中位数怎么求？先排后找口诀及易错题型深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：中位数 原理

• 核心概念：你好呀！我是阿星。想象一下，中位数就像一个班级里“最中间”的那个同学。怎么找到他呢？记住我的八字真言：“先排后找”！
  首先，你必须让所有同学（数据）按身高（数值）“从小到大”乖乖排好队。队排好了，关键来了：“奇数个找中间，偶数个找中间两个的平均数”。如果队伍人数是奇数，比如7个人，正中间的第4个同学就是“中位数”。如果队伍是偶数，比如8个人，正中间其实是第4和第5两位同学，那我们就取这两位同学身高的“平均数”，作为这个队伍的代表——中位数。
• 计算秘籍：
  1. 排序：将数据按从小到大排列：\( x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n \)。
  2. 定位：
     • 若数据个数 \( n \) 为奇数：中位数位置 = \( \frac{n+1}{2} \)。即 \( M = x_{\frac{n+1}{2}} \)。
     • 若数据个数 \( n \) 为偶数：中位数位置为 \( \frac{n}{2} \) 和 \( \frac{n}{2} + 1 \)。即 \( M = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2} \)。
• 阿星口诀：“排序是前提，奇偶要分清。奇数直接取中间，偶数均分中间俩。”

📐 图形解析

中位数是“位置”居中的数，我们可以用一条数轴或一组方块来直观感受它的“居中”特性：

上图清晰地展示了“先排后找”的规则。第一排（奇数个），红色方块是正中间的数。第二排（偶数个），两个橙色方块是中间的两个数，中位数是它们的平均值。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：不排序，直接看数据“感觉”哪个在中间。
  ✅ 正解：中位数是位置概念，必须严格按数值大小排序后才能确定中间位置。未经排序的“中间”数毫无意义。
• ❌ 错误2：数据个数为偶数时，只取中间两个数中的一个作为答案。
  ✅ 正解：偶数个数据的中位数是中间两个数的算术平均数。必须计算 \( \frac{\text{中间两数之和}}{2} \)，它代表了整个数据集的“中间位置”水平。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 数据 \( 2, 5, 3, 4, 1 \) 的中位数是 \_\_\_\_\_。
2. 数据 \( 9, 6, 8, 7 \) 的中位数是 \_\_\_\_\_。
3. 一组数据 \( 12, 15, 18, 20, 22 \) 的中位数是 \_\_\_\_\_。
4. 一组数据 \( 4.1, 3.9, 4.0, 4.2 \) 的中位数是 \_\_\_\_\_。
5. 若数据 \( 10, x, 12 \) 的中位数是 \( 11 \)，则 \( x = \) \_\_\_\_\_。
6. 已知数据 \( 8, 3, 10, m, 6 \) 的中位数是 \( 7 \)，则 \( m \) 的值可能是 \_\_\_\_\_。
7. 五名学生体重（kg）为 \( 41, 38, 43, 40, 39 \)，求中位数。
8. 六本书的价格（元）为 \( 25, 30, 35, 40, 20, 28 \)，求中位数。
9. 把数据 \( 100, 200, 300, 400 \) 从小到大排列，其中位数是 \_\_\_\_\_。
10. 数据 \( -1, 0, 2, -2, 1 \) 的中位数是 \_\_\_\_\_。

