中心投影与影子计算：路灯模型深度解析与解题秘籍专项练习题库
适用年级
初三
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-21
💡 阿星精讲：中心投影 原理
- 核心概念：想象一下，你就是一根立在地上的铅笔，而一个巨大的“路灯爷爷”高高在上，它向下发散出无数条光线，像瀑布一样倾泻下来。当光线照到你身上，你的影子就会躺在地面上。“路灯爷爷”的光是发散的，这就是中心投影。一个有趣的规律是：你离“路灯爷爷”越近，他看到的你越清楚（光线覆盖更多），你的影子就越短、越“胖”；你离他越远，你的影子就被拉得越长、越“瘦”。这个“路灯爷爷”就是中心投影的 投影中心，地面是 投影面。
- 计算秘籍：核心是相似三角形。设路灯高 \( H \)，物体高 \( h \)，物体到路灯底部的水平距离为 \( a \)，影子长为 \( s \)。
- 根据光线（直线）和相似性，有比例关系：\[ \frac{\text{物体高}}{\text{影子长}} = \frac{\text{路灯高} - \text{物体高}}{\text{物体到灯杆距离}} \]
- 即：\[ \frac{h}{s} = \frac{H - h}{a} \]
- 变形可得影子长公式：\[ s = \frac{h \cdot a}{H - h} \]
- 阿星口诀：路灯爷爷站得高，发散光线把影照。离灯越近影越短，相似三角算分毫。
📐 图形解析
中心投影（路灯模型）的几何关系：
关键比例关系：由相似三角形 \( \triangle SAB \sim \triangle SA'B' \) 可以得到 \[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{SB}{SB'} \]，对应到上图参数即 \[ \frac{h}{s} = \frac{H - h}{a} \]。
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：把投影中心（光源）到物体的“斜线距离”当成水平距离。 → ✅ 正解：在相似三角形比例计算中，我们使用的是 垂直高度差 和 水平距离，切勿混淆空间中的直线距离。
- ❌ 错误2：认为物体移动时，影子长度与距离成正比。 → ✅ 正解：从公式 \( s = \frac{h \cdot a}{H - h} \) 看，当物体高度 \( h \) 和路灯高 \( H \) 固定时，影子长 \( s \) 与物体到灯杆的水平距离 \( a \) 成正比吗？不！因为分母 \( (H - h) \) 是定值，所以 \( s \) 与 \( a \) 成正比。但很多同学会误以为“离得越远影子越长”是正比，其实这是正确的，但要注意前提是物体高度不变。如果讨论的是不同高度的物体在同一位置，比例关系就不同了。
🔥 三例题精讲
例题1：一盏路灯高 \( 6 \) 米，一个身高 \( 1.8 \) 米的人站在路灯下。如果他的影子长 \( 2 \) 米，请问他离路灯杆底部的水平距离是多少米？
📌 解析：
- 已知：路灯高 \( H = 6 \)，人高 \( h = 1.8 \)，影子长 \( s = 2 \)，求水平距离 \( a \)。
- 代入核心公式 \( \frac{h}{s} = \frac{H - h}{a} \)： \[ \frac{1.8}{2} = \frac{6 - 1.8}{a} \]
- 计算： \[ 0.9 = \frac{4.2}{a} \] \[ a = \frac{4.2}{0.9} = 4.67 \, (\text{米}) \]
✅ 总结：直接套用相似三角形比例公式，注意对应边关系。本题中“人高”对应“影子长”，“路灯与人高之差”对应“水平距离”。
例题2：一根 \( 2 \) 米长的竹竿，竖直立在离路灯杆 \( 5 \) 米远的地方，测得它的影子长 \( 3 \) 米。请问这盏路灯有多高？
📌 解析：
- 已知：竹竿高 \( h = 2 \)，水平距离 \( a = 5 \)，影子长 \( s = 3 \)，求路灯高 \( H \)。
