知识要点

中国剩余定理是解决一类古老而有趣的问题的方法，它起源于《孙子算经》中的“物不知数”问题。我们可以把它想象成一个“数字侦探游戏”：根据一些零散的线索（除以某数的余数），来找出隐藏的那个数字。

💡 核心概念

核心是“逐一满足”的思想。当我们要找一个数，它同时满足“除以A余a，除以B余b”等多个条件时，我们很难一下子找到。中国剩余定理告诉我们一个好方法：先找到一个数，让它只满足“除以A余a”，但同时又是B的倍数（这样除以B的余数就是0，不会干扰第二个条件）。然后再调整这个数，让它同时满足第二个条件，并且保持第一个条件依然成立。这样一步一步，就能拼凑出最终答案。

📝 计算法则（核心步骤）

以“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数最小是多少？”为例：

1. 列出条件： 除数：\( m_1=3, m_2=5, m_3=7 \)；余数：\( r_1=2, r_2=3, r_3=2 \)。
2. 求总模数： 计算所有除数的乘积 \( M = m_1 \times m_2 \times m_3 = 3 \times 5 \times 7 = 105 \)。
3. 求部分模数： 分别计算 \( M_1 = M \div m_1 = 105 \div 3 = 35 \)， \( M_2 = 105 \div 5 = 21 \)， \( M_3 = 105 \div 7 = 15 \)。
4. 找乘数（关键）： 对于每个 \( M_i \)，找一个乘数 \( t_i \)，使得 \( (M_i \times t_i) \div m_i \) 的余数为 \( 1 \)。
   • 找 \( t_1 \)： \( 35 \times t_1 \) 除以 \( 3 \) 余 \( 1 \)。试一试，\( 35 \times 2 = 70 \)，\( 70 \div 3 = 23 \cdots 1 \)，所以 \( t_1 = 2 \)。
   • 找 \( t_2 \)： \( 21 \times t_2 \) 除以 \( 5 \) 余 \( 1 \)。\( 21 \times 1 = 21 \)，\( 21 \div 5 = 4 \cdots 1 \)，所以 \( t_2 = 1 \)。
   • 找 \( t_3 \)： \( 15 \times t_3 \) 除以 \( 7 \) 余 \( 1 \)。\( 15 \times 1 = 15 \)，\( 15 \div 7 = 2 \cdots 1 \)，所以 \( t_3 = 1 \)。
5. 构造解： 计算 \( X = (r_1 \times M_1 \times t_1 + r_2 \times M_2 \times t_2 + r_3 \times M_3 \times t_3) \)。

   即 \( X = (2 \times 35 \times 2) + (3 \times 21 \times 1) + (2 \times 15 \times 1) = 140 + 63 + 30 = 233 \)。

6. 求最小解： 计算 \( X \div M \) 的余数，即为符合条件的最小正整数解。

   \( 233 \div 105 = 2 \cdots 23 \)，所以最小答案是 \( 23 \)。

🎯 记忆口诀

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
这首古诗对应了上面的例子：“除以3余2”用70（即35×2），“除以5余3”用21（即21×1），“除以7余2”用15（即15×1），相加得106，减去105得1。古人用70、21、15这些固定乘数来简化计算。核心思想是：用一个大数的倍数，去“模拟”满足一个条件的同时，不影响其他条件。

🔗 知识关联

这个定理紧密联系着你已经学过的：

• 除法和余数： 这是问题的基础形式。
• 倍数和公倍数： 寻找 \( M_i \) 的过程就是在找除了自身除数外其他所有除数的公倍数。
• 试商和逆运算： 寻找 \( t_i \) 的过程类似于解一个简单的带余除法方程，需要一定的试算能力。

易错点警示

1. ❌ 错误1： 将几个余数直接相乘或相加来猜答案。

   ✅ 正解： 必须按照“逐一满足”的系统方法，构造出同时满足所有条件的数。

2. ❌ 错误2： 忽略“除数两两互质”的前提条件。如果除数有公因数（如除以4和除以6），直接套用上述公式会出错。

   ✅ 正解： 小学阶段通常题目已确保除数互质。若未明确，需先判断，非互质情况需转化。

3. ❌ 错误3： 在“找乘数 \( t_i \)”步骤中，混淆了“余数为1”的条件。误以为 \( M_i \times t_i \div m_i \) 的商是1，或 \( M_i \times t_i \) 等于 \( m_i \)。

   ✅ 正解： 明确目标是 余数为1。通常通过从 \( t_i=1 \) 开始尝试计算 \( M_i \times t_i \div m_i \) 的余数，直到余数为1。

三例题精讲

🔥 例题1

一个数除以 \( 4 \) 余 \( 1 \)，除以 \( 5 \) 余 \( 2 \)，这个数最小是多少？

📌 第一步： 先满足第一个条件。列出除以4余1的数：\( 1, 5, 9, 13, 17, 21\ldots \)