第二关：中考挑战（10道）

1. （改编自中考题）在一次演讲比赛中，某位选手的得分分别为：\( 85, 88, 90, 86, x, 92, 87 \)。若去掉一个最高分和一个最低分后的中位数是 \( 88 \)，则 \( x \) 的值可能是 \_\_\_\_\_。
2. 一组数据由 \( 5 \) 个正整数组成，其中位数是 \( 3 \)，唯一众数是 \( 4 \)，则这 \( 5 \) 个数的和最大是 \_\_\_\_\_。
3. 已知一组数据 \( 1, 2, 3, a, b \) 的平均数是 \( 4 \)，中位数也是 \( 4 \)，则 \( ab = \) \_\_\_\_\_。
4. （统计图表题）一个频数分布直方图显示，第1组到第5组的频数分别为 \( 2, 5, 8, 5, 2 \)，则这组数据的中位数落在第 \_\_\_\_\_ 组。
5. 数据 \( a, 4, 2, 5, 3 \) 的平均数是 \( 4 \)，则这组数据的中位数是 \_\_\_\_\_。
6. 若五个数 \( 2, 3, 5, 8, x \) 的中位数与平均数相等，则 \( x = \) \_\_\_\_\_。
7. 一组数据 \( x_1, x_2, ... x_n \) 的方差是 \( 2 \)，则数据 \( 2x_1+1, 2x_2+1, ... 2x_n+1 \) 的中位数会如何变化？（描述性回答）
8. 在 \( n \) 个数据的频率分布表中，已知前 \( 3 \) 组的频率之和为 \( 0.5 \)，第 \( 4 \) 组的频率为 \( 0.3 \)，则这组数据的中位数 \_\_\_\_\_。
   A. 在第3组 B. 在第4组 C. 在第3或第4组 D. 无法确定
9. 数据 \( -2, -1, 0, 1, 2, x \) 的中位数是 \( 0.5 \)，则 \( x = \) \_\_\_\_\_。
10. 三角形的三条高长度分别为 \( 6, 8, h \)，若 \( h \) 是这三条高的中位数，则 \( h \) 的取值范围是 \_\_\_\_\_。

第三关：生活应用（5道）

1. （薪酬分析）某小微公司员工月薪（元）如下：老板 \( 50000 \)，经理 \( 15000 \)，员工A \( 8000 \)，员工B \( 7500 \)，员工C \( 7000 \)。用哪个统计量（平均数/中位数）描述该公司员工月薪的“一般水平”更合理？为什么？并计算出这个统计量的值。
2. （气温统计）某地连续 \( 7 \) 天的日最高气温（℃）记录为：\( 22, 24, 25, 26, 23, x, 27 \)。已知这组数据的中位数是 \( 25℃ \)，且 \( x \) 是整数，求这 \( 7 \) 天最高气温的平均值。
3. （工程质量）测量某精密零件的直径（mm），得到 \( 5 \) 个数据：\( 10.02, 10.01, 9.98, x, 10.00 \)。若中位数与平均数都是 \( 10.00 \)，求 \( x \) 的值。
4. （运动科学）某运动员进行 \( 10 \) 次投篮训练，命中次数分别为 \( 8, 9, 7, 10, 6, 9, 8, x, 9, 8 \)。若这组数据的中位数是 \( 8.5 \)，则 \( x \) 的值为 \_\_\_\_\_，并解释中位数在此场景下的意义。
5. （城市规划）一条街道上 \( 9 \) 户家庭的年收入（万元）排序后为：\( 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 100, 120 \)。政府补助将发放给收入低于“中位数”的家庭。请问有多少户家庭能获得补助？这个政策用中位数作为标准比用平均数好在哪里？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身
1. 排序 \( 1,2,3,4,5 \)，\( n=5 \)， \( M = x_3 = 3 \)。
2. 排序 \( 6,7,8,9 \)，\( n=4 \)， \( M = \frac{7+8}{2} = 7.5 \)。
3. 已排序， \( n=5 \)， \( M = 18 \)。
4. 排序 \( 3.9, 4.0, 4.1, 4.2 \)，\( n=4 \)， \( M = \frac{4.0+4.1}{2} = 4.05 \)。
5. 三数排序，中位数是 \( 11 \)，则 \( x \) 必在中间，故 \( x=11 \)。
6. 排序后为 \( 3, 6, m, 8, 10 \) 或 \( 3, m, 6, 8, 10 \) 等，中位数 \( 7 \) 是第三个数，所以 \( m \) 必须排第三。可能情况：若 \( 6 \leq m \leq 8 \)，排序可能为 \( 3,6,m,8,10 \) 或 \( 3,6,7,8,10 \)（当 \( m=7 \)），此时中位数是 \( m \)，故 \( m=7 \)。若 \( m \leq 6 \)，排序为 \( 3,m,6,8,10 \)，中位数是 \( 6 \)，不符。若 \( m \geq 8 \)，排序为 \( 3,6,8,m,10 \)，中位数是 \( 8 \)，不符。综上， \( m=7 \)。
7. 排序 \( 38,39,40,41,43 \)， \( M = 40 \)。
8. 排序 \( 20,25,28,30,35,40 \)， \( M = \frac{28+30}{2} = 29 \)。
9. 已排序， \( M = \frac{200+300}{2} = 250 \)。
10. 排序 \( -2,-1,0,1,2 \)， \( M = 0 \)。

