正比例和反比例的交点关于原点对称吗？正反交点坐标求法深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：正反交点 原理

• 核心概念：嘿，同学！想象一下，在坐标系的舞池中央站着原点O。正比例函数 \( y = kx \) ( \( k > 0 \) ) 是一位热情奔放的舞者，从原点出发，沿着直线奔向第一、三象限。反比例函数 \( y = \frac{m}{x} \) ( \( m > 0 \) ) 则是一位优雅含蓄的舞者，她的舞步是两支分布在第一、三象限的曲线。当她们在舞池中相遇时，神奇的事情发生了：她们总会成双成对地出现！而且，这两个相遇点（我们称之为“交点”），总是关于舞池中心——原点，完美地中心对称。就像一个点拉着另一个点，绕原点旋转 \( 180^\circ \) 后，正好重合。阿星说：这可不是巧合，这是数学的浪漫！
• 计算秘籍：
  1. 设方程：既然要求交点，就让两个舞者的“舞姿”（函数表达式）相等：\( kx = \frac{m}{x} \)。
  2. 去分母：两边同时乘以 \( x \) (注意：\( x \neq 0 \))，得到 \( kx^2 = m \)。
  3. 解方程：于是 \( x^2 = \frac{m}{k} \)，解得 \( x = \pm\sqrt{\frac{m}{k}} \)。
  4. 求纵坐标：将 \( x \) 值代入 \( y = kx \) (或 \( y = \frac{m}{x} \))，得到 \( y = \pm k\sqrt{\frac{m}{k}} = \pm\sqrt{km} \)。

  看！我们得到了一对解：\( P(\sqrt{\frac{m}{k}}, \sqrt{km}) \) 和 \( Q(-\sqrt{\frac{m}{k}}, -\sqrt{km}) \)。它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，这不正是关于原点 \( O(0,0) \) 对称的铁证吗？

• 阿星口诀：正反比例相交点，一三象限各一边；横纵坐标皆相反，原点对称记心间。

📐 图形解析

下面我们以 \( y = 2x \) 和 \( y = \frac{8}{x} \) 为例，看看它们在坐标系中的“舞蹈”与“相遇”。

上图中，蓝色直线 \( y = 2x \) 与绿色双曲线 \( y = \frac{8}{x} \) 相交于点 \( P(2,4) \) 和 \( Q(-2,-4) \)。通过虚线连接可以发现，线段 \( OP \) 和 \( OQ \) 长度相等且在一条直线上，完美诠释了关于原点中心对称。其坐标关系为：若 \( P(a, b) \)，则 \( Q(-a, -b) \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：解方程 \( kx = \frac{m}{x} \) 时，忘记 \( x \neq 0 \) 的条件，直接两边乘以 \( x \)，虽然结果通常不影响，但步骤不严谨。
  ✅ 正解：明确声明“由反比例函数知 \( x \neq 0 \)”，然后再进行运算，逻辑更严密。
• ❌ 错误2：求得 \( x^2 = \frac{m}{k} \) 后，只写出 \( x = \sqrt{\frac{m}{k}} \)，漏掉了负根，从而丢失一个交点。
  ✅ 正解：牢记正、反比例函数图像都关于原点对称，它们的交点必然成对出现。解 \( x^2 = c \) ( \( c > 0 \) ) 时，一定要写出 \( x = \pm\sqrt{c} \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 求正比例函数 \( y = x \) 与反比例函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的交点坐标。
2. 求正比例函数 \( y = \frac{1}{2}x \) 与反比例函数 \( y = \frac{2}{x} \) 的交点坐标。
3. 若正比例函数 \( y = 5x \) 与反比例函数 \( y = \frac{10}{x} \) 交于点 \( A \)，则点 \( A \) 的坐标是______。
4. 判断：正比例函数 \( y = -2x \) 与反比例函数 \( y = -\frac{8}{x} \) 的交点也关于原点对称。（提示：考虑 \( k, m \) 正负）
5. 已知一个交点是 \( (3, 2) \)，且两函数为正、反比例函数，求另一个交点坐标。
6. 正比例函数 \( y = kx \) 过点 \( (2,6) \)，反比例函数 \( y = \frac{m}{x} \) 过点 \( (-3, -4) \)，它们会相交吗？为什么？
7. 根据对称性，若 \( P(a, b) \) 是 \( y=2x \) 与 \( y=\frac{18}{x} \) 的一个交点，则 \( ab = \) ______。
8. 联立方程 \( y = \frac{1}{3}x \) 与 \( y = \frac{3}{x} \)，求解。
9. 点 \( M(n, 5) \) 在 \( y=\frac{15}{x} \) 上，它也在正比例函数 \( y=kx \) 上，求 \( k \) 及另一交点。
10. 画出 \( y=x \) 和 \( y=\frac{4}{x} \) 的示意图，并标出交点。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考改编) 若正比例函数 \( y = 2x \) 的图象与反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \) 的图象有一个交点的纵坐标是 \( 4 \)，则 \( k = \) ______，另一个交点的坐标是______。
2. 已知 \( A(1, m) \) 在 \( y=\frac{6}{x} \) 上，\( B(n, 2) \) 在 \( y=kx \) 上，且 \( A \)、\( B \) 关于原点对称。求 \( k \) 的值和 \( n \) 的值。
3. 正比例函数 \( y = (m-1)x \) 的图象与反比例函数 \( y = \frac{m}{x} \) 的图象的一个交点坐标为 \( (2, 3) \)，求 \( m \) 的值及另一个交点的坐标。
4. 若 \( P(x_0, y_0) \) 是正、反比例函数的一个交点，求证：\( x_0 \cdot y_0 = m \) 且 \( \frac{y_0}{x_0} = k \)。
5. （结合几何）已知交点 \( P(2, a) \)、\( Q(b, -6) \) 是某个正比例函数和反比例函数的交点，求以 \( P、Q、O \) 为顶点的三角形的周长。
6. 当 \( k \) 和 \( m \) 满足什么关系时，正比例函数 \( y=kx \) 与反比例函数 \( y=\frac{m}{x} \) 有交点？
7. （交点距离）求 \( y=3x \) 与 \( y=\frac{12}{x} \) 两交点之间的距离。
8. 已知一次函数 \( y=ax+b \) ( \( a \neq 0 \) ) 的图象与反比例函数 \( y=\frac{k}{x} \) 交于两点 \( C、D \)，且 \( C、D \) 关于原点对称。请问这个一次函数是正比例函数吗？请说明理由。
9. （面积问题）直线 \( y=2x \) 与双曲线 \( y=\frac{8}{x} \) 交于 \( A、B \) 两点，求 \( \triangle AOB \) 的面积。（提示：\( A、B \) 关于原点对称）
10. （参数范围）若正比例函数 \( y=(2k-1)x \) 的图象与反比例函数 \( y=\frac{1}{x} \) 的图象有交点，求 \( k \) 的取值范围。

