正切函数tan怎么理解？从坡度到解题深度解析，附中考真题训练专项练习题库

💡 阿星精讲：tan 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们来聊聊 \( \tan \) ，你可以把它想象成“坡度计算器”。想象你在爬山，坡的“陡峭程度”就是坡度。在直角三角形里，我们把坡的“垂直高度”（对边）除以“水平距离”（邻边），得到的比值就是坡度，也就是 \( \tan A \) 。坡越陡，这个比值就越大！公式就是：\( \tan A = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} \) 。记住，它只关心“垂直爬了多少”和“水平走了多少”的比例。
• 计算秘籍：
  1. 找角定边：在直角三角形中，先找到关心的锐角 \( A \) 。
  2. 识别对邻：“对边”是角 \( A \) 对面的那条边；“邻边”是角 \( A \) 旁边那条不是斜边的直角边。
  3. 作比求值：计算比值 \( \frac{\text{对边长度}}{\text{邻边长度}} \) ，结果就是 \( \tan A \) 。
  4. 单位一致：对边和邻边的长度单位必须一致（比如都是米）。
• 阿星口诀：正切记心间，对边比邻边。坡度陡不陡，就看它大小！

📐 图形解析

下面这个直角三角形清晰地展示了 \( \tan A \) 的“坡度”本质：

计算公式：\( \tan A = \frac{a}{b} = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} \)

看，角 \( A \) 的坡度，就是垂直的红色边 \( a \) 除以水平的绿色边 \( b \)。如果 \( a \) 变长或 \( b \) 变短，坡度（\( \tan A \)）都会变大，坡就更陡！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：找错“邻边”，把斜边当成了邻边。 → ✅ 正解：\( \tan \) 的“邻边”特指构成该锐角的那条直角边，绝对不是斜边。口诀是“对边比（直角）邻边”。
• ❌ 错误2：认为 \( \tan \) 值永远小于1。 → ✅ 正解：\( \tan \) 值是比值，可以大于1、等于1或小于1。当对边 > 邻边（坡度 > 45°），\( \tan A > 1 \)；等于45°时，\( \tan 45^\circ = 1 \)；小于45°时，\( \tan A < 1 \)。
• ❌ 错误3：在非直角三角形中直接套用 \( \tan A = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} \) 。 → ✅ 正解：这个定义仅适用于直角三角形。在一般三角形中，需要先通过作高构造出直角三角形，或使用正弦定理、余弦定理。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 在 \( Rt\triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^\circ \)，\( AB=5 \)，\( BC=3 \)，求 \( \tan A \)。
2. 在 \( Rt\triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^\circ \)，\( AC=1 \)，\( BC=\sqrt{3} \)，求 \( \tan B \)。
3. 已知 \( \tan \alpha = 2 \)，且角 \( \alpha \) 是锐角，写出一个满足该条件的直角三角形的两直角边长。
4. 计算：\( \tan 45^\circ = ? \)
5. 一个坡面的坡度 \( i = 1:0.75 \)，这个坡面的 \( \tan \) 值是多少？
6. 在 \( Rt\triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^\circ \)，\( \tan A = \frac{1}{2} \)，\( BC=5 \)，求 \( AC \)。
7. 判断：在直角三角形中，锐角越大，它的正切值也越大。（ ）
8. 已知 \( \tan A = \frac{3}{4} \)，则 \( \frac{\sin A}{\cos A} = \) ？（提示：回想一下 \( \sin \) 和 \( \cos \) 的定义）
9. 化简：\( \frac{\tan 30^\circ}{\tan 60^\circ} \)。
10. 在等腰直角三角形中，一个锐角的正切值是多少？

第二关：中考挑战（10道）

1. (2023·某市模拟) 在 \( \triangle ABC \) 中，\( AD \perp BC \) 于点 \( D \)，\( AD=6 \)，\( BD=4 \)，\( \tan C = \frac{3}{2} \)，求 \( CD \) 的长。
2. (2022·某省中考) 如图，在 \( 4 \times 4 \) 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点 \( A， B， C \) 都在格点上，则 \( \tan \angle ABC \) 的值为______。
   
