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直接开平方法解题全攻略：从原理到应用，攻克一元二次方程专项练习题库

适用年级

初三

难度等级

⭐⭐⭐

资料格式

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最近更新

2025-12-21

💡 阿星精讲：直接开平方法 原理

  • 核心概念：想象一下，你面前有一个裹得严严实实的洋葱（方程），而它的核心是 \(x\)。直接开平方法，就是给洋葱“扒皮”的过程！这个洋葱穿着一件名叫“平方”的外套，长这样：\( (x+m)^2 = n \)。我们的任务，就是把这层平方外套（皮）扒掉，让 \(x\) 露出来。阿星提醒：扒皮要彻底，如果右边的 \(n\) 是个正数（\(n \ge 0\)），那么里面的 \(x+m\) 可能是正的，也可能是负的，所以一定要记得写上“土”号（±）！这就是方程有两个根的原因。
  • 计算秘籍：
    1. 审视方程：确认它是否已经穿上“平方外套”，即形如 \( (A)^2 = k \)，其中 \(A\) 是一个含 \(x\) 的式子，\(k \ge 0\)。
    2. 直接开方：对等式两边同时开平方，扒掉外套。得到 \( A = \pm\sqrt{k} \)。
    3. 求解变量：将 \(A\) 代表的式子（例如 \(x+m\)）代入，得到 \( x+m = \pm\sqrt{k} \)，然后解出 \(x\)。
  • 阿星口诀：平方外套是伪装，两边开方扒精光。右边非负是前提，正负成对莫相忘！

📐 图形解析

虽然直接开平方法是代数运算，但我们可以用“面积”来形象理解方程 \( (x+m)^2 = n \)。把它看作一个正方形的面积公式：

设正方形边长为 \(L\)，则面积 \(S = L^2\)。令 \(L = x+m\)，\(S = n\)，我们就得到了原方程。开平方 \(\sqrt{n}\) 的几何意义，就是求这个正方形的边长。

L = x+m L = x+m 面积 S = n 开平方 边长 = ±√n

由图可知，已知面积 \(S = n\) 求边长 \(L\)，就是 \(L = \sqrt{n}\)。但在代数中，边长（即 \(x+m\)）可以是正的也可以是负的，所以我们得到 \(x+m = \pm\sqrt{n}\)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：解 \((x-3)^2=4\)，写成 \(x-3=2\)，得 \(x=5\)。
    ✅ 正解：开平方必须考虑正负两解：\(x-3 = \pm 2\)，所以 \(x-3=2\) 或 \(x-3=-2\)，解得 \(x_1=5, x_2=1\)。
  • ❌ 错误2：解 \((x+1)^2 = -9\)，直接写 \(x+1 = \pm 3\)。
    ✅ 正解：直接开平方法的前提是 \(n \ge 0\)。因为 \(-9 < 0\)，在实数范围内 \(\sqrt{-9}\) 无意义，所以此方程无实数根。
  • ❌ 错误3：解 \(4x^2 = 9\)，写成 \(4x = \pm 3\)。
    ✅ 正解：“平方外套”没找准。必须先化为 \((A)^2 = k\) 的形式。正确步骤：\(x^2 = \frac{9}{4}\)，然后 \(x = \pm\sqrt{\frac{9}{4}} = \pm\frac{3}{2}\)。

🔥 三例题精讲

例题1：解方程 \((x - 3)^2 = 16\)。

📌 解析：

  1. 审视方程：已呈 \((A)^2 = k\) 形式，其中 \(A = x-3\)，\(k=16 \ge 0\)。
  2. 直接开方（扒皮）：\(x - 3 = \pm\sqrt{16}\)，即 \(x - 3 = \pm 4\)。
  3. 求解变量：
    • 当 \(x - 3 = 4\) 时，\(x_1 = 7\)。
    • 当 \(x - 3 = -4\) 时，\(x_2 = -1\)。

