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正切tan是什么？对边比邻边怎么理解？坡度计算与题型深度解析专项练习题库

适用年级

初三

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-21

💡 阿星精讲：正切tan 原理

  • 核心概念：嘿，我是阿星！想象一下，你面前有一个又长又陡的斜坡。怎么形容它有多“陡”呢？聪明的人类发现，坡度 = 升高 / 水平前进的距离。这不就是直角三角形里，对边 / 邻边嘛！所以，正切 \(\tan\) 就是专门用来量化一个角有多“陡峭”的数学工具。在直角三角形 \(\triangle ABC\)（\(\angle C = 90^\circ\)）中，对于锐角 \(\angle A\) 来说：\(\tan A = \frac{\angle A的对边 BC}{\angle A的邻边 AC}\)。记住，坡度i就是tanα，修路、建楼梯都用它！
  • 计算秘籍：
    1. 找到关注的锐角。
    2. 辨认它的“对边”（正对着它的边）和“邻边”（挨着它但不是斜边的边）。
    3. 作比：\(\tan(\text{角}) = \frac{\text{对边长度}}{\text{邻边长度}}\)。
    4. 例如，若 \(BC=3\)， \(AC=4\)，则 \(\tan A = \frac{3}{4} = 0.75\)。
  • 阿星口诀：“正切陡不陡，对边比邻边；坡度也是它，爬坡好计算。”

📐 图形解析

一个标准的直角三角形，清晰地标出角 \(\angle A\) 的“对边”与“邻边”，是理解 \(\tan A\) 的基石。

正切定义式：\( \tan A = \frac{a}{b} = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} \)

水平 邻边 b 斜边 c 对边 a ∠A ∠C (90°) ∠B C B A 升高 a 水平距离 b

看，角 \(A\) 的“陡峭程度”（坡度），就由竖直升高的 \(a\) 与水平前进的 \(b\) 的比值决定，即 \(\tan A = \frac{a}{b}\)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：混淆对边和邻边。看到 \(\tan B\) 却用了 \(\angle A\) 的边。
    ✅ 正解：永远“对号入座”！\(\tan\) 后面的字母决定了视角。\(\tan B\) 的对边是 \(AC\)，邻边是 \(BC\)。
  • ❌ 错误2：认为 \(\tan\) 值可以大于1或小于1，所以算出来奇怪的值就觉得错了。
    ✅ 正解：\(\tan\) 值可以是任意正数！\(\tan <1\) 说明坡缓，\(\tan >1\) 说明坡陡，\(\tan =1\) 是完美的45°坡。只要计算过程对，任何正数都有可能。
  • ❌ 错误3：在非直角三角形中，生搬硬套“对边/邻边”的公式。
    ✅ 正解：课本上最初的 \(\tan\) 定义仅限于直角三角形中的锐角。其他情况需要借助后续学习的“任意角三角函数”知识。

🔥 三例题精讲

例题1：基础定义 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)， \(AC=6\)， \(BC=8\)， 求 \(\tan A\) 和 \(\tan B\)。

∠A ∠B C A B 邻边(对于∠A)=6 对边(对于∠A)=8

📌 解析：

  • 求 \(\tan A\)：\(\angle A\) 的对边是 \(BC=8\)，邻边是 \(AC=6\)。所以 \(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)。
  • 求 \(\tan B\)：\(\angle B\) 的对边是 \(AC=6\)，邻边是 \(BC=8\)。所以 \(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)。

✅ 总结：一题两问，完美对比。看清“主角”是哪个角，它的对边和邻边就会互换。这里 \(\tan A \times \tan B = 1\)，是不是很有趣？

例题2：知值求边 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)， \(\tan A = 2\)， \(BC=4\)， 求 \(AC\) 的长。

∠A C A B AC=? BC=4 tanA=2

📌 解析：

  1. 根据定义：\(\tan A = \frac{BC}{AC}\)。
  2. 代入已知：\(2 = \frac{4}{AC}\)。
  3. 解方程：\(AC = \frac{4}{2} = 2\)。

✅ 总结：正切公式 \(\tan A = \frac{对边}{邻边}\) 也是一个等量关系。已知三个量中的两个，一定能求出第三个。这是最常考的题型之一。

例题3：生活应用（坡度） 如图，一个斜坡的坡度 \(i = 1: \sqrt{3}\)， 若沿斜坡上前进100米，则升高了多少米？

水平距离 升高高度 斜坡长度=100米 坡度 i = 1 : √3 A B C

📌 解析：

  1. 理解坡度：坡度 \(i = \frac{\text{升高高度}}{\text{水平距离}} = \tan \alpha\)， 其中 \(\alpha\) 是坡角。已知 \(i = 1: \sqrt{3}\)， 即 \(\tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}\)。
  2. 建立模型：设升高高度 \(BC = h\)， 水平距离 \(AC = \sqrt{3}h\)。斜坡长 \(AB = 100\) 米。
  3. 运用勾股定理：\(AB^2 = BC^2 + AC^2\)， 即 \(100^2 = h^2 + (\sqrt{3}h)^2 = h^2 + 3h^2 = 4h^2\)。
  4. 求解：\(4h^2 = 10000\)， \(h^2 = 2500\)， 所以 \(h = 50\) (米)。

