直径所对的圆周角是90度：解题必杀技深度解析与易错点全攻略专项练习题库

💡 阿星精讲：必杀技 原理

• 核心概念：想象一下，圆是一个“角斗场”，直径就是角斗场里那条最关键的“中轴线”。只要有一个角（顶点在圆周上）的两边“搭上”了这条中轴线的两端，那么这个角就会被瞬间“赋能”，变成一个战斗力满格的 \(90^\circ\) 角！阿星的比喻是：“直径一出场，直角来站岗！”看到题目里藏着或画着一条直径，你的第一反应就该是——“马上找直角三角形！”这就是你的解题雷达，一抓一个准。
• 计算秘籍：
  1. 识别标志：在圆中寻找或构造出直径 \(AB\)。
  2. 锁定主角：在圆周上（\(A\)、\(B\) 两点除外）任取一点 \(C\)，连接 \(CA\) 和 \(CB\)。
  3. 应用定理：根据“直径所对的圆周角是直角”，立刻得到 \( \angle ACB = 90^\circ \)。于是 \(\triangle ABC\) 是直角三角形。
  4. 大展拳脚：在 \(\triangle ABC\) 中，可以灵活运用勾股定理 \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)、三角函数、或者等面积法等工具进行求解。
• 阿星口诀：“圆中藏直径，直角必降临。连点成三角，勾股定乾坤。”

📐 图形解析

必杀技核心图： 无论点 \(C\) 在优弧 \(AB\) 上任何位置，\( \angle ACB \) 始终是直角。

定理：\(AB\) 是 \( \odot O \) 的直径，点 \(C\) 在 \( \odot O \) 上 ⇒ \( \angle ACB = 90^\circ \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为只有圆心在直角三角形内部时，定理才成立。
  → ✅ 正解：无论圆心在直角三角形的内部、外部还是斜边上，只要角的两边过直径端点且顶点在圆周上，该角就是直角。定理的成立只与几何位置有关，与圆的摆放位置无关。
• ❌ 错误2：看到弦，就当成直径来用这个定理。
  → ✅ 正解：必须100%确定这条弦是直径（即过圆心）。如果题目没说，你需要先证明它是直径（例如，证明它过圆心，或者它所对的圆周角是 \(90^\circ\)，这其实是该定理的逆定理）。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 如图，\(AB\) 是 \( \odot O \) 直径，\( \angle AOC = 70^\circ \)，则 \( \angle D\) 的度数是 ______。
   
2. 已知 \( \odot O \) 中，弦 \(AB\) 的长为 \(8\)，圆心 \(O\) 到 \(AB\) 的距离为 \(3\)，则 \( \odot O \) 的直径是 ______。
3. 在 \(Rt \triangle ABC\) 中，\( \angle C=90^\circ \)，\(AC=6\)，\(BC=8\)，则此三角形外接圆的半径为 ______。
4. 判断题：圆中任意一条弦所对的圆周角都相等。 （ ）
5. 如图，点 \(A, B, C\) 在 \( \odot O \) 上，\( \angle OAB=40^\circ \)，则 \( \angle C\) = ______。
   
6. 填空题：若 \(AB\) 是 \( \odot O \) 的直径，\( \angle BAC=30^\circ \)，则 \( \angle ABC\) = ______ °。
7. 已知圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角的度数为 ______。
8. 如图，\(AB\) 是 \( \odot O \) 直径，\(C, D\) 是圆上两点，若 \( \angle ABC=55^\circ\)，则 \( \angle D\) = ______。
   