第三关：生活应用（5道）

1. （工程效率）甲、乙两队共同完成一项工程，其效率关系可近似看作正比（合作越快）与反比（资源有限导致效率下降）的叠加。若“完全正比”模型为 \( y=4x \)（效率），“完全反比”模型为 \( y=100/x \)（单队耗时），求两模型“效率相等”时对应的两队规模（x）。这对应工程中的什么平衡点？
2. （光学反射）在某种理想光学模型中，入射角 \( \theta \) 与反射光强 \( I \) 的关系为正比例 \( I = k\theta \)，而介质吸收导致的光强衰减为反比例 \( I = C / \theta \)。当两个效应达到平衡（光强计算值相等）时，求平衡角 \( \theta \) 与常数 \( k, C \) 的关系。这类似于哪个物理现象？
3. （经济平衡）假设一种商品的“供给价格”线性增长（正比例 \( y=ax \)），而“市场需求价格”随数量增加而下降（反比例 \( y=b/x \)）。它们的交点称为“市场均衡点”。若已知均衡点数量为 \( 10 \) 万件，均衡价格为 \( 5 \) 元，求常数 \( a \) 和 \( b \)。
4. （测量与绘图）你有一张比例尺为 \( 1:k \) 的地图（正比例），和一个代表实际面积 \( S \) 与图上面积 \( s \) 成反比 \( s = A/S \) 的图例尺。当用这两个尺子测量同一区域，读数“一致”时，导出该区域实际面积 \( S \) 与比例尺 \( k \)、常数 \( A \) 的关系式。
5. （资源分配）在固定预算下，购买两种原料。原料A的“性价比”（性能/价格）与购买量成正比（因批发折扣），原料B的“总性能”与购买量成反比（因过量浪费）。当两者的“单位预算性能贡献”相等时，建立方程。这对应了管理中的什么决策原则？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 联立 \( x = \frac{1}{x} \)，得 \( x^2=1 \)，\( x=\pm1 \)。对应 \( y=\pm1 \)。交点为 \( (1,1) \) 和 \( (-1,-1) \)。
2. 联立 \( \frac{1}{2}x = \frac{2}{x} \)，得 \( x^2=4 \)，\( x=\pm2 \)。对应 \( y=\pm1 \)。交点为 \( (2,1) \) 和 \( (-2,-1) \)。
3. 联立 \( 5x = \frac{10}{x} \)，得 \( x^2=2 \)，\( x=\pm\sqrt{2} \)。所以点 \( A \) 可以是 \( (\sqrt{2}, 5\sqrt{2}) \) 或 \( (-\sqrt{2}, -5\sqrt{2}) \)。
4. 正确。即使 \( k \) 和 \( m \) 为负数，图像分别位于二、四象限，但求解 \( -2x = -\frac{8}{x} \) 仍得 \( x^2=4 \)，交点 \( (2,-4) \) 和 \( (-2,4) \)，坐标依然互为相反数，关于原点对称。
5. 直接利用对称性，另一个交点为 \( (-3, -2) \)。
6. 不一定。由点 \( (2,6) \) 得 \( k=3 \)；由点 \( (-3,-4) \) 得 \( m=12 \)。联立 \( 3x = \frac{12}{x} \) 得 \( x^2=4 \)，有解 \( x=\pm2 \)。所以当 \( x=2 \) 时，\( y=6 \)；当 \( x=-2 \) 时，\( y=-6 \)。给定的点 \( (-3,-4) \) 并不在解出的交点上，所以这两个特定的函数图像相交，但交点不是 \( (-3,-4) \)。题目问“它们会相交吗？”——会，因为有解。
7. 由 \( P \) 在 \( y=\frac{18}{x} \) 上，得 \( ab = 18 \)。
8. 联立 \( \frac{1}{3}x = \frac{3}{x} \)，得 \( x^2=9 \)，\( x=\pm3 \)。对应 \( y=\pm1 \)。交点为 \( (3,1) \) 和 \( (-3,-1) \)。
9. 由 \( 5=\frac{15}{n} \) 得 \( n=3 \)，所以 \( P(3,5) \)。由 \( 5=k \times 3 \) 得 \( k=\frac{5}{3} \)。另一交点 \( Q(-3,-5) \)。
10. （略）作图，交点应为 \( (2,2) \) 和 \( (-2,-2) \)。

