知识要点

掌握一个数能否被3或9整除的快速判断方法，可以让我们不用做复杂的除法计算，快速识别数的特性。

💡 核心概念

判断一个数能否被3或9整除，我们不看它的个位数字，而是看它所有数位上的数字之和。

规则：

• 一个数，如果它各位数字之和能被3整除，那么这个数本身就能被3整除。
• 一个数，如果它各位数字之和能被9整除，那么这个数本身就能被9整除。

原理小揭秘： 以123为例，\( 123 = 1 \times 100 + 2 \times 10 + 3 \)。我们知道 \( 100 = 99 + 1 \)， \( 10 = 9 + 1 \)。所以，\( 123 = 1 \times (99+1) + 2 \times (9+1) + 3 = (1 \times 99 + 2 \times 9) + (1 + 2 + 3) \)。括号里的 \( 1 \times 99 + 2 \times 9 \) 肯定能被3和9整除，所以整个数能否被3或9整除，就完全取决于后面括号里的数字和 \( (1+2+3) \) 了。

📝 计算法则

1. 步骤一：把这个多位数的每一位数字相加，求出它们的和。
2. 步骤二：判断这个和：
   • 如果和能被3整除，那么原数就能被3整除。
   • 如果和能被9整除，那么原数就能被9整除。
3. 步骤三：记住一个关系：能被9整除的数，一定能被3整除；但能被3整除的数，不一定能被9整除。

🎯 记忆口诀

“3、9整除看和，各位相加莫忘。和能被3（9）除，原数肯定无余数。”

🔗 知识关联

这和我们之前学过的整除特征（看个位判断能否被2、5整除，看末两位判断能否被4、25整除）思路完全不同。它用到了“数位”和“位值”的概念，以及加法和倍数的知识，是学习后续因数、倍数、质数合数的重要基础。

易错点警示

• ❌ 错误1：只看个位数字来判断。

  ✅ 正解：必须计算所有位数的数字之和。例如判断123能否被3整除，不能只看个位3，而要算 \( 1+2+3=6 \)，6能被3整除，所以123能被3整除。

• ❌ 错误2：混淆3和9的规则，认为能被3整除的数也能被9整除。

  ✅ 正解：能被9整除的条件更严格。例如12，数字和 \( 1+2=3 \) 能被3整除，所以12能被3整除；但3不能被9整除，所以12不能被9整除。

• ❌ 错误3：计算数字和时粗心，漏掉某一位或算错加法。

  ✅ 正解：计算时要耐心、仔细，可以多算一遍检查。例如判断1023，应计算 \( 1+0+2+3=6 \)，而不是 \( 1+2+3=6 \)（虽然结果巧合，但过程漏了0是错误的）。

三例题精讲

🔥 例题1：判断 \( 237 \) 是否能被3整除。

📌 第一步：计算各位数字之和：\( 2+3+7=12 \)。

📌 第二步：判断和 \( 12 \) 能否被3整除：\( 12 \div 3 = 4 \)，能整除。

📌 第三步：得出结论：原数 \( 237 \) 能被3整除。

✅ 答案：能。

💬 总结：这是最基础的直接应用，牢记“求和判断”即可。

🔥 例题2：判断 \( 468 \) 是否能被9整除。

📌 第一步：计算数字和：\( 4+6+8=18 \)。

📌 第二步：判断 \( 18 \) 能否被9整除：\( 18 \div 9 = 2 \)，能整除。

📌 第三步：得出结论：\( 468 \) 能被9整除。

✅ 答案：能。

💬 总结：因为 \( 468 \) 能被9整除，所以它也一定能被3整除。

🔥 例题3：在 □ 内填上一个数字，使五位数 \( 67\text{□}45 \) 能被9整除。

📌 第一步：设未知数字为 \( x \)，写出数字和：已知数字 \( 6,7,4,5 \) 的和是 \( 6+7+4+5=22 \)，所以总数字和为 \( 22 + x \)。

📌 第二步：根据规则，要使原数被9整除，数字和 \( (22+x) \) 必须能被9整除。

📌 第三步：\( x \) 是0到9的数字。寻找比22大的9的倍数：最小是27 (\( 9 \times 3 \))，所以 \( 22+x=27 \)，解得 \( x=5 \)。下一个是36，但 \( 22+x=36 \) 得 \( x=14 \)，超出范围。所以唯一解是5。

✅ 答案：□ 里填5。

💬 总结：这类“填数字”问题，核心是利用整除特征列出关于数字和的方程，注意解要在0-9之间。

练习题（10道）

1. 判断 \( 114 \) 能否被3整除。
2. 判断 \( 261 \) 能否被9整除。
3. 判断 \( 785 \) 能否被3整除。
4. 在 □ 里填一个数，使 \( 3\text{□}6 \) 能被3整除，你有几种填法？
5. 从0, 4, 5, 6中选出两个数字组成一个两位数，使它能被9整除。
6. 四位数 \( 2A5B \) 能被9整除，已知 \( A \) 比 \( B \) 大1，求 \( A \) 和 \( B \)。
7. 王老师要把63本练习本平均分给3个小组，能正好分完吗？用整除特征说明。
8. 一个数能被9整除，将它各位数字相加，和是18，这个数可能是多少？（请写出一个符合条件的三位数）
9. 用数字1, 2, 3组成没有重复数字的三位数，其中哪些能被3整除？
10. 判断123456789这个九位数能否被9整除。

奥数挑战（10道）

1. 已知五位数 \( 1234\text{□} \) 能被9整除，那么它能被3整除吗？为什么？
2. 一个三位数能被9整除，去掉它的末位数字后，得到的两位数能被3整除。这个三位数最小是多少？
3. 在1到100这100个自然数中，既不能被3整除也不能被9整除的数有多少个？
4. 一个六位数 \( 2ABCDE \) 能被9整除，且已知 \( A+B+C+D+E = 25 \)，那么这个六位数最小可能是多少？
5. 已知 \( 9 \times (a \times b \times c) = \overline{abc} \)（这是一个三位数），求这个三位数。
6. 小明从1开始写下连续的自然数：123456789101112...，当写到第100个数字时，他写下的这个多位数能否被3整除？
7. 一个自然数，把它各位上的数字相加，和是29。这个数最小是多少？它可能被9整除吗？
8. 有四个连续的自然数，它们的乘积一定能被9整除吗？为什么？
9. 在算式 \( \overline{ab} \times \overline{cd} = 1995 \) 中，\( \overline{ab} \) 和 \( \overline{cd} \) 都是两位数，且 \( \overline{ab} \) 能被3整除。那么 \( \overline{cd} \) 能被9整除吗？
10. 一个两位数，如果把它倒过来写（如16变成61），得到的新数与原数的和一定能被9整除吗？请举例说明。

生活应用（5道）

1. （高铁）“复兴号”高铁有8节车厢，每节车厢定员98人。这趟列车的总座位数能被3整除吗？
2. （航天）中国空间站每90分钟绕地球一圈。一天（1440分钟）大约绕行的圈数能被9整除吗？
3. （AI）训练一个AI大模型用了243小时。这个训练时间能被9整除吗？
4. （环保）“绿色校园”活动，小明班级一周收集废品，第一天收集4kg，之后每天比前一天多收集1kg。他们一周收集的总重量能被3整除吗？
5. （网购）小明的妈妈在“双十一”购物，所有商品原价总和是567元，她使用了一张“满500减30”的优惠券。实付金额能被9整除吗？