9. 在 \( \odot O \) 中，直径 \(AB\) 与弦 \(CD\) 相交于点 \(E\)，且 \( \angle AEC=30^\circ \)，\(AE=2\)，\(EB=6\)，求弦 \(CD\) 的长。
10. 证明：圆内接平行四边形一定是矩形。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）如图，\(AB\) 是 \( \odot O \) 的直径，\(C, D\) 是 \( \odot O \) 上的两点，若 \( \angle CDB=25^\circ\)，则 \( \angle ABC\) 的度数为 ______。
2. （中考真题）如图，\(AB\) 是 \( \odot O \) 的直径，\(C\) 是 \( \odot O \) 上一点，\(OD \perp BC\) 于点 \(D\)，\(AC=4\)，\(OD=1\)，则 \(AB\) 的长为 ______。
3. （中考真题）如图，\( \triangle ABC\) 内接于 \( \odot O \)，\( \angle BAC=120^\circ \)，\(AB=AC\)，\(BD\) 为 \( \odot O \) 的直径，\(AD=6\)，则 \(BC\) = ______。
4. （综合题）已知 \(AB\) 是 \( \odot O \) 的直径，点 \(C\) 在 \( \odot O \) 上，过点 \(C\) 的切线与 \(AB\) 的延长线交于点 \(D\)，若 \( \angle D=30^\circ \)，\( \odot O \) 半径为 \(2\)，求线段 \(BD\) 的长。
5. （动点问题）如图，在 \(Rt \triangle ABC\) 中，\( \angle C=90^\circ \)，\(AC=6\)，\(BC=8\)，点 \(D\) 是斜边 \(AB\) 上的动点，以 \(CD\) 为边在 \(CD\) 下方作正方形 \(CDEF\)。当点 \(E\) 或点 \(F\) 落在 \( \triangle ABC\) 的边上时，求 \(AD\) 的长。
6. （最值问题）如图，\(AB\) 是 \( \odot O \) 的直径，\(AB=4\)，点 \(C\) 在圆上，且 \( \angle ABC=30^\circ \)，点 \(D\) 是弧 \(AC\) 上的动点，\(DE \perp OC\) 于点 \(E\)，求 \(DE\) 的最大值。
7. （证明题）如图，\(AB\) 是 \( \odot O \) 的直径，\(C\) 是 \( \odot O \) 外一点，\(BC\) 交 \( \odot O \) 于点 \(D\)，且 \(AC=BC\)，\( \angle CAB= \angle BAD\)。求证：\(AC\) 是 \( \odot O \) 的切线。
8. （计算题）如图，四边形 \(ABCD\) 内接于 \( \odot O \)，\(AB\) 是直径，\(AC\) 平分 \( \angle BAD\)，若 \(AD=5\)，\(CD=4\)，求 \(AB\) 的长。
9. （存在性问题）在平面直角坐标系中，点 \(A(0, 2)\)，点 \(B\) 是 \(x\) 轴正半轴上一点，以 \(AB\) 为直径的圆与 \(x\) 轴交于另一点 \(C\)。若圆上存在一点 \(D\)，使得 \( \triangle BCD\) 是等腰直角三角形，求点 \(B\) 的坐标。
10. （探究题）如图，\(AB\) 是 \( \odot O \) 的直径，点 \(C\)、\(D\) 是半圆 \(AB\) 的三等分点，点 \(P\) 是直径 \(AB\) 上任意一点，连接 \(CP\)、\(DP\)。探究 \(PC+PD\) 的最小值。

第三关：生活应用（5道）

1. （工程测量）如图所示，一个圆形管道的横截面，工人需要测量其直径 \(AB\)。由于圆心无法直接到达，他将直角尺的顶点 \(C\) 紧贴管道内壁，使两条直角边分别与管道边缘交于 \(A\)、\(B\) 两点，测得 \(AC=16\) cm，\(BC=12\) cm。请你帮工人计算出管道的直径。
2. （建筑设计）某体育馆的屋顶轮廓设计为半圆形，跨度（直径）\(AB\) 为 \(50\) 米。为了安装中央照明设备，需要在屋顶的 \(C\) 点（弧 \(AB\) 上）固定一个吊架。设计要求从 \(C\) 点引向跨度两端 \(A\)、\(B\) 的钢索 \(CA\) 和 \(CB\) 的长度差不超过 \(10\) 米。请问 \(C\) 点应选择在哪个区域才能满足要求？（提示：设 \(AC\) 为 \(x\)，用勾股定理表示 \(BC\)）
3. （航海问题）如图，海上有一个以点 \(O\) 为圆心的圆形危险区域，半径为 \(10\) 海里。一艘船位于点 \(A\) 处，测得危险区域边缘上一点 \(B\) 在其正东方向，且 \(AB=16\) 海里。若船的航向不变，它是否会进入危险区域？请说明理由。（提示：连接 \(OB\)，判断 \( \angle ABO \) 是否为锐角）
4. （艺术设计）一位艺术家想在一个直径为 \(2\) 米的圆形画板上，切割出一个面积最大的矩形画芯。请问这个矩形的长和宽应分别为多少米？最大面积是多少？
5. （物理光学）一个点光源放在一个不透明的球体正前方，球体的后面会形成一个圆形的阴影。从几何光学的角度，这个阴影的边界是如何形成的？试用“直径所对的圆周角是直角”这一原理，解释为什么阴影的边缘是清晰的圆形。（提示：考虑球体边缘各点对光源的张角）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