第二关：中考挑战

1. 将 \( y=4 \) 代入 \( y=2x \) 得 \( x=2 \)，所以一个交点为 \( (2,4) \)。代入 \( y=\frac{k}{x} \) 得 \( k=8 \)。另一交点 \( (-2,-4) \)。
2. 由 \( A(1,m) \) 在 \( y=\frac{6}{x} \) 上，得 \( m=6 \)。∴ \( A(1,6) \)。∵ \( B \) 与 \( A \) 关于原点对称，∴ \( B(-1,-6) \)。∴ \( n=-1 \)。将 \( B(-1,-6) \) 代入 \( y=kx \) 得 \( -6 = k \times (-1) \)，∴ \( k=6 \)。
3. 将 \( (2,3) \) 代入 \( y=(m-1)x \) 得 \( 3=2(m-1) \)，解得 \( m=\frac{5}{2} \)。将 \( (2,3) \) 代入 \( y=\frac{m}{x} \) 验证：\( 3=\frac{5/2}{2} = \frac{5}{4} \)？矛盾！检查：点 \( (2,3) \) 应同时满足两个方程。正确解法：联立条件：① \( 3 = (m-1)\times2 \)；② \( 3 = \frac{m}{2} \)。由②得 \( m=6 \)。代入①得 \( 3=(6-1)\times2=10 \)，矛盾。说明题目有误？若改为“一个交点坐标为 \( (2,4) \)”，则由②得 \( m=8 \)，由①得 \( 4=2(m-1) \Rightarrow m=3 \)，依然矛盾。这说明对于给定的 \( m \)，交点坐标是固定的。可能原题意图是：已知一个交点，求 \( m \)，那么它必须同时满足两个方程，解出的 \( m \) 应一致。标准解法：设交点为 \( (x_0, y_0) \)，则 \( y_0 = (m-1)x_0 \) 且 \( y_0 = m/x_0 \)，消去 \( y_0 \) 得 \( (m-1)x_0^2 = m \)。已知 \( x_0=2, y_0=3 \)，代入任一求 \( m \)，若结果矛盾则无解。所以本题数据可能存在问题。这里给出一个修正后的思路：若数据无误，则意味着 \( m \) 有两个可能？实际上，联立 \( (m-1)x = m/x \) 得 \( (m-1)x^2 = m \)，当 \( x=2 \) 时，有 \( 4(m-1)=m \Rightarrow 4m-4=m \Rightarrow 3m=4 \Rightarrow m=4/3 \)。此时 \( y_0=(4/3 -1)*2 = (1/3)*2=2/3 \)，不等于3。所以原题数据确实错误。因此，本题在训练时应注重方法：利用交点同时满足两个方程建立关于 \( m \) 的方程组，并解出 \( m \)。如果数据矛盾，则指出矛盾。为示例，假设原题为“交点坐标为 \( (2, 2) \)”，则易得 \( m=4 \)，另一交点为 \( (-2,-2) \)。
4. 证明：∵ \( P(x_0, y_0) \) 在 \( y=\frac{m}{x} \) 上，∴ \( y_0 = \frac{m}{x_0} \)，即 \( x_0 y_0 = m \)。又 ∵ \( P(x_0, y_0) \) 在 \( y=kx \) 上，∴ \( y_0 = k x_0 \)，即 \( \frac{y_0}{x_0} = k \)。
5. ∵ \( P、Q \) 关于原点对称，∴ \( P(2, a) \)，\( Q(-2, -a) \)。又知 \( Q(b, -6) \)，∴ \( b=-2 \)，\( -a=-6 \Rightarrow a=6 \)。∴ \( P(2,6) \)，\( Q(-2,-6) \)，\( O(0,0) \)。三点共线，距离 \( OP = \sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10} \)，\( OQ=OP \)，\( PQ=2OP=4\sqrt{10} \)。周长 \( = 2\sqrt{10} + 2\sqrt{10} + 4\sqrt{10} = 8\sqrt{10} \)。
6. 联立 \( kx = \frac{m}{x} \) 得 \( kx^2 = m \)。要有实数交点，需 \( x^2 = \frac{m}{k} > 0 \)。因此，\( m \) 和 \( k \) 必须同号（即 \( mk > 0 \)）。
7. 联立得 \( 3x = \frac{12}{x} \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \)。交点 \( A(2,6) \)，\( B(-2,-6) \)。距离 \( AB = \sqrt{(2-(-2))^2 + (6-(-6))^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \)。
8. 是。设 \( C(p, q) \)，则 \( D(-p, -q) \)。将 \( C、D \) 坐标代入 \( y=ax+b \)，得：\( q = ap + b \) 和 \( -q = -ap + b \)。两式相加得 \( 0 = 2b \)，所以 \( b=0 \)。因此一次函数为 \( y=ax \)，是正比例函数。
9. 交点 \( A(2,4) \)，\( B(-2,-4) \)。∵ \( A、O、B \) 共线，∴ \( S_{\triangle AOB} = 0 \)。（若题目意指由 \( A、B \) 及 \( x \) 轴或 \( y \) 轴围成的图形，则另当别论，但标准三角形 \( AOB \) 面积为0）。
10. 联立 \( (2k-1)x = \frac{1}{x} \) 得 \( (2k-1)x^2 = 1 \)。要有交点，需 \( 2k-1 \neq 0 \) 且 \( x^2 = \frac{1}{2k-1} > 0 \)。所以 \( 2k-1 > 0 \)，即 \( k > \frac{1}{2} \)。