📌 第二步： 从这些数中，找除以5余2的数。检查：\( 1 \div 5 \) 余 \( 1 \)（否），\( 5 \div 5 \) 余 \( 0 \)（否），\( 9 \div 5 \) 余 \( 4 \)（否），\( 13 \div 5 \) 余 \( 3 \)（否），\( 17 \div 5 \) 余 \( 2 \)（是！）。

✅ 答案： \( 17 \)。

💬 总结： 当条件较少时，可以用列举法，从满足一个条件的数列中筛选出满足另一个条件的数。这是理解“逐一满足”思想最直观的方法。

🔥 例题2

一堆苹果，平均分给 \( 6 \) 个小朋友，剩下 \( 4 \) 个；平均分给 \( 8 \) 个小朋友，剩下 \( 2 \) 个。这堆苹果至少有多少个？

📌 第一步： 转化问题。苹果数除以 \( 6 \) 余 \( 4 \)，除以 \( 8 \) 余 \( 2 \)。

📌 第二步： 观察余数与除数的关系。\( 6 - 4 = 2\)， \( 8 - 2 = 6\)，差不同，不能直接用“差同”口诀。我们用列举法。列出除以6余4的数：\( 4, 10, 16, 22, 28, 34\ldots \)

📌 第三步： 检查这些数除以8的余数。\( 4 \div 8 \) 余 \( 4 \)，\( 10 \div 8 \) 余 \( 2 \)（符合！）。

✅ 答案： 这堆苹果至少有 \( 10 \) 个。

💬 总结： 实际问题要先转化为带余除法模型。当口诀不直接适用时，列举满足一个条件的数仍是可靠的基础方法。

🔥 例题3

应用完整步骤求解：一个正整数，除以 \( 3 \) 余 \( 2 \)，除以 \( 4 \) 余 \( 1 \)，除以 \( 5 \) 余 \( 3 \)，求这个数最小是多少？

📌 第一步： 列出条件：\( m_1=3, r_1=2\); \( m_2=4, r_2=1\); \( m_3=5, r_3=3\)。除数 \( 3, 4, 5 \) 两两互质。

📌 第二步： 计算总模数 \( M = 3 \times 4 \times 5 = 60 \)。

📌 第三步： 计算部分模数：\( M_1 = 60 \div 3 = 20 \)， \( M_2 = 60 \div 4 = 15 \)， \( M_3 = 60 \div 5 = 12 \)。

📌 第四步： 找乘数 \( t_i \)。

找 \( t_1 \)：\( 20 \times t_1 \div 3 \) 余 \( 1 \)。\( 20 \times 2 = 40 \)，\( 40 \div 3 = 13 \cdots 1 \)，所以 \( t_1=2 \)。

找 \( t_2 \)：\( 15 \times t_2 \div 4 \) 余 \( 1 \)。\( 15 \times 3 = 45 \)，\( 45 \div 4 = 11 \cdots 1 \)，所以 \( t_2=3 \)。

找 \( t_3 \)：\( 12 \times t_3 \div 5 \) 余 \( 1 \)。\( 12 \times 3 = 36 \)，\( 36 \div 5 = 7 \cdots 1 \)，所以 \( t_3=3 \)。

📌 第五步： 构造解 \( X = 2\times20\times2 + 1\times15\times3 + 3\times12\times3 = 80 + 45 + 108 = 233 \)。