   （提示：连接AC，构造直角三角形）
3. 已知 \( \alpha \) 为锐角，且 \( \tan \alpha = 2\sin \alpha \)，求 \( \cos \alpha \) 的值。
4. 在 \( Rt\triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^\circ \)，\( \tan A + \tan B = 4 \)，且三角形的面积为 \( 2 \)，求斜边 \( AB \) 的长。
5. 如图，在矩形 \( ABCD \) 中，\( AB=8 \)，\( BC=12 \)，\( E \) 是 \( BC \) 中点，连接 \( AE \) 并延长交 \( DC \) 的延长线于点 \( F \)，求 \( \tan \angle F \)。
6. 已知 \( \tan \theta = 3 \)，求 \( \frac{2\sin \theta - \cos \theta}{\sin \theta + 2\cos \theta} \) 的值。
7. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle A=30^\circ \)，\( \tan B = \frac{1}{3} \)，\( AC=2\sqrt{3} \)，求 \( AB \) 的长。
8. 如图，\( \triangle ABC \) 内接于 \( \bigodot O \)，\( AB \) 是直径，\( \tan \angle ABC = \frac{1}{2} \)，\( AC=2 \)，求 \( \bigodot O \) 的半径。
9. 若 \( \alpha， \beta \) 均为锐角，且 \( (\tan \alpha - 1)^2 + |\sqrt{3} - \tan \beta| = 0 \)，求 \( \alpha + \beta \) 的度数。
10. 如图，在四边形 \( ABCD \) 中，\( \angle B = \angle D = 90^\circ \)，\( AB=3 \)，\( BC=2 \)，\( \tan A = \frac{4}{3} \)，求 \( CD \) 的长。

第三关：生活应用（5道）

1. （测量）为测量河对岸电视塔 \( AB \) 的高度，在河这边选择 \( C \) 和 \( D \) 两点，测得 \( \angle ACB=45^\circ \)，\( \angle ADB=30^\circ \)，且 \( CD=50\text{m} \)，测角仪高 \( 1.2\text{m} \)。求电视塔的高度。（\( \tan 30^\circ \approx 0.58 \)）
2. （工程）某水坝的横断面是梯形 \( ABCD \)，坝顶 \( AD=4\text{m} \)，坝高 \( 6\text{m} \)，迎水坡 \( AB \) 的坡度 \( i=1:2 \)，背水坡 \( CD \) 的坡度 \( i=1:1 \)。求坝底 \( BC \) 的宽度。
3. （体育）一个单板滑雪“U型池”的截面可以近似看作抛物线或圆弧的一部分。已知池壁某点的切线与水平方向夹角为 \( 40^\circ \)，运动员在该点的瞬时速度方向平行于切线。若他想获得最大的垂直腾空高度，试分析速度与角度的关系。（提示：垂直速度分量 = 合速度 × \( \sin \theta \)，水平速度分量 = 合速度 × \( \cos \theta \)，考虑 \( \tan \theta \) 与分速度的关系）
4. （设计）设计师想做一个坡度为 \( 15^\circ \) 的无障碍斜坡。如果水平前进距离需要 \( 9\text{m} \)，那么这个斜坡的长度需要设计为多少米？（\( \tan 15^\circ \approx 0.27 \)）
5. （天文）在简易日晷上，晷针与水平地面的夹角等于当地纬度 \( \phi \)。已知某地纬度 \( \phi = 40^\circ \)，求在春分日正午时刻，晷针影长与晷针长度的比值。（提示：春分日太阳直射赤道，正午太阳高度角 \( H = 90^\circ - \phi \)；影长可借助包含太阳高度角和晷针的几何模型分析）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = 4 \)， \( \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4} \)。
2. \( \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)。
3. 答案不唯一，如两直角边长为 \( 2 \) 和 \( 1 \)，则 \( \tan \alpha = 2 \)。
4. \( 1 \)。
5. 坡度 \( i = 1:0.75 = \frac{1}{0.75} = \frac{4}{3} \)，即 \( \tan \) 值为 \( \frac{4}{3} \)。
6. \( \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{AC} = \frac{1}{2} \)，∴ \( AC = 10 \)。
7. ✅ 正确。在锐角范围内，角度增大，其对边与邻边的比值增大。
8. \( \frac{\sin A}{\cos A} = \tan A = \frac{3}{4} \)。
9. \( \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \)，\( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \)，原式 \( = \frac{\sqrt{3}/3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \)。
10. \( 1 \)。