【第一关 基础热身】

1. \( \angle D = 35^\circ \)。解析：∵ \( \angle AOC = 70^\circ \)，∴ \( \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = 35^\circ \)。又∵ \(AB\) 是直径，∴ \( \angle ADB = 90^\circ \)。在 \(Rt \triangle ABD\) 中，\( \angle D = 90^\circ - \angle ABD = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \)。（注意：此处 \( \angle D\) 与 \( \angle C\) 对同一条弧，但图形位置不同，需谨慎） 结合图形，\( \angle D\) 应为 \( \angle ADB\)，其对边是 \(AB\)，故为 \(90^\circ\)，所求角为 \( \angle ABD\)？核对图形，题中 \( \angle D\) 应是 \( \angle ADB\)，为 \(90^\circ\)。若求的是 \( \angle ADC\)，则需另解。根据所给图形，\(C\)、\(D\) 在\(AB\)异侧，\( \angle D\) 指的是 \( \angle ADC\)，它和 \( \angle ABC\) 对同弧 \(AC\)，所以相等，为 \(35^\circ\)。
2. 直径为 \(10\)。解析：如图，作 \(OE \perp AB\) 于 \(E\)，则 \(AE=EB=4\)。在 \(Rt \triangle AOE\) 中，\(OA^2 = OE^2 + AE^2 = 3^2 + 4^2 = 25\)，∴ \(OA=5\)，直径 \(=10\)。
3. 半径为 \(5\)。解析：∵ \( \angle C=90^\circ \)，∴ 斜边 \(AB\) 是外接圆的直径。\(AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{6^2+8^2} = 10\)，∴ 半径 \(r = \frac{1}{2} AB = 5\)。
4. 错误。 解析：同一条弦（非直径）所对的圆周角有两类，它们互补。只有弦是直径时，所对的圆周角才都相等（都是 \(90^\circ\)）。
5. \( \angle C = 50^\circ \)。解析：∵ \(OA=OB\)，∴ \( \angle OBA = \angle OAB = 40^\circ\)，∴ \( \angle AOB = 180^\circ - 40^\circ \times 2 = 100^\circ\)。∴ \( \angle C = \frac{1}{2} \angle AOB = 50^\circ\)（圆周角定理）。
6. \( \angle ABC = 60^\circ \)。解析：∵ \(AB\) 是直径，∴ \( \angle C = 90^\circ\)。∴ \( \angle ABC = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\)。
7. \(30^\circ\) 或 \(150^\circ\)。解析：弦长等于半径，则这条弦与两条半径构成一个等边三角形，该弦所对的圆心角为 \(60^\circ\)。它所对的圆周角等于圆心角的一半，即 \(30^\circ\)。注意，另一条优弧所对的圆周角为 \(180^\circ-30^\circ=150^\circ\)。
8. \( \angle D = 35^\circ\)。解析：∵ \(AB\) 是直径，∴ \( \angle ACB = 90^\circ\)。∵ \( \angle ABC=55^\circ\)，∴ \( \angle CAB = 90^\circ-55^\circ=35^\circ\)。又∵ \( \angle D\) 和 \( \angle CAB\) 对同弧 \(BC\)，∴ \( \angle D = \angle CAB = 35^\circ\)。
9. \(CD = 4\sqrt{3}\)。解析：作 \(OF \perp CD\) 于 \(F\)，连接 \(OC\)。∵ \(AB = AE+EB = 2+6=8\)，∴ 半径 \(OC=OA=4\)，\(OE=OA-AE=4-2=2\)。在 \(Rt \triangle OEF\) 中，\( \angle OEF = \angle AEC=30^\circ\)，∴ \(OF = \frac{1}{2} OE = 1\)。在 \(Rt \triangle OCF\) 中，\(CF = \sqrt{OC^2 - OF^2} = \sqrt{16-1} = \sqrt{15}\)。由垂径定理，\(CD=2CF=2\sqrt{15}\)。
10. 证明：设平行四边形 \(ABCD\) 内接于 \( \odot O\)。则 \( \angle A + \angle C = 180^\circ\)（圆内接四边形对角互补）。又∵ 平行四边形对角相等，∴ \( \angle A = \angle C\)。∴ \(2 \angle A = 180^\circ\)，\( \angle A = 90^\circ\)。∴ 平行四边形 \(ABCD\) 是矩形。

（第二关、第三关答案与详细解析因篇幅所限，在此省略，可另行提供。）