第三关：生活应用（思路点拨）

1. 令 \( 4x = \frac{100}{x} \)，解得 \( x = 5 \) (负值舍去)。这对应于工程中“理论合作效率”与“资源受限导致的效率衰减”达到平衡的团队规模临界点。
2. 令 \( k\theta = \frac{C}{\theta} \)，得 \( \theta^2 = \frac{C}{k} \)，即 \( \theta = \sqrt{\frac{C}{k}} \) (取正值)。这类似于光学中的“布儒斯特角”概念，特定角度下反射光与折射光强度关系发生转变。
3. 设供给函数 \( y_s = ax \)，需求函数 \( y_d = \frac{b}{x} \)。均衡点 \( (10, 5) \)。代入得：\( 5 = a \times 10 \Rightarrow a=0.5 \)；\( 5 = \frac{b}{10} \Rightarrow b=50 \)。
4. 设实际长度为 \( L \)，地图上长度为 \( l = \frac{1}{k} L \)。实际面积为 \( S \)，图上面积为 \( s = \frac{A}{S} \)。对于正方形区域，有 \( s = l^2 \)。∴ \( \frac{A}{S} = (\frac{L}{k})^2 \)。又 \( S = L^2 \)，代入得 \( \frac{A}{S} = \frac{S}{k^2} \)，即 \( S^2 = A k^2 \)，\( S = k\sqrt{A} \) ( \( S>0 \) )。这给出了在双尺约束下区域面积必须满足的条件。
5. 设原料A购买量 \( x \)，性能函数 \( P_A = \alpha x \) ( \( \alpha \) 为性价比系数)，价格 \( p_A \)，故单位预算性能 \( = \frac{\alpha x}{p_A x} = \frac{\alpha}{p_A} \) (常数)。原料B购买量 \( y \)，性能函数 \( P_B = \frac{\beta}{y} \) ( \( \beta \) 为常数)，价格 \( p_B \)，单位预算性能 \( = \frac{\beta/y}{p_B y} = \frac{\beta}{p_B y^2} \)。令两者相等：\( \frac{\alpha}{p_A} = \frac{\beta}{p_B y^2} \)，可得 \( y = \sqrt{\frac{\beta p_A}{\alpha p_B}} \)。这对应于“边际效用相等”的资源分配原则。