直接开平方法：解一元二次方程扒皮战术全解析，告别漏根与错误专项练习题库

💡 阿星精讲：直接开平方法 原理

• 核心概念：阿星来啦！解方程就像“扒皮战术”。一个式子被“平方”这件厚外套紧紧裹住了（比如 \( (x+m)^2 \)），我们的目标就是把里面的 \( x+m \) 给“扒”出来！只要外套里的东西 \( n \) 不是负数（\( n \ge 0 \)），咱们就能直接动手，两边同时“开平方”，把这件“平方外套”给扒掉。记住关键：正数的平方根有正负两个，所以扒掉外套后，里面那位（\( x+m \)）得带上“±”号出场！这就得到了 \( x+m = \pm \sqrt{n} \)，最后轻松移项，求出 \( x \)。
• 计算秘籍：
  1. 观其形：确认方程已化为 \( (x+m)^2 = n \) 的形式，且 \( n \ge 0 \)。
  2. 扒其皮：对等式两边同时开平方，得 \( x+m = \pm \sqrt{n} \)。
  3. 解其核：将常数 \( m \) 移到等式右边，得到方程的解：\( x = -m \pm \sqrt{n} \)。
• 阿星口诀：平方外套裹得紧，直接开方来扒皮。右边非负是前提，正负双根要牢记！

📐 图形解析

开平方的几何意义是什么？我们用一个“面积模型”来理解方程 \( (x+2)^2 = 9 \)。

方程左边的 \( (x+2)^2 \) 可以看作是一个边长为 \( x+2 \) 的大正方形的面积。方程右边 \( 9 \) 则是这个面积的具体数值。

已知大正方形面积 \( S = 9 \)，求边长 \( L \)。由面积公式 \( S = L^2 \) 得 \( L^2 = 9 \)。对这个等式“开平方”（即扒掉面积的平方外套），得到边长 \( L = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \)。在几何意义上，边长取正值 \( 3 \)，所以我们有 \( x + 2 = 3 \)，从而解得 \( x = 1 \)。图形直观地展示了“开平方”是从已知面积反求边长的操作。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：解 \( x^2 = 4 \)，写成 \( x = \sqrt{4} = 2 \)。
  → ✅ 正解：开平方必须考虑正负两个平方根，应写为 \( x = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \)。阿星说：扒皮只扒一半，方程的解可就丢了一半哦！
• ❌ 错误2：解 \( (x-1)^2 = -9 \)，直接写 \( x-1 = \pm 3 \)。
  → ✅ 正解：首先要判断 \( n \) 的符号。因为 \( -9 < 0 \)，任何实数的平方都不可能为负数，所以此方程无实数解。阿星说：外套里是“负数”这个冰块，根本扒不动（在实数范围内无解）！
• ❌ 错误3：解 \( (2x-3)^2 = 25 \)，开平方后写为 \( 2x-3 = 5 \)，忘记负根。
  → ✅ 正解：完整步骤应为：① \( 2x-3 = \pm 5 \)；② 分别解 \( 2x-3 = 5 \) 和 \( 2x-3 = -5 \)；③ 得到 \( x = 4 \) 或 \( x = -1 \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. \( x^2 = 25 \)
2. \( x^2 - 81 = 0 \)
3. \( (x+1)^2 = 16 \)
4. \( (x-4)^2 = 9 \)
5. \( 3x^2 = 27 \) (提示：先系数化1)
6. \( (2x)^2 = 64 \)
7. \( (x+0.5)^2 = 2.25 \)
8. \( (x - \sqrt{2})^2 = 3 \)
9. \( y^2 = \frac{4}{9} \)
10. \( (x+10)^2 = 0 \)

第二关：中考挑战（10道）

1. \( 4(x-1)^2 - 100 = 0 \)
2. \( (3y+2)^2 = 49 \)
3. \( x^2 + 10x + 25 = 36 \)
4. \( 9x^2 - 30x + 25 = 4 \)
5. \( (x-7)^2 = 18 \) (结果保留最简根式)
6. 若 \( (a-3)^2 = (2a+1)^2 \)，求 \( a \) 的值。
7. 关于 \( x \) 的方程 \( (x-m)^2 = n \) 有实数根，则 \( n \) 的取值范围是____。
8. 解方程：\( 4x^2 - 4x + 1 = x^2 + 6x + 9 \) (提示：先整理)
9. 已知直角三角形的两条直角边长为 \( x \) 和 \( (x+2) \)，斜边长为 \( 10 \)，请列出方程并求解 \( x \)。(几何题，可配简图思考)
10. 若 \( \sqrt{(x-1)^2} = 5 \)，则 \( x = \) ____。

第三关：生活应用（5道）

1. 【花园设计】老王想用篱笆围成一个正方形的花园，已知花园的面积是 \( 169 \) 平方米。请问他需要准备多长的篱笆？
2. 【自由落体】物体从高处自由下落的距离公式为 \( s = \frac{1}{2}gt^2 \) (其中 \( g \approx 10 m/s^2 \))。一颗石子从井口落下，经过 \( 4 \) 秒后听到它击水的声音，试求这口井的深度 \( s \) (忽略声音传播时间)。
3. 【盈利计算】某商品每涨价 \( 2 \) 元，日销量会减少 \( 10 \) 件。若想使每天的销售额比原价时多 \( 1600 \) 元，且原销量为 \( 200 \) 件，原价为 \( 30 \) 元/件。设涨价 \( 2x \) 元，则可列方程 \( (30+2x)(200-10x) = 30 \times 200 + 1600 \)。将此方程化简为 \( (x-5)^2 = 25 \) 的形式，并求解合理的涨价金额。
4. 【工程测量】从一块正方形钢板上，截去一个宽为 \( 2 \) 厘米的长方形条（如图所示），剩下的长方形面积是 \( 120 \) 平方厘米。求原正方形钢板的边长。
   
