2\)，求 \(x\) 的范围。
8. 汽车油箱有油 \(50\) 升，每行驶 \(1\) 公里耗油 \(0.1\) 升，设行驶里程为 \(x\) 公里，剩余油量为 \(y\) 升，求 \(y\) 与 \(x\) 的关系式及 \(x\) 的范围。
9. 某书单价 \(25\) 元，买 \(x\) 本的总价为 \(y\) 元，求 \(x\) 的范围。
10. 温度摄氏 \(C\) 度与华氏 \(F\) 度的关系为 \(F = \frac{9}{5}C + 32\)。当摄氏温度 \(C\) 在 \(0\) 到 \(100\)（含）之间时，求 \(F\) 与 \(C\) 的函数关系式中 \(C\) 的范围。

第二关：中考挑战（10道）

1. 函数 \(y=\frac{\sqrt{x}}{x-2}\) 中，自变量 \(x\) 的取值范围是 ______。
2. 函数 \(y=\frac{1}{\sqrt{3-x}}\) 中，自变量 \(x\) 的取值范围是 ______。
3. 已知函数 \(y=\sqrt{2x-6}\)，则函数值 \(y\) 的取值范围是 ______。
4. 在函数 \(y=\frac{x}{\sqrt{x+1}}\) 中，自变量 \(x\) 的取值范围是 ______。
5. 等腰三角形的周长为 \(20\) cm，设底边长为 \(x\) cm，腰长为 \(y\) cm，则 \(y\) 与 \(x\) 的函数关系式为 ______，自变量 \(x\) 的取值范围是 ______。
6. 一个弹簧不挂重物时长 \(12\) cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比。如果挂上 \(1\) kg 物体后伸长 \(2\) cm，则弹簧总长 \(y\) (cm) 与所挂物体质量 \(x\) (kg) 的函数关系式是 ______，\(x\) 的取值范围是 ______。
7. 函数 \(y=\frac{\sqrt{x-1}}{x^2-4}\) 的自变量 \(x\) 的取值范围是 ______。
8. 已知 \(y\) 是 \(x\) 的函数，且当 \(x=a\) 时无意义，当 \(x=b\) 时函数值为 \(0\)，则点 \((a, b)\) 在 ______ 象限。
9. 对于实数 \(x\)，规定 \([x]\) 表示不大于 \(x\) 的最大整数，例如 \([1.2]=1\)。设函数 \(y=x-[x]\)，则自变量 \(x\) 的取值范围是 ______。
10. 如图，在矩形 \(ABCD\) 中，\(AB=4\)，\(BC=7\)，点 \(P\) 是 \(BC\) 边上与 \(B, C\) 不重合的动点，过点 \(P\) 的直线交 \(CD\) 的延长线于 \(R\)，交 \(AD\) 于 \(Q\)。设 \(BP=x\)，梯形 \(ABPQ\) 的面积为 \(y\)，求 \(y\) 与 \(x\) 的函数关系式，并求 \(x\) 的取值范围。
    

第三关：生活应用（5道）

1. （工程）施工队要修建一个横截面为等腰梯形的排水渠，渠底宽 \(2\) 米，渠深 \(1\) 米，两侧斜坡的倾角均为 \(45^\circ\)。设渠口宽为 \(x\) 米，横截面面积为 \(y\) 平方米。写出 \(y\) 与 \(x\) 的关系式，并求 \(x\) 的取值范围。
2. （经济）某网店销售一种商品，每件成本 \(40\) 元。经调查，若每件售价 \(50\) 元，每天能卖 \(500\) 件；售价每涨 \(1\) 元，销量减少 \(10\) 件。设售价为 \(x\) 元 (\(x \ge 50\))，日销量为 \(p\) 件，日毛利润为 \(y\) 元（毛利润=销售额-成本）。求 \(p\) 与 \(x\)、\(y\) 与 \(x\) 的关系式，并求售价 \(x\) 的合理取值范围（保证商家不亏本）。
3. （测量）如图，为了测量河对岸电视塔 \(AB\) 的高度，在河这边取 \(C, D\) 两点，测得 \(\angle BCA=45^\circ\)，\(\angle BDA=30^\circ\)，并测得 \(CD=50\) 米。设 \(BC=x\) 米，塔高 \(AB\) 可表示为 \(y\) 米。建立 \(y\) 与 \(x\) 的一个函数关系式，并根据几何可行性确定 \(x\) 的大致范围。
   
