中心投影怎么算影子长度？路灯模型与相似三角形深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：中心投影 原理

• 核心概念：想象一下，你晚上站在路灯下。你自己就是那个“物体”，地面就是“投影面”，而头顶那个灯泡，就是“投影中心”！光线（投影线）从灯泡这个“点”向四面八方射出来，照在你身上，在地面投下一个长长的影子。嘿，这不就是中心投影吗？阿星偷偷告诉你一个秘密：离灯越近，你的影子就越像个“小矮人”，又短又胖（实际上是因为光线倾斜角度大）；离灯越远，你的影子就像被“拉面条”一样，变得又细又长。 这个过程，就是用一个点（灯）把物体的形状“复制”到另一个平面（地面）上的魔法。
• 计算秘籍：核心是找到相似的三角形。我们建立一个简单的模型：设路灯高度为 \( H \)，你的身高为 \( h \)，你到路灯杆的水平距离为 \( d \)，你的影子长度为 \( s \)。根据相似三角形，我们有：
  1. 大三角形（路灯顶到影子末端）和小三角形（你头顶到脚底）是相似的。
  2. 对应边成比例：\( \frac{H}{h} = \frac{d + s}{s} \)。
  3. 解出影子长度：\( s = \frac{h \cdot d}{H - h} \)。看！公式里 \( d \) 越大，\( s \) 就越大，完美解释了“离灯越远影子越长”。
• 阿星口诀：一个中心（投影中心）发光线，投到平面影显现。物近影短像浓缩，物远影长被拉伸。相似三角藏比例，计算影子不求仙！

📐 图形解析

让我们通过SVG图形，把路灯投影的模型可视化。下图清晰地展示了投影中心（路灯）、物体（人）、投影面（地面）以及形成影子的投影线。

关键比例关系：\( \frac{H}{h} = \frac{L}{l} = \frac{d + s}{s} \)

再看一个动态变化的示意图：当物体（人）从位置1走到位置2，远离路灯时，影子从 \( s_1 \) 变长为 \( s_2 \)。直观感受“物远影长”。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：混淆中心投影与平行投影（如阳光下的影子）。认为所有投影的影子大小都只与物体本身有关。 → ✅ 正解：中心投影的影子大小同时取决于物体大小、物体到投影中心的距离、投影中心到投影面的距离。平行投影的影子大小只与物体和光线角度有关，与距离无关。
• ❌ 错误2：在计算时，直接套用 \( \frac{\text{物高}}{\text{影长}} = \frac{\text{灯高}}{\text{物距}} \)。 → ✅ 正解：必须严格依据相似三角形对应边成比例。正确的比例关系是：\( \frac{\text{灯高}}{\text{物高}} = \frac{\text{物距 + 影长}}{\text{影长}} \) 或 \( \frac{\text{灯高}}{\text{物高}} = \frac{\text{灯到影子末端的距离}}{\text{影长}} \)。画图标出已知量是避免错误的最佳方法。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 路灯高 \( 8m \)，身高 \( 1.5m \) 的小孩站在灯下，影子长 \( 1m \)。小孩距离路灯杆多少米？
2. 根据“阿星口诀”，“物近影____，物远影____”。（填空）
3. 投影中心在投影面上方 \( 10m \)，一个 \( 2m \) 高的标杆垂直立于面上，标杆脚距离中心垂足 \( 4m \)，求影子长度。
4. 判断：太阳光下的影子是中心投影。（ ）
5. 画出路灯下一个小球的中心投影示意图（简图）。
6. 如果路灯高度增加，而人和路灯的距离不变，人的影子会如何变化？
7. 已知路灯高 \( H \)，人高 \( h \)，影子长 \( s \)，写出人距路灯杆距离 \( d \) 的表达式。
8. 一个长方体箱子放在路灯下，它的影子可能是什么形状？（多选题：A.长方形 B.梯形 C.六边形 D.平行四边形）
9. 在中心投影下，平行于投影面的线段，其投影与原线段的关系是？
10. 中心投影的三要素是：投影中心、______ 和 ______。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考改编) 如图，小树AB在路灯O照射下的影子为BC。测得 \( AB=2m \)，\( BC=3m \)，\( OB=4m \)。求路灯O距地面的高度。
   （需配简单SVG示意图）
2. 投影中心O到平面π的距离为 \( 12cm \)，平面内一条 \( 5cm \) 的线段AB平行于π，且A点距离O在π上的垂足 \( 8cm \)。求AB在π上的中心投影A‘B’的长度。
3. 身高 \( 1.7m \) 的小华和身高 \( 1.5m \) 的小夏在同一盏路灯下。小华的影子比小夏的影子长 \( 0.5m \)。已知小华距离路灯 \( 9m \)，求小夏距离路灯多远。
4. 中心投影下，一个圆的投影最不可能是什么形状？ A.圆 B.椭圆 C.线段 D.抛物线
5. 如图，三角板ABC（∠C=90°）垂直于地面放置，顶点A接触地面。在点光源O照射下，影子为三角形A'B'C‘。已知 \( AC=3, BC=4, O \) 的高度和水平位置...（综合相似三角形计算题）
6. 将中心投影公式 \( s = \frac{h \cdot d}{H - h} \) 变形，用 \( s, h, d \) 表示 \( H \)。
7. 在点光源下，两根长度不等但平行的木棍竖直放置。它们的影子长度之比等于______之比。
8. 已知点光源下，一个正方形的投影是一个四边形，且有一组对边投影后仍平行。求证：该正方形至少有一条边平行于投影面。
9. 小亮想用中心投影的原理测量一棵树的高度。晚上，他带来一盏已知高度 \( 2m \) 的便携灯，竖立一根 \( 1m \) 的标杆，测得标杆影长 \( 1.2m \)，同时测得树影长 \( 6m \)。请你帮他设计一个方案并计算树高。
10. （探究）当物体（高度h>0）无限远离投影中心（即 \( d \to \infty \)）时，其影子长度 \( s \) 会趋近于多少？试着从公式和物理意义上解释。

