线段垂直平分线判定定理：怎么证明点在垂直平分线上？深度解析与易错题攻克专项练习题库

💡 阿星精讲：线段垂直平分线判定 原理

• 核心概念：阿星说：这就像一种“逆向定位系统”！我们知道，线段的垂直平分线（中垂线）上的每一个点，到线段两端的距离都相等。现在，这个判定定理告诉你：如果你发现一个点，它到线段A、B两端的距离居然相等，那这个点就一定“躲”在这条中垂线上，没跑！这就好比你在一个广场上，测量到自己到两个固定灯塔的距离一模一样，那么你的位置一定就在这两个灯塔连线的“中垂通道”上。它完美的逆向运用了垂直平分线的性质。
• 计算秘籍：
  1. 已知：线段 \( AB \)，点 \( P \)，且 \( PA = PB \)。
  2. 目标：证明点 \( P \) 在线段 \( AB \) 的垂直平分线上。
  3. 思路（坐标法）：
     • 设 \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( P(x_0, y_0) \)。
     • 根据 \( PA = PB \)，得 \( \sqrt{(x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2} = \sqrt{(x_0 - x_2)^2 + (y_0 - y_2)^2} \)。
     • 两边平方并展开化简：\( (x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2 = (x_0 - x_2)^2 + (y_0 - y_2)^2 \)
     • 最终可得到一条直线方程，这正是线段 \( AB \) 的垂直平分线方程。
• 阿星口诀：距离等，必在中垂线；想定位，两边测一遍。

📐 图形解析

定理：若点 \( P \) 满足 \( PA = PB \)，则点 \( P \) 在线段 \( AB \) 的垂直平分线 \( l \) 上。

如图所示，点 \( P \) 到 \( A \) 和 \( B \) 的距离相等（蓝色线段），因此它必然位于那条灰色的虚线 \( l \)（即 \( AB \) 的垂直平分线）上。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：把判定定理和性质定理搞混。认为“在线段垂直平分线上”是条件，“到两端距离相等”是结论。
  ✅ 正解：判定定理是“到两端距离相等”→“在垂直平分线上”；性质定理则相反：“在垂直平分线上”→“到两端距离相等”。务必分清“因”和“果”。
• ❌ 错误2：只知道 \( PA = PB \)，就认为点 \( P \) 是 \( AB \) 的中点。
  ✅ 正解：点 \( P \) 到 \( A \)、\( B \) 距离相等，只能说明它在 \( AB \) 的中垂线上，并不一定是 \( AB \) 的中点。中点必须同时满足“在 \( AB \) 上”和“到 \( A \)、\( B \) 距离相等”两个条件。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 点 \( P \) 到点 \( A(0,0) \) 和点 \( B(4,0) \) 的距离相等，点 \( P \) 的横坐标 \( x = \) ？
2. 判断题：到一条线段两个端点距离相等的点有无数个。（ ）
3. 如图，\( AC = BC \)，\( AD = BD \)，请问点 \( C \) 和点 \( D \) 都在线段 ______ 的垂直平分线上。
   
4. 已知点 \( M \) 在 \( \triangle ABC \) 的边 \( AB \) 的垂直平分线上，那么一定有 \( MA = \) ______ 。
5. 若点 \( P \) 满足 \( PA = PB \)，且 \( P \) 在线段 \( AB \) 上，则点 \( P \) 是 \( AB \) 的 ______。
6. 坐标平面内，到点 \( (1,1) \) 和 \( (1,5) \) 距离相等的点组成的图形是一条直线，这条直线的方程是 ______。
7. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB = AC = 5 \)，\( BC = 6 \)，则 \( BC \) 边上的高 \( AD \) 所在直线是 \( BC \) 的 ______ 线。
8. 判断题：若直线 \( l \) 是线段 \( AB \) 的垂直平分线，点 \( C \) 在 \( l \) 上，则 \( CA = CB \)。（ ）
9. 已知 \( MN \) 是线段 \( AB \) 的垂直平分线，点 \( P \) 在 \( MN \) 上，如果 \( AB=10 \)，\( PA=7 \)，则 \( PB= \) ______ 。
10. 简答：请简述“线段垂直平分线的性质定理”和“判定定理”的区别与联系。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题改编) 如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^\circ \)，\( \angle B=30^\circ \)，\( AB \) 的垂直平分线交 \( BC \) 于点 \( D \)，交 \( AB \) 于点 \( E \)，\( BD=6 \)，则 \( AC \) 的长为 ______。
2. 已知点 \( A(a, 1) \) 与点 \( B(5, b) \) 关于 \( x \) 轴对称，则线段 \( AB \) 的垂直平分线的方程是 ______。
3. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=AC \)，\( \angle A=40^\circ \)，\( AB \) 的垂直平分线交 \( AC \) 于点 \( D \)，则 \( \angle DBC = \) ______ 度。
4. 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点（外心）。
5. 坐标平面内，已知点 \( A(-2,1) \)，\( B(4,3) \)，在 \( y \) 轴上求一点 \( P \)，使得 \( PA = PB \)，并写出点 \( P \) 的坐标。
6. 如图，在四边形 \( ABCD \) 中，\( AB=AD \)，\( CB=CD \)。求证：\( AC \) 是线段 \( BD \) 的垂直平分线。
7. 若点 \( P(2-a, 3a+6) \) 到两坐标轴的距离相等，且点 \( P \) 在第二象限，求点 \( P \) 关于线段 \( OA \)（其中 \( O \) 为原点，\( A(6,0) \)）的垂直平分线的对称点坐标。
8. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB \) 的垂直平分线交 \( BC \) 于点 \( M \)，\( AC \) 的垂直平分线交 \( BC \) 于点 \( N \)。若 \( BC=12 \)，\( \angle BAC=100^\circ \)，求 \( \triangle AMN \) 的周长。
9. 已知抛物线 \( y = x^2 - 2x - 3 \) 与 \( x \) 轴交于 \( A \)、\( B \) 两点（A在左），顶点为 \( C \)。求证：点 \( C \) 在线段 \( AB \) 的垂直平分线上。
10. 操作与探究：如何在仅用无刻度直尺的情况下，利用垂直平分线的判定原理，找到一个残缺圆形工件的圆心？