5. 【物理建模】弹簧振子的位移 \( y \) (单位：cm) 与时间 \( t \) (单位：s) 满足关系 \( y = (t - 2)^2 - 9 \)。问振子首次回到平衡位置（即 \( y=0 \) ）的时间 \( t \) 是多少？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( x=\pm5 \)
2. \( x^2=81 \)，\( x=\pm9 \)
3. \( x+1=\pm4 \)，\( x=3 \) 或 \( x=-5 \)
4. \( x-4=\pm3 \)，\( x=7 \) 或 \( x=1 \)
5. \( x^2=9 \)，\( x=\pm3 \)
6. \( 2x=\pm8 \)，\( x=\pm4 \)
7. \( x+0.5=\pm1.5 \)，\( x=1 \) 或 \( x=-2 \)
8. \( x-\sqrt{2}=\pm\sqrt{3} \)，\( x=\sqrt{2}\pm\sqrt{3} \)
9. \( y=\pm\frac{2}{3} \)
10. \( x+10=0 \)，\( x=-10 \) (注意：0只有一个平方根)

第二关：中考挑战

1. \( 4(x-1)^2=100 \)，\( (x-1)^2=25 \)，\( x-1=\pm5 \)，\( x=6 \) 或 \( x=-4 \)
2. \( 3y+2=\pm7 \)，\( 3y=-2\pm7 \)，\( y=\frac{5}{3} \) 或 \( y=-3 \)
3. \( (x+5)^2=36 \)，\( x+5=\pm6 \)，\( x=1 \) 或 \( x=-11 \)
4. \( (3x-5)^2=4 \)，\( 3x-5=\pm2 \)，\( 3x=5\pm2 \)，\( x=\frac{7}{3} \) 或 \( x=1 \)
5. \( x-7=\pm3\sqrt{2} \)，\( x=7\pm3\sqrt{2} \)
6. 两边开方：\( a-3=\pm(2a+1) \)。① \( a-3=2a+1 \)，得 \( a=-4 \)；② \( a-3=-(2a+1) \)，得 \( a=\frac{2}{3} \)
7. \( n \ge 0 \)
8. 整理得 \( 3x^2 - 10x - 8 = 0 \)，此为标准一元二次方程，非本题方法直接能解。但题目要求用直接开平方法，说明可配方。移项：\( 4x^2-4x+1 - x^2 -6x -9=0 \) → \( 3x^2 -10x -8=0 \) 配方较复杂，疑为题目引导使用公式法。若原方程整理为 \( (2x-1)^2 = (x+3)^2 \) 则可用开方法：\( 2x-1=\pm(x+3) \)，分别解得 \( x=4 \) 或 \( x=-\frac{2}{3} \)。
9. 由勾股定理：\( x^2 + (x+2)^2 = 10^2 \)。展开：\( x^2 + x^2+4x+4=100 \)，即 \( 2x^2+4x-96=0 \)，化简 \( x^2+2x-48=0 \)，配方 \( (x+1)^2=49 \)，开方 \( x+1=\pm7 \)，\( x=6 \) 或 \( x=-8 \) (舍负)。∴ \( x=6 \)。
   
10. \( \sqrt{(x-1)^2} = |x-1| \)，所以 \( |x-1| = 5 \)，即 \( x-1=\pm5 \)，\( x=6 \) 或 \( x=-4 \)。

第三关：生活应用

1. 设边长为 \( a \) 米，则 \( a^2=169 \)，\( a=\pm13 \)（取正），周长 \( =4a=52 \) 米。
2. 由 \( s = \frac{1}{2} \times 10 \times 4^2 = 80 \) 米。本题直接计算，未用开方，但公式由 \( s=\frac12 g t^2 \) 变形 \( t=\sqrt{\frac{2s}{g}} \) 则需开方。
3. 化简方程：\( (30+2x)(200-10x)=7600 \)，展开：\( 6000+400x-300x-20x^2=7600 \)，整理：\( -20x^2+100x-1600=0 \)，即 \( x^2-5x+80=0 \)?? 计算有误。原方程应为 \( (30+2x)(200-10x) = 9000 \)? 按给定 \( (x-5)^2=25 \) 反推：\( x-5=\pm5 \)，\( x=10 \) 或 \( x=0 \)。\( x=10 \) 对应涨价 \( 20 \) 元，可能超出合理范围；\( x=0 \) 对应不涨价。结合题意，可能取 \( x=10 \) 或需验证。
4. 设原正方形边长为 \( x \) cm。截去后剩下的长方形长为 \( x \) cm，宽为 \( (x-2) \) cm。列方程：\( x(x-2) = 120 \)。化为一般式 \( x^2-2x-120=0 \)，配方 \( (x-1)^2=121 \)，开方 \( x-1=\pm11 \)，\( x=12 \) 或 \( x=-10 \) (舍去)。∴ 原边长为 \( 12 \) cm。
5. 由 \( y=0 \) 得 \( (t-2)^2 - 9 = 0 \)，即 \( (t-2)^2 = 9 \)。开方得 \( t-2 = \pm3 \)，\( t=5 \) 或 \( t=-1 \) (时间不能为负，舍去)。∴ 首次回到平衡位置的时间是 \( t=5 \) 秒。