4. （物理）从地面竖直向上抛射一个小球，小球的高度 \(h\) (米)与时间 \(t\) (秒)的关系近似为 \(h = 20t - 5t^2\)。求小球从抛出到落回地面过程中，自变量 \(t\) 的取值范围。
5. （信息）某手机流量套餐，每月固定含 \(5\) GB流量，超出后按 \(3\) 元/GB收费。设每月使用流量为 \(x\) GB，总费用为 \(y\) 元。写出 \(y\) 关于 \(x\) 的分段函数关系式，并指出每段中 \(x\) 的取值范围。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \(x+5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5\)。区间：\((-\infty, -5) \cup (-5, +\infty)\)。
2. \(x-4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4\)。区间：\([4, +\infty)\)。
3. \(\begin{cases} 2x-6 \ge 0 \\ \sqrt{2x-6} \neq 0 \end{cases} \Rightarrow 2x-6 > 0 \Rightarrow x > 3\)。区间：\((3, +\infty)\)。
4. \(\begin{cases} 7-x \ge 0 \\ x \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 7 \\ x \neq 0 \end{cases}\)。区间：\((-\infty, 0) \cup (0, 7]\)。
5. \(\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ x \le 5 \end{cases}\)。区间：\([1, 5]\)。
6. 另一条直角边为 \(10-x\)，\(y=\frac{1}{2}x(10-x)\)。条件：\(\begin{cases} x>0 \\ 10-x>0 \end{cases} \Rightarrow 0 < x < 10\)。
7. 长为 \(x+3\)， \(y=x(x+3)\)。条件：\(x > 0\)。
8. \(y=50-0.1x\)。条件：\(\begin{cases} x \ge 0 \\ 50-0.1x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow 0 \le x \le 500\)。
9. \(x\) 为非负整数。\(x \in \mathbb{N}\)。
10. \(C\) 的范围直接由题给：\(0 \le C \le 100\)。

第二关：中考挑战

1. \(\begin{cases} x \ge 0 \\ x-2 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow x \ge 0 \text{且} x \neq 2\)。即 \([0, 2) \cup (2, +\infty)\)。
2. \(\begin{cases} 3-x \ge 0 \\ \sqrt{3-x} \neq 0 \end{cases} \Rightarrow 3-x > 0 \Rightarrow x < 3\)。
3. 由 \(x \ge 3\) 得 \(2x-6 \ge 0\)，故 \(y=\sqrt{2x-6} \ge 0\)。值域为 \([0, +\infty)\)。
4. \(\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ \sqrt{x+1} \neq 0 \end{cases} \Rightarrow x+1 > 0 \Rightarrow x > -1\)。即 \((-1, +\infty)\)。
5. \(2y+x=20 \Rightarrow y=10-\frac{x}{2}\)。条件：\(\begin{cases} x>0 \\ y>0 \\ 2y > x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>0 \\ 10-\frac{x}{2}>0 \\ 20-x > x \end{cases} \Rightarrow 0 < x < 10\)。
6. \(y=12+2x\)。弹簧有弹性限度，但题中未给出，故通常只考虑物理合理性：\(x \ge 0\)。
7. \(\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x^2-4 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ x \neq \pm 2 \end{cases} \Rightarrow x \ge 1 \text{且} x \neq 2\)。即 \([1, 2) \cup (2, +\infty)\)。
8. \(x=a\) 无意义，通常分母为0或类似情况。\(x=b\) 时 \(y=0\)。点 \((a, b)\) 的横坐标 \(a\) 通常是函数定义域外的点或导致分母为0的点，纵坐标 \(b\) 可以是任意实数，仅由 \(f(b)=0\) 无法确定符号。信息不足，无法确定象限。常见陷阱题，意在考查对定义域和函数值概念的理解。
9. \([x]\) 对任意实数 \(x\) 都有定义，故 \(x \in R\)。