✅ 总结：这是最标准的“扒皮”操作，找准平方项，开方后记得±，分别求解。

例题2：解方程 \((2x + 1)^2 = 9\)。

📌 解析：

  1. 审视方程：平方外套里是 \(A = 2x+1\)，右边 \(k=9 \ge 0\)，可以开方。
  2. 直接开方：\(2x + 1 = \pm\sqrt{9}\)，即 \(2x + 1 = \pm 3\)。
  3. 求解变量：
    • 当 \(2x + 1 = 3\) 时，\(2x = 2\)，得 \(x_1 = 1\)。
    • 当 \(2x + 1 = -3\) 时，\(2x = -4\)，得 \(x_2 = -2\)。

✅ 总结：平方外套里是一个整体 \((2x+1)\)，开方后解这个一元一次方程即可。不要把2也开方了！

例题3：解方程 \(4(x - 2)^2 - 12 = 0\)。

📌 解析：

  1. 先“整理”洋葱，把平方项露出来：移项得 \(4(x-2)^2 = 12\)。
  2. 把平方项的系数化为1：两边同除以4，得 \((x-2)^2 = 3\)。
  3. 现在可以“扒皮”了：\(x - 2 = \pm\sqrt{3}\)。
  4. 求解变量：\(x = 2 \pm\sqrt{3}\)。所以 \(x_1 = 2+\sqrt{3}, x_2 = 2-\sqrt{3}\)。

✅ 总结：当方程不是最简形式时，先通过移项、系数化为1等步骤，把它变成 \((A)^2 = k\) 的标准形式，再开方。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. \((x + 5)^2 = 9\)
  2. \((x - 1)^2 = 25\)
  3. \((x + 4)^2 = 0\)
  4. \((x - 6)^2 = \frac{1}{4}\)
  5. \((3x)^2 = 81\)（提示：先化为 \((A)^2=k\)）
  6. \(x^2 - 49 = 0\)
  7. \(2y^2 = 50\)
  8. \((2x - 1)^2 = 1\)
  9. \((x + \frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4}\)
  10. \((x - \sqrt{2})^2 = 3\)

第二关：中考挑战（10道）

  1. \((5x - 2)^2 = 64\)
  2. \(9(x + 1)^2 = 16\)
  3. \(2(x - 3)^2 - 8 = 0\)
  4. \(\frac{1}{4}(2y + 6)^2 - 5 = 4\)
  5. 若 \((a - 2)^2 + |b+3| = 0\)，求 \(a^b\) 的值。
  6. 已知关于 \(x\) 的方程 \((x - m)^2 = n\) 的两个根是 \(x_1=-1, x_2=7\)，求 \(m, n\) 的值。
  7. 解关于 \(x\) 的方程：\(a^2(x-1)^2 = b^2\) \((a \neq 0)\)。
  8. 一个数的平方的4倍等于100，求这个数。
  9. 用直接开平方法解方程：\((x-2024)^2 = (2025-2x)^2\)。（提示：移项后利用 \(a^2-b^2=0\)）
  10. 判断下列关于 \(x\) 的方程根的情况：\((x+\frac{k}{2})^2 = k - 1\)。

第三关：生活应用（5道）

  1. 【栅栏围地】老王用一定长度的栅栏围成一个正方形菜地，菜地的面积为 \(64\) 平方米。如果他把栅栏改围成一个边长增加 \(2\) 米的新正方形菜地，新面积是多少？设原边长为 \(x\) 米，列方程并求解。
  2. 【自由落体】物体从高处自由落下，下落高度 \(h\)（米）与时间 \(t\)（秒）的关系近似为 \(h = 5t^2\)。一个玻璃球从楼顶落下，经过 \(4\) 秒后听到落地声，求楼高大约多少米？（忽略声音传播时间）
  3. 【镜子距离】小美想买一面正方形的镜子，要求镜子的面积是 \(2\) 平方米。店员告诉她，镜子边长（单位：米）的平方正好等于面积。你能告诉她边长大约是多少吗？（结果保留根号）
  4. 【花园扩建】一个正方形花圃，边长增加 \(3\) 米后，总面积增加了 \(81\) 平方米。求原花圃的边长。设原边长为 \(x\) 米，列方程 \((x+3)^2 - x^2 = 81\)，化简后你能用直接开平方法解吗？
  5. 【抛物线顶点】在物理和数学中，抛物线顶点纵坐标公式常涉及平方。已知某抛物线顶点公式为 \(y = (x-4)^2 - 9\)，当 \(y=0\) 时，求 \(x\) 的值。这本质上是解什么方程？