- 代入公式 \( \frac{h}{s} = \frac{H - h}{a} \)： \[ \frac{2}{3} = \frac{H - 2}{5} \]
- 交叉相乘： \[ 2 \times 5 = 3 \times (H - 2) \] \[ 10 = 3H - 6 \]
- 解得： \[ 3H = 16 \] \[ H = \frac{16}{3} \approx 5.33 \, (\text{米}) \]
✅ 总结：公式中有四个量，知道任意三个即可求出第四个。本题是求光源高度 \( H \)，公式变形为 \( H = h + \frac{h \cdot a}{s} \) 可直接计算。
例题3（综合）：身高 \( 1.6 \) 米的小明和身高 \( 1.2 \) 米的小红，站在同一盏路灯下的同一条直线上。小明离灯杆 \( 4 \) 米，影子长 \( 2 \) 米。请问小红站在离灯杆多远的地方，才能使她的影子末端恰好与小明的影子末端重合？
📌 解析：
- 首先，根据小明的数据求路灯高 \( H \)。
已知：\( h_1 = 1.6, a_1 = 4, s_1 = 2 \)。
由公式：\[ \frac{1.6}{2} = \frac{H - 1.6}{4} \] \[ 0.8 = \frac{H - 1.6}{4} \] \[ H - 1.6 = 3.2 \] \[ H = 4.8 \, (\text{米}) \] - 设小红离灯杆的水平距离为 \( a_2 \) 米，她的影子长为 \( s_2 \) 米。已知小红身高 \( h_2 = 1.2 \)。
- 关键条件：影子末端重合。这意味着从灯杆到影子末端的水平总距离是固定的。对于小明，这个总距离是 \( a_1 + s_1 = 4 + 2 = 6 \) 米。所以小红也有 \( a_2 + s_2 = 6 \)。
- 对小红应用公式：\[ \frac{h_2}{s_2} = \frac{H - h_2}{a_2} \] 代入 \( h_2 = 1.2, H = 4.8, s_2 = 6 - a_2 \)：
\[ \frac{1.2}{6 - a_2} = \frac{4.8 - 1.2}{a_2} \] \[ \frac{1.2}{6 - a_2} = \frac{3.6}{a_2} \] - 交叉相乘：\[ 1.2 \times a_2 = 3.6 \times (6 - a_2) \] \[ 1.2a_2 = 21.6 - 3.6a_2 \] \[ 4.8a_2 = 21.6 \] \[ a_2 = 4.5 \, (\text{米}) \]
✅ 总结：多物体、影子有特定关系的问题，关键是找出不变量（本题是影子末端总位置）。先利用一组数据求出公共参数（路灯高），再结合约束条件（总距离相等）列方程求解。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 路灯高 \( 8 \) 米，小树高 \( 2 \) 米，树离路灯杆 \( 6 \) 米，求树的影子长度。
- 一根 \( 1.5 \) 米长的标杆，影长 \( 2.5 \) 米，同时测得路灯影子的一部分（从杆底到影端）水平距离为 \( 4 \) 米，求路灯高度。
- 根据“离灯越近影越短”的规律，判断：一个物体从路灯正下方开始向外走，它的影子长度变化是（匀速增加/先快后慢/…）？
- 画出中心投影下，一个正方形在地面上的影子形状示意图（光源在正上方无穷远？在侧上方？）。
- 已知投影中心S和物体AB，用尺规作图法画出AB在给定平面上的中心投影A'B'。（描述步骤）
- 路灯下，两个一样高的人，一个离灯近，一个离灯远。谁的影子长？
- 公式 \( s = \frac{h \cdot a}{H - h} \) 中，如果物体高度 \( h \) 无限接近路灯高 \( H \)，会发生什么？结合实际解释。
- 一个长方体箱子在路灯下的影子可能是什么形状？（多选）