第三关：生活应用（5道）

1. 绘画透视：画家在画布上绘制一条向远方延伸的铁路，铁轨是平行的，但在画中会相交于一点（消失点）。这与中心投影的什么原理一致？
2. 电影放映：电影放映机（投影中心）将胶片（物体）上的图像投射到银幕（投影面）上。如果放映机离银幕太近，图像会怎样？这对应了中心投影的什么规律？
3. 卫星成像：某些遥感卫星通过一个传感器（近似为投影中心）对地面拍照。山区的一张照片中，山坡上的公路看起来比平地上的短。请从中心投影的角度简述原因。
4. 建筑采光分析：一栋楼高 \( 30m \)，计划在其正南方 \( 20m \) 处建一个高 \( H \) 米的广告牌。为了保证冬季最低太阳角（平行光）下北面一楼仍能照到阳光，是中心投影问题吗？如果不是，它与中心投影分析（比如路灯）的关键区别是什么？
5. 3D图形学：在计算机渲染3D场景到2D屏幕时，常用“透视投影摄像机”。请描述这种摄像机模型与“路灯模型”的相似之处（思考：摄像机镜头、物体、屏幕分别对应什么？）。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 解：由 \( \frac{8}{1.5} = \frac{d+1}{1} \)，得 \( d+1 = \frac{16}{3} \)，\( d = \frac{13}{3} \approx 4.33 \) 米。
2. 短，长。
3. 解：类比路灯模型，\( H=10, h=2, d=4 \)。\( s = \frac{2 \times 4}{10 - 2} = \frac{8}{8} = 1 \) 米。
4. 错误。太阳光近似为平行光，是平行投影。
5. （示意图应显示一个点光源，一条光线经过小球顶部射向地面，一条经过底部，地面上的影子是一个区域，通常为椭圆或圆）
6. 影子会变短。由 \( s = \frac{h \cdot d}{H - h} \)，\( H \) 增大，分母增大，\( s \) 减小。
7. \( d = s \cdot (\frac{H}{h} - 1) = \frac{s(H - h)}{h} \)。
8. A， B， D。如果箱子侧面不平行于投影面，投影可能是六边形；如果放置得当，影子可以是长方形、梯形或平行四边形。
9. 相似且平行（或重合），且长度比等于投影中心到该线段所在平面与投影面距离的比值（在特定条件下）。更一般地说，其投影可能放大、缩小或等大，但线段本身平行于像。
10. 物体，投影面。