✅ 总结：将实际问题“翻译”成直角三角形问题是关键。坡度就是 \(\tan\)， 由此可建立边之间的比例关系，再结合勾股定理，往往就能解决问题。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，求tanA。
  2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，tanB=0.5，求BC的长。
  3. 已知tanα=1，且α是锐角，求α的度数。
  4. 判断对错：在直角三角形中，tanA的值可能等于2。（ ）
  5. 填空：在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=\(\frac{4}{3}\)，BC=8，则AC=____。
  6. 根据图形求tanθ：一个直角三角形，θ角邻边为5，对边为12。θ512
  7. 已知tanA=\(\frac{5}{12}\)，则∠A的对边与邻边的比是____。
  8. 若一个锐角的正切值小于1，那么这个角一定____45°。（填“大于”、“小于”或“等于”）
  9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=2，则\(\frac{BC}{AC}\)=____。
  10. 简单计算：tan45° + tan30°。（提示：tan30°=\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)， tan45°=1）

第二关：中考挑战（10道）

  1. （综合）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=\(\frac{3}{5}\)，求tanA的值。
  2. （网格题）如图，在4×4的正方形网格中，∠α的顶点在格点上，求tanα的值。4格4格α
  3. （方程思想）在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=\(\frac{1}{3}\)，周长为24cm，求△ABC的面积。
  4. （分类讨论）已知等腰三角形腰长为10，底边长为12，求底角的正切值。
  5. （比较大小）比较大小：tan28° ____ tan31°。（不查表）
  6. （几何综合）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，AE⊥DE，若AB=4，BE=3，求tan∠ADE。A DB CE（提示：证明△ABE∽△ECD）
  7. （知值求角）若tan(α+15°)=\(\sqrt{3}\)，α为锐角，求α的度数。
  8. （规律探究）观察：tan30°=\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)， tan45°=1， tan60°=\(\sqrt{3}\)。锐角α从30°增加到60°，tanα的值如何变化？你能得出什么一般结论？
  9. （实际应用）如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为60°，观测底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度。（结果保留根号）
  10. （综合压轴）在平面直角坐标系中，点P(4, 3)，求OP与x轴正半轴夹角的正切值。

第三关：生活应用（5道）

  1. （建筑）我国《民用建筑设计通则》规定，住宅楼梯的踏步高度（h）与宽度（b）应满足：2h + b ≈ 600~620mm。已知某楼梯踏步高度为160mm，求其坡度（即tanα，α为楼梯斜面与水平面的夹角）大约是多少？
  2. （工程）如图，为测量山高MN，测量人员在山脚A点测得山顶M的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡前进100米到达B点，在B点测得山顶M的仰角为45°。假设A、B、N在同一直线上，求山高MN。（提示：多次构造直角三角形）
  3. （体育）一个单板滑雪“U型池”的截面可近似看作由两段坡度（tan值）相同的斜坡和一段平底组成。若设计师希望斜坡与水平面夹角为20°（tan20°≈0.364），且垂直高度差为5米，求单段斜坡的水平投影长度（精确到0.1米）。
  4. （物理）一物体从倾角为θ的斜面顶端由静止滑下，忽略摩擦力，其加速度a与重力加速度g的关系为a = g sinθ。已知tanθ=0.75，求sinθ。
  5. （DIY）小星想用一块宽为30cm的木板，在后院搭建一个简易滑梯（斜面）。他希望滑梯底端离墙根有70cm远，那么他需要多长的木板？这个滑梯的坡度（tan值）是多少？

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：正切tan 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：难点通常不在计算，而在“识别”和“抽象”。1. 识别困难：在复杂图形中，快速、准确地找到目标角的“对边”和“邻边”需要清晰的几何视图。2. 抽象困难：正切是一个比值，代表一种“关系”，而不是具体的边长。当题目给出 \(\tan A = k\) 时，意味着对边和邻边存在一种固定的倍数关系（如 \(BC = k \times AC\)），学生需要适应这种代数化的几何思维。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：正切是三角函数家族的“先锋”，至关重要。1. 三角学基础：它与正弦 (\(\sin\))、余弦 (\(\cos\)) 构成核心三角比，是解任意三角形、学习三角恒等变换的起点。2. 连接代数与几何：在平面直角坐标系中，直线的斜率 \(k\) 就等于其倾斜角 \(\alpha\)（\(\alpha \neq 90^\circ\)）的正切值，即 \(k = \tan \alpha\)。这是用代数方法研究几何图形的关键桥梁。3. 物理与工程应用：在矢量分解、力的分析、交流电等领域，正切函数是必不可少的数学工具。