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：直接开平方法 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：难点主要在“形式识别”和“根的概念”上。很多方程不会直接给你 \((x+m)^2 = n\)，需要学生自己通过配方去构造，这需要代数变形的扎实功底。其次，从“数的平方根”过渡到“式的平方根”，理解 \( (2x+1)^2=9 \) 意味着 \(2x+1\) 是 \(9\) 的平方根，即 \(2x+1 = \pm 3\)，这是一个思维跳跃。忘记“±”号是最高发的错误，本质是对“平方运算的逆运算会产生两个结果”理解不深。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：这是解一元二次方程的基石。1. 配方法的基础：配方后的最终步骤就是直接开平方。例如配方得到 \((x+3)^2=5\)，最后一步就是开方。2. 二次函数的关键：将一般式 \(y=ax^2+bx+c\) 化为顶点式 \(y=a(x-h)^2+k\)，其中就包含了配方和开方的思想，用于求顶点、最值和解二次不等式。3. 理解复数入门：当遇到 \(n<0\)，如 \((x+1)^2=-4\)，在实数范围内无解，这自然引出了虚数单位 \(i\)（定义 \(i^2=-1\)），从而得到 \(x+1=\pm 2i\)，为复数学习埋下伏笔。

问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？

答：有！牢记并执行这个“三步扒皮法”：

  1. 看：方程能否化为 \((A)^2 = k\) 的形式？这里的 \(A\) 可以是一个单项式（如 \(x, 2x\)），也可以是多项式（如 \(x-5, 3y+1\)）。
  2. 判：判断常数项 \(k\)。
    • 若 \(k < 0\)，则方程无实数根。
    • 若 \(k \ge 0\)，进入下一步。
  3. 解：写下 \(A = \pm\sqrt{k}\)，然后解出关于未知数的简单方程。

把这个流程变成肌肉记忆，就能应对绝大多数基础题型。

答案与解析

第一关：基础热身

  1. \((x+5)^2=9\) ⇒ \(x+5=\pm3\) ⇒ \(x_1=-2, x_2=-8\)
  2. \((x-1)^2=25\) ⇒ \(x-1=\pm5\) ⇒ \(x_1=6, x_2=-4\)
  3. \((x+4)^2=0\) ⇒ \(x+4=0\) ⇒ \(x=-4\)（两个相等实根）
  4. \((x-6)^2=\frac{1}{4}\) ⇒ \(x-6=\pm\frac{1}{2}\) ⇒ \(x_1=\frac{13}{2}, x_2=\frac{11}{2}\)
  5. \((3x)^2=81\) ⇒ \(9x^2=81\) ⇒ \(x^2=9\) ⇒ \(x=\pm3\)
  6. \(x^2-49=0\) ⇒ \(x^2=49\) ⇒ \(x=\pm7\)
  7. \(2y^2=50\) ⇒ \(y^2=25\) ⇒ \(y=\pm5\)
  8. \((2x-1)^2=1\) ⇒ \(2x-1=\pm1\) ⇒ \(2x=1\pm1\) ⇒ \(x_1=1, x_2=0\)
  9. \((x+\frac{1}{2})^2=\frac{9}{4}\) ⇒ \(x+\frac{1}{2}=\pm\frac{3}{2}\) ⇒ \(x_1=1, x_2=-2\)
  10. \((x-\sqrt{2})^2=3\) ⇒ \(x-\sqrt{2}=\pm\sqrt{3}\) ⇒ \(x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}, x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}\)