第二关：中考挑战

1. 解：设路灯高为 \( H \)。\( \triangle OAB \sim \triangle OCB \)？不，应为 \( \triangle OAB \) 与地面上大三角形相似。正确相似关系：\( \triangle O \text{(灯顶)}AB \) 与 \( \triangle O \text{(灯顶)}CB \)。即 \( \frac{H}{2} = \frac{4+3}{3} = \frac{7}{3} \)，所以 \( H = \frac{14}{3} \approx 4.67 \) 米。
2. 解：因为AB平行于投影面π，所以其中心投影A‘B’与AB平行且成比例。比例系数为 \( \frac{\text{像距}}{\text{物距}} \)。O到AB所在直线的距离？更简单：设O在π上的垂足为O‘。过O作OH⊥AB于H（在AB所在平面内）。则 \( \frac{A'B'}{AB} = \frac{OO‘的距离}{O到AB所在平面的距离} \)？标准结论：线段平行于投影面时，投影长度 \( l’ = l \cdot \frac{D}{d} \)，其中 \( D \) 是投影中心到投影面的距离，\( d \) 是投影中心到线段所在平面的距离。本题中AB在平面π上，所以 \( d = 0 \)？不对，AB在平面π内，所以AB所在平面就是π，因此 \( d = OO' = 12cm \)，\( D \) 是O到π的距离？就是12cm。所以 \( \frac{l'}{5} = \frac{12}{12} = 1 \)，得 \( l' = 5cm \)。距离8cm是干扰项。答案为5cm。
3. 解：设小夏距离路灯 \( x \) 米，影子长 \( y \) 米。对小华：\( \frac{H}{1.7} = \frac{9 + (y+0.5)}{y+0.5} \)。对小夏：\( \frac{H}{1.5} = \frac{x + y}{y} \)。两个方程三个未知数，需要联立消去 \( H \) 和 \( y \)。由两式分别得 \( H = 1.7 \cdot \frac{9+y+0.5}{y+0.5} = 1.7 \cdot \frac{9.5+y}{y+0.5} \)， \( H = 1.5 \cdot \frac{x+y}{y} \)。两式相等，且无法直接解。需要利用“同一盏灯H相同”再列一个关于小夏的关系？题目可能默认影子长度差已知，但没给H。观察，两式相除：\( \frac{1.7 \cdot \frac{9.5+y}{y+0.5}}{1.5 \cdot \frac{x+y}{y}} = 1 \)。仍有两个未知数。可能题目意图是设H，然后用两个方程解H和x。但缺一个条件。原题可能为“小华的影子比小夏的影子长0.5m，且小华影子长2m”之类。此处假定一个常见条件：已知小华影子长2米。则：对小华：\( \frac{H}{1.7} = \frac{9+2}{2} = \frac{11}{2} \)，得 \( H = 9.35 \)。对小夏，设其影子长 \( y \)，则 \( \frac{9.35}{1.5} = \frac{x+y}{y} \)，且 \( y = 2 - 0.5 = 1.5 \) (因为小华影子比小夏长0.5)。代入：\( \frac{9.35}{1.5} \approx 6.233 = \frac{x+1.5}{1.5} \)，解得 \( x+1.5 = 9.35 \)，\( x = 7.85 \) 米。若无额外条件，此题有歧义。解析旨在展示方法。
4. D.抛物线。圆的中心投影可以是圆（当圆平行于投影面）、椭圆（一般情况）、或一条线段（当圆所在平面包含投影中心）。通常不会得到抛物线，那是圆锥曲线与平行投影的关系。
5. （略，需配图详细计算，核心是分解为两个竖直杆的影子计算再组合）
6. \( H = h \cdot ( \frac{d}{s} + 1 ) = \frac{h(d+s)}{s} \)。
7. 它们的影子长度之比等于木棍自身长度之比（因为 \( \frac{s_1}{s_2} = \frac{h_1 \cdot d_1 / (H-h_1)}{h_2 \cdot d_2 / (H-h_2)} \)，如果两根木棍到灯的距离相同且高度远小于H，则近似等于 \( \frac{h_1}{h_2} \)；如果它们竖直且底端在同一平面上，则精确等于 \( \frac{h_1}{h_2} \)）。
8. （提示：利用“平行线的投影要么仍平行，要么相交于一点（消失点）”这一中心投影性质进行反证。）
9. 解：方案：将便携灯视为投影中心（高2m），标杆和树都是物体。但注意：灯是点光源，但高度已知。对于标杆：\( \frac{2}{1} = \frac{(灯到标杆脚距离) + 1.2}{1.2} \)，可求出灯到标杆脚距离 \( d_1 \)。得 \( 2/1 = (d_1+1.2)/1.2 \Rightarrow 2.4 = d_1+1.2 \Rightarrow d_1 = 1.2m \)。对于树：设树高为 \( T \)，灯到树脚距离为 \( d_2 \)。有 \( \frac{2}{T} = \frac{d_2 + 6}{6} \)。但 \( d_2 \) 未知！如果灯和标杆、树在一条直线上，且测量了灯到树的距离，则可算。否则，需要知道灯、标杆、树的相对位置。常见做法：将灯、标杆、树安排在一条直线上，测量灯到标杆脚和树脚的距离。假设树和标杆在灯的同侧，且测出灯到树脚距离 \( d_2 = 10m \)。则代入：\( \frac{2}{T} = \frac{10+6}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \)，所以 \( T = 2 \times \frac{3}{8} = 0.75m \)，这显然不对，树不可能比灯矮。问题出在：便携灯高2m，是投影中心的高度，但“灯到脚的距离”是斜线距离吗？不，在我们的路灯模型中，“距离d”是水平距离。所以必须确保灯是竖直放置的，并且测量的是水平距离。所以，更严谨的方案是：灯竖直，测量灯杆底部到标杆底部的水平距离 \( d_1 \)，以及灯杆底部到树底的水平距离 \( d_2 \)。由标杆数据：\( \frac{2}{1} = \frac{d_1 + 1.2}{1.2} \)，得 \( d_1 = 1.2m \)。若测得 \( d_2 = 8m \)，设树高 \( T \)，则 \( \frac{2}{T} = \frac{8+6}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \)，得 \( T = \frac{6}{7} \approx 0.86m \)，仍不对。因为灯高2m相对树来说太矮，公式 \( s = \frac{h \cdot d}{H-h} \) 要求 \( H > h \)，即灯要比物体高。所以此方案用于测树高不现实，因为树通常比灯高。应选用太阳光（平行投影）测影长。本题旨在引发对模型适用条件的思考。
10. 解：由公式 \( s = \frac{h \cdot d}{H - h} \)，当 \( d \to \infty \) 时，分子无穷大，分母为固定值 \( H-h >0 \)，所以 \( s \to \infty \)。物理意义：物体越远，光线看起来越接近平行于地面，影子就会被拉得无限长。当然，现实中由于光源有一定大小和亮度，无限远后影子会模糊消失。