第三关：生活应用（5道）

1. （测量定位）在野外，你只有一把足够长的皮尺。如何找到一条小河两岸两个固定点 \( A \)、\( B \) 连线的中点？（请描述你的方法及其数学原理）
2. （建筑选址）某社区计划在一条笔直的主路 \( l \) 旁建立一个公园，要求公园到两个新建小区 \( M \) 和 \( N \) 的距离相等。请说明公园可能的选址位置构成什么图形，并如何利用地图坐标进行精确选址。
3. （网络覆盖）一个无线基站需要为位于 \( A \) 地和 \( B \) 地的两个工作站提供信号，为了公平和节省功率，希望基站到两地的距离相等。若将 \( A \)、\( B \) 两地视为平面上的两点，问基站可以安装的位置区域是什么？
4. （体育竞技）在足球训练中，教练在地上标记了三个点 \( A \)、\( B \)、\( C \)，要求球员找到一个位置 \( P \)，使得 \( P \) 到 \( A \) 和 \( B \) 的距离相等，同时 \( P \) 到 \( B \) 和 \( C \) 的距离也相等。请问这样的点 \( P \) 一定存在吗？如果存在，它满足什么条件？
5. （航海规划）一艘船从港口 \( O \) 出发，计划航行到位于不同位置的两个灯塔 \( L_1 \) 和 \( L_2 \) 连线的中垂线上的某个点进行科学观测。请建立坐标系，并描述这条航行路线的数学表达式（假设 \( O \)、\( L_1 \)、\( L_2 \) 坐标已知）。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关 基础热身 解析：

1. \( x = 2 \)。（设 \( P(x, y) \)，由 \( PA=PB \) 得 \( \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2} = \sqrt{(x-4)^2+(y-0)^2} \)，平方化简得 \( x^2 = (x-4)^2 \)，解得 \( x=2 \)。）
2. √。所有到 \( A \)、\( B \) 距离相等的点构成了 \( AB \) 的垂直平分线，这是一条直线，上有无数个点。
3. \( AB \)。因为 \( AC=BC \)，所以点 \( C \) 在 \( AB \) 的中垂线上；\( AD=BD \)，所以点 \( D \) 也在 \( AB \) 的中垂线上。
4. \( MB \)。性质定理的直接应用。
5. 中点。
6. \( y = 3 \)。两点横坐标相同，其中垂线是平行于x轴的直线，纵坐标为 \( (1+5)/2 = 3 \)。
7. 垂直平分线。等腰三角形底边上的高也是底边的中线。
8. √。这是垂直平分线的性质定理。
9. \( 7 \)。点 \( P \) 在 \( AB \) 的垂直平分线上，所以 \( PB = PA = 7 \)。
10. 区别：性质定理是“点在线上一→距离相等”；判定定理是“距离相等→点在线上”。联系：它们互为逆定理，从正反两个角度描述了垂直平分线上点的特征。

（第二关、第三关解析略，篇幅所限，提供思路关键词）

第二关 关键词提示：1.利用 \( 30^\circ \) 角性质和 \( DE \) 是中垂线得 \( AD=BD=6 \)，再解直角三角形。2.关于x轴对称则 \( a=5, b=-1 \)，中垂线即 \( x= \frac{a+5}{2} \)。3.连接 \( BD \)，利用等腰三角形角和垂直平分线性质计算。4.先作两条边的中垂线交于一点 \( O \)，再证 \( OA=OB=OC \)，用判定定理证 \( O \) 在第三条边中垂线上。5.设 \( P(0,y) \)，利用 \( PA^2=PB^2 \) 列方程。6.证明 \( \triangle ABC \cong \triangle ADC \) (SSS) 得角等，再证 \( \triangle ABE \cong \triangle ADE \) (SAS) 得 \( BE=ED \) 且 \( AE \perp BD \)。7.先由到两轴距离相等且第二象限求 \( P(-6,6) \)，再求 \( OA \) 中垂线方程，最后求对称点。8.利用中垂线性质得 \( AM=BM, AN=CN \)，周长转化为 \( BC \)。9.求出 \( A(-1,0), B(3,0), C(1,-4) \)，验证 \( CA=CB \)。10.在圆弧上任意取三点，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心（原理：弦的垂直平分线必过圆心）。

第三关 关键词提示：1.分别以 \( A \)、\( B \) 为圆心，大于 \( AB/2 \) 的相同长度为半径画弧（用皮尺固定长度找点），在两岸各得两弧交点，连接交点，连线与 \( AB \) 的交点即为中点（作垂直平分线的尺规作图原理）。2.选址位置是线段 \( MN \) 的垂直平分线。在地图上建立坐标系，求出 \( MN \) 中点坐标和中垂线方程。3.一条直线，即线段 \( AB \) 的垂直平分线。4.这样的点 \( P \) 需要同时满足在 \( AB \) 的中垂线和 \( BC \) 的中垂线上，即两条中垂线的交点。当且仅当 \( A \)、\( B \)、\( C \) 三点不共线时存在唯一解，该点是 \( \triangle ABC \) 的外心。5.设 \( L_1(x_1,y_1), L_2(x_2,y_2) \)，则观测点轨迹方程为 \( (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 \)，化简后是一条直线方程。船从 \( O \) 点出发，需沿到达该直线的航线行驶。