第二关 & 第三关解析因篇幅所限，此处提供关键思路或最终答案：

第二关： 1. 设 \( CD = x \)，由 \( \tan C = \frac{AD}{CD} = \frac{6}{x} = \frac{3}{2} \)，得 \( x=4 \)。
2. 连接 \( AC \)，发现 \( \triangle ABC \) 是等腰三角形，需作高化直角。求得 \( \tan \angle ABC = \frac{1}{2} \)。
3. 由 \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 2\sin \alpha \)，得 \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \)。
4. 设两直角边为 \( a, b \)，则 \( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 4 \)，且 \( \frac{1}{2}ab = 2 \)。联立解得 \( a^2+b^2=8 \)，故斜边 \( AB=2\sqrt{2} \)。
5. 证 \( \triangle ABE \cong \triangle FCE \)，得 \( CF=AB=8 \)。在 \( Rt\triangle BCF \) 中，\( \tan \angle F = \frac{BC}{CF} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)。
6. 分子分母同除以 \( \cos \theta \)，原式 \( = \frac{2\tan \theta - 1}{\tan \theta + 2} = \frac{2\times3-1}{3+2} = 1 \)。
7. 作 \( CD \perp AB \) 于 \( D \)。由 \( \tan B = \frac{CD}{BD} = \frac{1}{3} \) 及 \( \angle A=30^\circ \) 得 \( AD = \sqrt{3}CD \)。设 \( CD=x \)，则 \( BD=3x \)，\( AD=\sqrt{3}x \)。由 \( AC=2\sqrt{3} \) 得 \( 2\sqrt{3} = \frac{x}{\sin 30^\circ} = 2x \)，∴ \( x=\sqrt{3} \)。\( AB=AD+BD=(\sqrt{3}+3)\sqrt{3}=3+3\sqrt{3} \)。
8. 由 \( \tan \angle ABC = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{2} \) 及 \( AC=2 \) 得 \( BC=4 \)。由勾股定理 \( AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=2\sqrt{5} \)，半径 \( R=\sqrt{5} \)。
9. 由非负性得 \( \tan \alpha = 1 \)，\( \tan \beta = \sqrt{3} \)，故 \( \alpha = 45^\circ \)，\( \beta = 60^\circ \)，\( \alpha + \beta = 105^\circ \)。
10. 延长 \( AD， BC \) 交于 \( E \)。在 \( Rt\triangle ABE \) 中，由 \( \tan A = \frac{BE}{AB} = \frac{4}{3} \) 得 \( BE=4 \)，故 \( CE=2 \)。在 \( Rt\triangle CDE \) 中，\( \tan \angle E = \tan A = \frac{4}{3} \)，∴ \( CD = CE \cdot \tan \angle E = 2 \times \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \)。

第三关： 1. 设塔高 \( AB = h \)。在 \( Rt\triangle ABC \) 和 \( Rt\triangle ABD \) 中，\( BC = h / \tan 45^\circ = h \)，\( BD = h / \tan 30^\circ \approx h / 0.58 \)。由 \( BD - BC = 50 \) 列方程求解，最后加测角仪高。
2. 分别利用两个坡度求出梯形的两个下底延长部分，坝底宽 \( BC = 4 + 2 \times 6 + 1 \times 6 = 22 \text{ m} \)。
3. 垂直腾空高度取决于垂直速度分量和重力作用时间。简化模型中，最大高度时垂直分速度为0，初垂直速度 \( v_{y0} = v \sin \theta \)，故 \( \tan \theta \) 决定了垂直与水平速度的分配比例，影响飞行的轨迹和高度。
4. 斜坡长度 \( l = \frac{9}{\cos 15^\circ} \approx \frac{9}{0.966} \approx 9.32 \text{ m} \)。（也可用勾股定理：垂直高 \( h = 9 \times \tan 15^\circ \approx 2.43 \text{ m} \)，\( l = \sqrt{9^2 + 2.43^2} \approx 9.32 \text{ m} \)）
5. 建立模型：晷针为线段 \( OP \)， \( O \) 在地面， \( P \) 为针尖。正午太阳光为平行光，与地面夹角为 \( H=50^\circ \)。过 \( P \) 作光线交地面于 \( S \)， \( OS \) 为影长。在包含 \( \angle H \) 和针角 \( \phi \) 的三角形中运用几何关系，可得影长与针长之比为 \( \frac{\sin \phi}{\tan H} \) 或类似形式。代入计算即可。