问：有什么一招必胜的解题"套路"吗？

答：对于涉及 \(\tan\) 的几何题，最核心的套路是：“见比设k”。当题目给出 \(\tan \alpha = \frac{m}{n}\) 或一个具体数值时，立刻设对边为 \(mk\)，邻边为 \(nk\)（或对边为 \(k\)，邻边为 \(\frac{k}{\tan \alpha}\))。这样就将一个比值条件转化为了两个具体的边长表达式，然后利用图形中的其他条件（如勾股定理、周长、面积）列出关于 \(k\) 的方程求解。例如，已知 \(\tan A=2\)，可设 \(BC=2x, AC=x\)，再去找第三个条件解 \(x\)。这个模型化思想，百试不爽。

答案与解析

第一关：基础热身

  1. \(AC=\sqrt{5^2-3^2}=4\)， \(\tan A=\frac{3}{4}\)。
  2. \(\tan B = \frac{AC}{BC} = 0.5\)， \(BC = \frac{AC}{0.5} = \frac{12}{0.5} = 24\)。
  3. \(\tan45°=1\)， 所以 \(\alpha = 45°\)。
  4. ✅ 正确。
  5. \(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{AC} = \frac{4}{3}\)， \(AC = 6\)。
  6. \(\tanθ = \frac{12}{5}\)。
  7. \(5:12\)。
  8. 小于。
  9. \(2\)。
  10. \(1 + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3+\sqrt{3}}{3}\)。

第二关：中考挑战

  1. 设 \(BC=3k， AB=5k\)，则 \(AC=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=4k\)， \(\tan A=\frac{3k}{4k}=\frac{3}{4}\)。
  2. 对边=4格，邻边=4格，\(\tanα=\frac{4}{4}=1\)。
  3. 设 \(BC=k, AC=3k\)，则 \(AB=\sqrt{k^2+(3k)^2}=\sqrt{10}k\)。周长：\(k+3k+\sqrt{10}k=24\)，解得 \(k=\frac{24}{4+\sqrt{10}}\)。面积 \(S=\frac{1}{2} \times k \times 3k = \frac{3}{2}k^2 = \frac{3}{2} \times \left(\frac{24}{4+\sqrt{10}}\right)^2\)，化简略。
  4. 作底边上的高，由等腰三角形三线合一，底边一半为6，高为 \(\sqrt{10^2-6^2}=8\)， \(\tan(\text{底角})=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\)。
  5. 锐角正切值随角度增大而增大，所以 \(\tan28° < \tan31°\)。
  6. ∵ AE⊥DE， ∴ ∠AEB+∠DEC=90°。又∵ ∠AEB+∠BAE=90°， ∴ ∠BAE=∠DEC。又∵ ∠B=∠C=90°， ∴ △ABE∽△ECD。∴ \(\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CD}\)， 即 \(\frac{4}{EC}=\frac{3}{4}\)， 解得 \(EC=\frac{16}{3}\)。在Rt△ECD中， \(\tan\angle EDC = \frac{EC}{CD} = \frac{16/3}{4} = \frac{4}{3}\)。又∵ ∠ADE=∠EDC（内错角）， ∴ \(\tan\angle ADE = \frac{4}{3}\)。
  7. ∵ \(\tan60°=\sqrt{3}\)， 且α+15°是锐角，∴ α+15°=60°， α=45°。
  8. tanα的值逐渐增大。结论：对于锐角α，其正切值 \(\tanα\) 随角度的增大而增大。
  9. 在Rt△BCD中，∠BDC=45°，∴ BC=DC=20m。在Rt△ACD中，∠ADC=60°， ∴ \(AC=DC \cdot \tan60° = 20\sqrt{3}\) m。∴ \(AB=AC-BC=20\sqrt{3}-20=20(\sqrt{3}-1)\) m。
  10. 过P作PA⊥x轴于A，则A(4,0)， PA=3， OA=4。\(\tan\angle POA = \frac{PA}{OA} = \frac{3}{4}\)。

第三关：生活应用

  1. 踏步宽 \(b \approx 600 - 2 \times 160 = 280\)mm。坡度 \(i = \tanα = \frac{h}{b} = \frac{160}{280} \approx 0.571\)。
  2. （解析概要）设 \(MN=h\)。在Rt△MAN中， \(AN=h \cdot \cot30°=\sqrt{3}h\)。在Rt△MBN中， \(BN=h \cdot \cot45°=h\)。关键：AB=100米，且在△ABN中，∠BAN=15°，∠ANB=180°-(90°-15°)-45°=60°（或使用正弦定理）。可列式求解 \(h\)。最终 \(h=50\)米。
  3. 水平投影长度 = \(\frac{\text{垂直高度}}{\tan20°} \approx \frac{5}{0.364} \approx 13.7\)米。
  4. 构造直角三角形，tanθ=0.75=3/4，则对边3，邻边4，斜边5。所以 \(\sinθ=\frac{3}{5}=0.6\)。
  5. 木板长即斜面长 \(l = \sqrt{30^2+70^2} = \sqrt{5800} = 10\sqrt{58} \approx 76.2\) cm。坡度 \(i = \tanα = \frac{30}{70} = \frac{3}{7} \approx 0.429\)。

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