第二关：中考挑战
1. 原始数据排序后，去掉最高分 \( 92 \) 和最低分（可能是 \( 85 \) 或 \( x \) ），剩下5个数。这5个数的中位数是 \( 88 \)，则 \( 88 \) 是剩下5个数排序后的第三个数。分类讨论 \( x \) 的大小，可推知 \( x \) 可能为 \( 88 \) 或 \( 89 \) 或 \( 90 \) 等，使得去掉极值后 \( 88 \) 位于中间。详细过程略。
2. 5个正整数，中位数是 \( 3 \)，则排序后第三个数是 \( 3 \)。唯一众数是 \( 4 \)，即 \( 4 \) 出现次数最多。要使得和最大，则构造：\( 1, 2, 3, 4, 4 \)，和为 \( 14 \)。
3. 平均数 \( \frac{1+2+3+a+b}{5}=4 \)，得 \( a+b=14 \)。中位数是 \( 4 \)，五数排序，第三个数是 \( 4 \)。可能情况：① \( a \leq 4 \leq b \)，且 \( a, b \) 不全为 \( 4 \)；② \( a=4, b=10 \) 或 \( a=10, b=4 \) 等。由 \( a+b=14 \)，且第三位为 \( 4 \)，不妨设 \( a \leq b \)，则排序可能为 \( 1,2,4,a,b \)（若 \( a>4 \) 则不行）或 \( 1,2,3,4,b \)（此时中位数是 \( 3 \) 不符）... 经尝试，满足条件的一组解为 \( a=4, b=10 \) 或 \( a=10, b=4 \)，则 \( ab=40 \)。
4. 总人数 \( 2+5+8+5+2=22 \)，中位数是第11和12个数据的平均数。前两组频数和为 \( 7 \)，前三组频数和为 \( 15 \)，故第11和12个数据都在第三组（频数为8），所以中位数落在第3组。
5. 由平均数 \( \frac{a+4+2+5+3}{5}=4 \)，得 \( a=6 \)。排序 \( 2,3,4,5,6 \)，中位数是 \( 4 \)。
6. 平均数 \( \frac{2+3+5+8+x}{5} = \frac{18+x}{5} \)。五数排序，中位数是第三个数。讨论：若 \( x \leq 5 \)，排序后中位数可能是 \( 3, x, 5 \) 等，令其等于平均数，解方程。若 \( x \geq 5 \)，中位数是 \( 5 \)，令 \( 5 = \frac{18+x}{5} \)，解得 \( x=7 \)。验证排序 \( 2,3,5,7,8 \)，中位数是 \( 5 \)，符合。
7. 原数据中每个数乘以2再加1，排序顺序不变，因此新数据的中位数等于原数据中位数的 \( 2 \) 倍再加 \( 1 \)。
8. 前3组频率和 \( 0.5 \)，即第50百分位数在第三组末或第四组初。第4组频率 \( 0.3 \)，所以中位数（第50百分位数）一定落在第四组。选B。
9. 六个数，中位数是中间两个数的平均。排序后，中间两个位置是第三和第四个数。已知数据有 \( -2,-1,0,1,2 \)，加入 \( x \) 后排序。讨论 \( x \) 的位置，若 \( x \) 在中间（例如 \( x=0 \) 或 \( 1 \) 等），令中间两数平均为 \( 0.5 \)，可解得 \( x=1 \)（排序 \( -2,-1,0,1,1,2 \)，中间两数为 \( 0,1 \)，平均 \( 0.5 \)）。
10. 设三高为 \( 6,8,h \)，由面积公式，三边与高反比。但此处仅考虑数值。若 \( h \) 是中位数，则排序后 \( h \) 在中间。可能顺序：\( 6, h, 8 \) 或 \( 8, h, 6 \)（数值上 \( 6 < 8 \)，所以只可能是 \( 6, h, 8 \)）。故 \( 6 \leq h \leq 8 \)。还需考虑三角形存在性对高的约束（面积相等），但数值上 \( h \) 可以等于 \( 6 \) 或 \( 8 \)。故范围 \( 6 \leq h \leq 8 \)。