- 计算：物体高 \( 3 \) 米，离灯杆 \( 10 \) 米，影子长 \( 6 \) 米，求路灯高。
- 如果太阳光（近似平行光）下，上述公式还适用吗？为什么？
第二关：中考挑战（10道）
- (中考真题改编) 如图，路灯距地面 \( 8 \) 米，身高 \( 1.6 \) 米的小明从距离灯底（点O） \( 20 \) 米的点A处，沿AO方向行走 \( 12 \) 米到达点B处。求小明在A处和B处时，影子长度之差。
- 在中心投影下，空间中的一条直线，其投影可能是什么？（点、直线、线段）在什么条件下会成为点？
- 已知路灯高度，如何利用一根短尺和你的身高，测量一栋大楼的高度？简述原理和步骤。
- 投影中心S在两个平行平面 \( \pi_1 \) 和 \( \pi_2 \) 之间，物体在 \( \pi_1 \) 上，其投影在 \( \pi_2 \) 上。证明：这种中心投影变换下，平行线段的投影仍然平行吗？
- 三角形ABC在中心投影下的影子为A'B'C'，若已知原三角形面积和投影中心位置，能否求投影面积？需要哪些条件？
- 结合相似三角形和比例线段，证明中心投影的“交叉比”不变性（如需，可查阅资料）。
- 一束光从点光源S发出，经过一个半径为r的圆形孔洞后，在后方平面上的光斑形状和大小如何计算？（提示：考虑孔洞与光源、平面的距离）
- 已知正方形ABCD在水平地面上的中心投影为四边形A'B'C'D'，且A'B'C'D'是一个梯形。试确定光源S的大致位置区域。
- 如图，P为光源，线段AB和CD平行且等高，但离光源水平距离不同。比较它们影子的长度和位置关系。
- 综合应用题：设计一个方案，利用夜晚的路灯，测量学校旗杆的高度。写出所需工具、测量数据列表和计算公式。
第三关：生活应用（5道）
- 电影放映机：放映机（点光源）离银幕 \( 15 \) 米，胶片画面尺寸为 \( 20mm \times 15mm \)。要充满一个 \( 6m \times 4.5m \) 的银幕，放映机镜头应距离胶片多远？（提示：镜头到胶片距离远小于到银幕距离，可近似为中心投影）
- 透视绘画：画家在画布上绘制一条向远方延伸的笔直铁路。铁轨在现实中是平行的，但在画中会相交于一点（消失点）。请用中心投影原理解释这一现象。
- 卫星成像：早期侦察卫星的胶片相机，从太空中拍摄地面照片。假设卫星高度 \( 200km \)，相机焦距 \( 3m \)，求地面上一段 \( 1km \) 长的跑道在胶片上的成像长度。这是中心投影吗？
- 建筑采光分析：一栋楼高 \( 50 \) 米，计划在其正南方 \( 30 \) 米处建一栋新楼。为保证老楼底层窗户在冬至日（太阳高度角最低）仍有 \( 1 \) 小时日照，新楼最高不能超过多少米？（需查本地纬度与冬至日太阳高度角，或设为已知条件 \( \alpha \) ）
- 3D图形学：在计算机三维图形中，将三维模型显示在二维屏幕上，最常用的两种投影是“正交投影”和“透视投影（即中心投影）”。试分析第一人称射击游戏和工程制图软件分别主要采用哪种投影，并说明原因。
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：中心投影 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难点主要有二。第一是空间想象：学生需要在大脑中构建三维的光源、物体、影子以及投影面的关系，并将它们抽象到二维的平面几何图形中进行计算。第二是比例对应关系：在相似三角形 \( \triangle SAB \sim \triangle SA'B' \) 中，对应边是 \( AB \) 对应 \( A'B' \)（高之比），\( SB \) 对应 \( SB' \)（斜边之比），但实际计算时我们常用的是竖直高度差 \( (H-h) \) 和水平距离 \( a \) 的对应关系，即 \( \frac{h}{s} = \frac{H-h}{a} \)。这个等式的建立需要一次转换（\( SB = \sqrt{a^2 + (H-h)^2} \) 并不直接使用），跳过了斜边，直接用了直角边的比例，这对学生的几何变换能力要求较高。