第三关：生活应用

1. 这与中心投影中“平行于投影面的平行线，其投影仍平行；而不平行于投影面的平行线，其投影会相交于一点（即消失点，对应投影中心在投影面上的垂足方向）”原理一致。铁路轨枕是平行的，但不平行于画布（投影面），所以投影延长线交于一点。
2. 如果放映机离银幕太近，图像会变小且亮度提高。这对应了中心投影中“投影中心离投影面越近，像的尺寸越小”的规律（在物体大小和位置不变的情况下）。
3. 从中心投影的角度，卫星传感器相当于投影中心。山坡上的公路相对于传感器是“倾斜”的，其“等效物距”和“等效物高”关系与平地上不同。简单说，山坡使公路部分路段在光线方向上被“压缩”了，因此在影像上显得更短。
4. 这不是中心投影问题，因为太阳光是平行光。这是平行投影问题。关键区别在于：中心投影的影子长度与物体到光源的距离有关；而平行投影（如日影）的影子长度只取决于物体高度和光线角度，与距离无关。计算时需用三角函数：广告牌高度 \( H \) 需满足 \( \tan(\text{太阳高度角}) > \frac{30 - H}{20} \) 等条件。
5. 高度相似：摄像机镜头相当于投影中心（路灯）；3D场景中的物体相当于路灯下的物体；2D成像屏幕（或胶片）相当于投影面（地面）。渲染过程就是将三维物体上的点，沿着与镜头连线的方向（投影线），投影到二维屏幕上的过程，遵循中心投影的几何规律，从而产生“近大远小”的透视效果。