📌 第六步： 求最小解 \( 233 \div 60 = 3 \cdots 53 \)。

✅ 答案： \( 53 \)。

💬 总结： 对于三个或以上互质除数的条件，这是标准、通用的解法。关键在于正确计算 \( M_i \) 和耐心找到正确的 \( t_i \)。

练习题（10道）

1. 一个数除以 \( 5 \) 余 \( 2 \)，除以 \( 7 \) 余 \( 4 \)，这个数最小是多少？
2. 某数除以 \( 3 \) 余 \( 1 \)，除以 \( 4 \) 余 \( 2 \)，这个数最小是几？
3. 一包糖果，分给 \( 6 \) 个孩子多 \( 5 \) 颗，分给 \( 9 \) 个孩子多 \( 8 \) 颗。这包糖果至少有多少颗？
4. 满足“除以 \( 4 \) 余 \( 3 \)，除以 \( 5 \) 余 \( 4 \)，除以 \( 6 \) 余 \( 5 \)”的最小自然数是多少？
5. 一个两位数，除以 \( 4 \) 余 \( 3 \)，除以 \( 5 \) 余 \( 2 \)，这个两位数最大是多少？
6. 有一个数，用它去除 \( 132 \) 余 \( 2 \)，去除 \( 187 \) 余 \( 7 \)，这个数是多少？
7. 一堆棋子，\( 3 \) 个 \( 3 \) 个数多 \( 2 \) 个，\( 5 \) 个 \( 5 \) 个数多 \( 3 \) 个，\( 7 \) 个 \( 7 \) 个数多 \( 4 \) 个。这堆棋子至少有多少个？
8. 一个自然数，除以 \( 7 \) 余 \( 5 \)，除以 \( 8 \) 余 \( 6 \)，除以 \( 9 \) 余 \( 7 \)。这个数最小是多少？
9. 学校买来一批图书，每班分 \( 10 \) 本多 \( 9 \) 本，每班分 \( 12 \) 本多 \( 11 \) 本，每班分 \( 15 \) 本多 \( 14 \) 本。这批图书至少有多少本？
10. 有一个整数，除 \( 300 \)、\( 262 \)、\( 205 \) 得到相同的余数。这个整数最大是多少？

奥数挑战（10道）

1. 一个数除以 \( 5 \) 余 \( 3 \)，除以 \( 6 \) 余 \( 4 \)，除以 \( 7 \) 余 \( 5 \)。这个数在 \( 1000 \) 到 \( 1500 \) 之间，它是多少？
2. 三个连续正整数，它们从小到大依次除以 \( 4, 5, 6 \) 的余数之和是 \( 10 \)。这三个数中最小的是多少？
3. 有一个数，除以 \( 2 \) 余 \( 1 \)，除以 \( 3 \) 余 \( 2 \)，除以 \( 4 \) 余 \( 3 \)……除以 \( 10 \) 余 \( 9 \)。这个数最小是多少？
4. 一个自然数 \( n \) 满足：\( n \div 7 \) 余 \( a \)，\( n \div 8 \) 余 \( b \)。已知 \( a + b = 10 \)，且 \( a > b \)。求 \( n \) 的最小值。
5. 一个四位数，它除以 \( 11 \) 余 \( 8 \)，除以 \( 13 \) 余 \( 10 \)，除以 \( 17 \) 余 \( 12 \)。这个四位数最小是多少？
6. 某年的十月有 \( 5 \) 个星期二和 \( 5 \) 个星期六，请问这年的国庆节（十月一日）是星期几？
7. 一个数，除以 \( 7 \) 余 \( 2 \)，除以 \( 11 \) 余 \( 6 \)。满足条件的所有三位数的和是多少？
8. 一个自然数，把它加上 \( 1 \) 就能被 \( 5 \) 整除，把它加上 \( 2 \) 就能被 \( 6 \) 整除，把它加上 \( 3 \) 就能被 \( 7 \) 整除。这个数最小是多少？
9. 一串数排成一行：\( 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, \ldots \)（斐波那契数列）。从第几个数开始，每个数被 \( 7 \) 除的余数，会开始重复前面出现过的循环？
10. 有一个盒子，里面装有黑白两种颜色的棋子。黑子数量除以 \( 7 \) 余 \( 5 \)，白子数量除以 \( 8 \) 余 \( 6 \)。已知棋子总数在 \( 90 \) 到 \( 110 \) 之间。黑子最多可能有多少枚？

生活应用（5道）

1. （高铁班次） 某高铁线路，G01次列车每 \( 12 \) 分钟从起点站发出一列，G02次列车每 \( 15 \) 分钟从起点站发出一列。上午 \( 8:00 \) 两列车同时发车。请问下一次两列车同时发车是几点几分？
2. （航天信号） 空间站向地面发送两种周期性信号。信号A每 \( 9 \) 秒闪烁一次，信号B每 \( 14 \) 秒闪烁一次。若它们于 \( 0 \) 秒时同时闪烁，那么在 \( 5 \) 分钟（\( 300 \) 秒）内，它们有多少次同时闪烁（包括第 \( 0 \) 秒）？
3. （AI数据包） 一个AI训练程序需要处理数据包。程序A每处理 \( 8 \) 个数据包需要休息一次，程序B每处理 \( 11 \) 个数据包需要休息一次。若它们同时开始处理第 \( 1 \) 个包，当它们第一次同时休息时，程序A已经处理了多少个数据包？
4. （环保回收） 社区安排了三类垃圾回收车：厨余垃圾车每 \( 4 \) 天来一次，可回收物车每 \( 6 \) 天来一次，有害垃圾车每 \( 10 \) 天来一次。如果今天（周一）三辆车同时来了，那么下一次三辆车再次同一天来是周几？
5. （网购促销） 某电商平台，“满100减20”的优惠券每 \( 3 \) 天发放一次，“免运费券”每 \( 5 \) 天发放一次。小明在1月1日同时领到了两种券。在1月份（31天），他有多少天可以同时领到两种券？