第三关：生活应用
1. 用中位数更合理，因为老板的月薪 \( 50000 \) 远高于其他人，是一个极端高值，会拉高平均数，使得平均数（约 \( 15500 \)）不能反映大多数员工（\( 7000-8000 \)）的收入水平。中位数不受极端值影响。排序：\( 7000, 7500, 8000, 15000, 50000 \)，中位数 \( M = 8000 \)（元），这个值更能代表员工收入的“一般水平”。
2. 排序数据， \( n=7 \)，中位数是第四个数 \( 25 \)。讨论 \( x \) 的位置，可能为第四位或小于 \( 25 \) 或大于 \( 25 \)，但要保证 \( 25 \) 是第四位。可得 \( x \) 必须 \( \geq 25 \)，且 \( 25 \) 排序后能在第四。例如原始排序可能为 \( 22,23,24,25,26,27,x \)（当 \( x \geq 27 \)）或 \( 22,23,24,25,26,x,27 \)（当 \( 25 \leq x \leq 26 \)）等。因为 \( x \) 是整数，平均值的计算需要分情况，但结果唯一。经计算，平均值为 \( 25 \)。
3. 排序数据， \( n=5 \)，中位数是第三个数。平均数 \( =10.00 \)，总和为 \( 50.00 \)，故 \( 10.02+10.01+9.98+x+10.00=50.00 \)，解得 \( x=9.99 \)。排序：\( 9.98, 9.99, 10.00, 10.01, 10.02 \)，中位数 \( 10.00 \)，符合。
4. 数据共10个，中位数是第5和第6个数的平均。现有数据（除 \( x \) 外）排序：\( 6,7,8,8,8,9,9,9,10 \)，加入 \( x \)。令第5和第6个数平均为 \( 8.5 \)，则它们一个是 \( 8 \)，一个是 \( 9 \)。因此，排序后第5位是 \( 8 \)，第6位是 \( 9 \)。这就要求 \( x \) 不能大于 \( 8 \) 太多而挤掉第5位的 \( 8 \)，也不能小于 \( 8 \) 太多而挤掉第6位的 \( 9 \)。分析可得 \( x = 8 \) 或 \( x = 9 \)。中位数意义：代表了该运动员投篮命中次数的“中间水平”，比平均数更能抵抗某一场极端失常或超常的发挥。
5. 排序已给出，\( n=9 \)，中位数是第5个数 \( 25 \)（万元）。收入低于 \( 25 \) 万的家庭有前4户，故有 \( 4 \) 户能获得补助。用中位数比平均数好，因为后两户收入极高（\( 100 \) 万和 \( 120 \) 万）会大幅拉高平均数（约 \( 42 \) 万），使得大多数家庭（收入在 \( 15-30 \) 万）都“低于平均水平”，这不符合补助政策想帮助“收入在本地相对较低”家庭的初衷。中位数 \( 25 \) 万更准确地反映了收入的中间位置，不受富豪家庭影响。