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：中心投影是射影几何的启蒙。它直接引出了几个关键思想：1. 变换与不变性：图形在投影下哪些性质改变了（长度、角度），哪些可能保持不变（共线性、交比）。2. 从欧式几何到非欧几何的桥梁：在中心投影下，平行线可以相交（消失点），这打破了欧几里得第五公设的认知，是理解现代几何学的窗口。3. 建模思想：将现实世界的光影、透视现象抽象成简洁的数学模型（相似三角形），这是所有应用数学的基础。在高中学习圆锥曲线、立体几何，乃至大学计算机图形学、机器视觉中，投影变换都是核心工具。
问：有什么一招必胜的解题"套路"吗？
答：有。绝大多数中学阶段的路灯影子问题，都可以用以下标准化步骤解决：
- 画图标注：务必画出光源(S)、物体顶端(A)、物体底端(B)、影子顶端(A')、影子底端(B')。连接SA并延长交地面于A'，连接SB并延长交地面于B'。A'B'即为影子。
- 找相似：识别出相似三角形，通常是 \( \triangle SAB \sim \triangle SA'B' \)（或与光源高度相关的直角三角形）。
- 列比例：写出相似比，并转化为只包含垂直高度和水平距离的等式。万能公式为：\[ \frac{\text{物体高}}{\text{影子长}} = \frac{\text{光源高} - \text{物体高}}{\text{物体到光源垂足的水平距离}} \] 即 \( \frac{h}{s} = \frac{H-h}{a} \)。
- 解方程：将已知三个量代入，求第四个未知量。如果涉及多物体或多状态，寻找影子长度和、差、重合等不变量建立联系。
记住这个“画图-相似-比例-求解”的四步法，就能解决95%的题目。
答案与解析
第一关 基础热身 解析（部分示例）：
- 已知 \( H=8, h=2, a=6 \)，求 \( s \)。公式：\( \frac{2}{s} = \frac{8-2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)，所以 \( s = 2 \) 米。
- 已知 \( h=1.5, s=2.5 \)，且“从杆底到影端”距离为 \( 4 \) 米，注意这 \( 4 \) 米包含了杆到灯杆的距离 \( a \) 和影子长 \( s \) 吗？题目描述模糊，需明确。若理解为标杆影子端点离灯杆水平距离为 \( 4 \) 米，则 \( a + s = 4 \)，且 \( a = 4 - 2.5 = 1.5 \) 米。代入求 \( H \)： \( \frac{1.5}{2.5} = \frac{H-1.5}{1.5} \)，解得 \( H=2.4 \) 米。此结果偏低，可能是对题意理解有歧义。更常见的考法是：标杆影长 \( 2.5 \) 米，同时测得路灯全长的影子（从灯杆底到路灯影子顶端）为某个值。本题旨在提醒审题清晰。
- 从公式 \( s = \frac{h}{H-h} \cdot a \) 看，当 \( h, H \) 固定时，\( s \) 与 \( a \) 成正比。所以物体从正下方（\( a=0 \)）开始向外走，影子长度从 \( 0 \) 开始匀速增加。但注意，这是建立在“物体高度不变”和“地面水平”的模型下的。实际上，人的头顶到光源的连线与地面的夹角在变化，但从数学模型看，确实是正比例线性关系。
- 略（考查空间想象）。光源在正上方无穷远（平行投影）时，正方形影子是相似的正方形（或矩形）；光源在侧上方时，影子可能是一个梯形或一般的四边形。
- 步骤：1) 连接SA交投影面于A'；2) 连接SB交投影面于B'；3) 线段A'B'即为所求投影。
（第二关、第三关的详细解析请同学们自行思考或由老师讲解，关键步骤和答案可参考第一关的解析思路。）
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