第二关：中考挑战

  1. \((5x-2)^2=64\) ⇒ \(5x-2=\pm8\) ⇒ \(5x=2\pm8\) ⇒ \(x_1=2, x_2=-\frac{6}{5}\)
  2. \(9(x+1)^2=16\) ⇒ \((x+1)^2=\frac{16}{9}\) ⇒ \(x+1=\pm\frac{4}{3}\) ⇒ \(x_1=\frac{1}{3}, x_2=-\frac{7}{3}\)
  3. \(2(x-3)^2-8=0\) ⇒ \(2(x-3)^2=8\) ⇒ \((x-3)^2=4\) ⇒ \(x-3=\pm2\) ⇒ \(x_1=5, x_2=1\)
  4. \(\frac{1}{4}(2y+6)^2-5=4\) ⇒ \(\frac{1}{4}(2y+6)^2=9\) ⇒ \((2y+6)^2=36\) ⇒ \(2y+6=\pm6\) ⇒ \(2y=-6\pm6\) ⇒ \(y_1=0, y_2=-6\)
  5. 平方项与绝对值项均非负，和为0则每一项为0。∴ \(a-2=0\) 且 \(b+3=0\)，得 \(a=2, b=-3\)。故 \(a^b = 2^{-3} = \frac{1}{8}\)。
  6. 方程 \((x-m)^2=n\) 的两根为 \(x = m \pm \sqrt{n}\)。已知 \(m+\sqrt{n}=7\)，\(m-\sqrt{n}=-1\)。两式相加得 \(2m=6, m=3\)；代入得 \(3+\sqrt{n}=7, \sqrt{n}=4, n=16\)。
  7. \(a^2(x-1)^2 = b^2\) ⇒ \((x-1)^2 = \frac{b^2}{a^2}\) ⇒ \(x-1 = \pm\frac{|b|}{|a|}\)。通常写作 \(x-1 = \pm\frac{b}{a}\)（考虑正负包含所有情况）。∴ \(x = 1 \pm \frac{b}{a}\)。
  8. 设这个数为 \(x\)，则 \(4x^2=100\) ⇒ \(x^2=25\) ⇒ \(x=\pm5\)。这个数是 \(5\) 或 \(-5\)。
  9. \((x-2024)^2 - (2025-2x)^2=0\) ⇒ 利用平方差公式：\([(x-2024)+(2025-2x)][(x-2024)-(2025-2x)]=0\) ⇒ \((1-x)(3x-4049)=0\) ⇒ \(x_1=1, x_2=\frac{4049}{3}\)。（本题旨在灵活运用公式，非直接开平）
  10. 根的情况取决于右边 \(k-1\)。① 当 \(k-1 < 0\) 即 \(k<1\) 时，方程无实数根。② 当 \(k-1 = 0\) 即 \(k=1\) 时，方程有两个相等的实数根 \(x = -\frac{1}{2}\)。③ 当 \(k-1 > 0\) 即 \(k>1\) 时，方程有两个不相等的实数根。

第三关：生活应用

  1. 设原边长为 \(x\)，则 \(x^2=64\) ⇒ \(x=\pm8\)（舍负）⇒ 原边长 \(8\) 米。新边长 \(8+2=10\) 米，新面积 \(100\) 平方米。
  2. 将 \(t=4\) 代入公式：\(h = 5 \times 4^2 = 5 \times 16 = 80\) (米)。楼高约 \(80\) 米。
  3. 设边长为 \(x\) 米，则 \(x^2=2\) ⇒ \(x=\pm\sqrt{2}\)（舍负）⇒ 边长是 \(\sqrt{2}\) 米。
  4. 方程化简：\((x^2+6x+9) - x^2 = 81\) ⇒ \(6x+9=81\) ⇒ \(6x=72\) ⇒ \(x=12\)。这是一元一次方程。若列方程 \((x+3)^2 = x^2+81\)，则化简后相同，不直接产生 \((A)^2=k\) 形式，因此本题不能用直接开平方法，是思维陷阱。原花圃边长 \(12\) 米。
  5. 当 \(y=0\) 时，方程为 \((x-4)^2 - 9 = 0\) ⇒ \((x-4)^2 = 9\) ⇒ \(x-4 = \pm 3\) ⇒ \(x_1=7, x_2=1\)。本质是解一元二次方程。

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