10. 由 \(\triangle PCQ \sim \triangle RDP\) 等比例关系可推得 \(DQ = \frac{4}{7}x\) (过程略)。
    梯形面积 \(y = \frac{1}{2}(AQ+BP) \cdot AB = \frac{1}{2}[(7-\frac{4}{7}x) + x] \times 4 = 14 + \frac{6}{7}x\)。
    条件：\(P\) 在 \(BC\) 上不与 \(B,C\)重合 ➔ \(0 < x < 7\)。

第三关：生活应用

1. 过上底端点作高，可得渠口宽 \(x = 2 + 2 \times 1 \times \cot 45^\circ = 4\) 米？这里审题有误。倾角45°，则斜坡水平投影等于渠深1米。渠口宽 \(x =\) 下底宽 \(+ 2 \times\) 水平投影 \(= 2 + 2 \times 1 = 4\)。这是一个固定值，不是变量。可能题目意在让渠口宽为 \(x\)，求斜坡倾角？或另一种理解：已知渠口宽 \(x\)，求面积。则高为1米，上底为 \(x\)，下底为2米，面积 \(y=\frac{1}{2}(x+2)\times 1 = \frac{x}{2}+1\)。条件：\(x > 2\) (保证是梯形)。
2. 销量 \(p = 500 - 10(x-50) = 1000 - 10x\)。
   毛利润 \(y = (x-40)p = (x-40)(1000-10x) = -10x^2 + 1400x - 40000\)。
   保证不亏本：\(y \ge 0\) 且 \(p \ge 0\)。
   由 \(p \ge 0\) 得 \(1000-10x \ge 0 \Rightarrow x \le 100\)。
   由 \(y \ge 0\) 解 \(-10x^2+1400x-40000 \ge 0\)，得 \(40 \le x \le 100\)。
   结合 \(x \ge 50\)，得 \(50 \le x \le 100\)。且通常 \(x\) 为货币单位，可保留一位小数。
3. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB=BC=x\) (因 \(\angle BCA=45^\circ\))。在 \(\triangle ABD\) 中，\(\tan 30^\circ = \frac{AB}{BD} = \frac{x}{x+50}\)？不对，若 \(BC=x\)，则 \(BD = BC+CD = x+50\)。由 \(\tan 30^\circ = \frac{AB}{BD} = \frac{x}{x+50}\)，解得 \(x = \frac{50\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} \approx 68.3\)米。这里要求建立函数关系，可写作 \(y = x = \frac{\sqrt{3}}{3}(x+50)\)？更直接的关系：由 \(\frac{AB}{BC}=1\) 和 \(\frac{AB}{BD}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，消去 \(AB\) 得 \(BC=\frac{\sqrt{3}}{3}BD=\frac{\sqrt{3}}{3}(BC+50)\)，解得 \(BC=\frac{50\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\)。自变量 \(x\) 是 \(BC\)，它本身是一个确定值，范围无意义。可能更合理的设元是设 \(AB=y\)，则 \(BC=y\)，\(BD=y+50\)，由 \(\tan 30^\circ\) 得 \(y=\frac{\sqrt{3}}{3}(y+50)\)，解得 \(y=\frac{50\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\)。此题设计旨在练习从几何图形建立函数关系，并意识到某些情况下变量是确定的。
4. 小球在地面时 \(h=0\)，解 \(20t-5t^2=0\) 得 \(t=0\) 或 \(t=4\)。从抛出 \(t=0\) 到落回 \(t=4\)，故 \(0 \le t \le 4\)。
5. 分段函数：
   当 \(0 \le x \le 5\) 时，\(y=\) 套餐费（设为 \(M\) 元，题中未给出，常为基础费）。
   当 \(x > 5\) 时，\(y = M + 3 \times (x-5)\)。
   自变量 \(x \ge 0\)，且在实际计费中通常按GB进位，\(x\) 可视为非负实数。