初中数学折叠问题全解析：勾股定理列方程 核心解题技巧突破专项练习题库

💡 阿星精讲：折叠问题 原理

• 核心概念：嘿，我是阿星！想象一下，你有一张纸，一折，世界就对称了。在数学的“折叠问题”里，这张纸就是几何图形（矩形、三角形）。折痕就像它的“腰线”，折叠意味着一个点（或一条边）被“绑架”到了对称的位置。核心任务就是：找到这条“腰线”（折痕）的长度或位置。而我的秘诀是：“设折痕为 \( x \)，利用勾股定理列关于 \( x \) 的方程。” 为什么？因为折叠创造了全等，全等带来了相等的边，相等的边往往能和折痕一起，“囚禁”在一个直角三角形里，这时候，勾股定理这位“大法官”就能出面，列出方程，一锤定音！
• 计算秘籍：
  1. 标清已知：在图上明确标出所有已知长度。
  2. 设定未知：设所求折痕或线段长为 \( x \)。
  3. 寻找“囚徒”：找到折叠后重合的对应点、对应边。它们必然相等，这也是等量的来源。
  4. 构造“法庭”：连接关键点，构造出一个直角三角形，让折痕 \( x \) 和已知、未知的线段都成为这个三角形的边（或高）。
  5. 宣判方程：对这个直角三角形使用勾股定理 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，列出关于 \( x \) 的方程。
  6. 求解验证：解方程，并根据题意舍去不合理根。
• 阿星口诀：图形一折变对称，对应边角永相等。设好未知 \( x \) 当腰，勾股定理列方程。

📐 图形解析

下图展示了一个经典的矩形折叠模型：将矩形一角 \( A \) 折叠到边 \( CD \) 上的 \( A' \) 点，折痕为 \( EF \)。我们的目标是求折痕 \( EF \) 的长度 \( x \)。关键在于，\( EF \) 是 \( AA' \) 的中垂线。

设 \( AD = a \)，\( AB = b \)，\( A‘D = m \)。由折叠可知，\( AE = A‘E \)，\( AF = A‘F \)。为了求折痕 \( EF = x \)，我们通常需要先利用 \( Rt\triangle A‘DE \) 的勾股定理求出 \( A‘E \) (即 \( AE \))，再在另一个直角三角形（如 \( Rt\triangle AEF \) 或构造的三角形）中，对 \( x \) 列方程。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：只看到折叠后的图形，忘记折叠前的全等关系。 → ✅ 正解：折叠即轴对称，折叠前后的对应线段相等、角相等。这是列等量关系的基石。
• ❌ 错误2：胡乱构造直角三角形，三条边与 \( x \) 的关系不明确。 → ✅ 正解：优先寻找已知边最多、或最易于用 \( x \) 表示边的直角三角形。折痕常常是斜边或直角边。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 将一张长方形纸片按如图方式折叠，已知 \( \angle 1 = 50^\circ \)，求 \( \angle 2 \) 的度数。
2. 矩形纸片 \( ABCD \)，\( AB=5cm \)，\( BC=12cm \)。将 \( \triangle ABC \) 沿对角线 \( AC \) 折叠，点B落在点E处。求 \( \triangle ADE \) 的周长。
3. 如图，将边长为 \( 8 \) 的正方形 \( ABCD \) 折叠，使点 \( D \) 落在 \( BC \) 中点 \( E \) 处，折痕为 \( MN \) (M在AB上，N在AD上)。求线段 \( AM \) 的长度。
   
4. 在 \( Rt\triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^\circ \)，\( AC=6 \)，\( BC=8 \)。将 \( \angle A \) 沿某条直线折叠，使点A落在斜边AB上，若折痕交AC于点D，交AB于点E，求 \( CD \) 的长。
5. 将一张宽度相等的纸条按如图所示折叠，若 \( \angle 1 = 110^\circ \)，求 \( \angle 2 \) 的度数。
6. 矩形 \( ABCD \)，\( AB=3 \)，\( AD=4 \)。将 \( \triangle ADE \) 沿 \( AE \) 折叠，使点D与点B重合。求折痕 \( AE \) 的长。
7. 如图，将 \( \triangle ABC \) 沿 \( DE \) 折叠，使点A与点C重合。已知 \( AB=7 \)，\( BC=6 \)，\( AC=9 \)，求 \( \triangle BCD \) 的周长。
   
8. 将矩形 \( ABCD \) 沿 \( EF \) 折叠，使点D与点B重合。若 \( AB=6 \)，\( AD=8 \)，求折痕 \( EF \) 的长度。
9. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=AC \)，\( \angle A=40^\circ \)。将 \( \triangle BCD \) 沿 \( CD \) 折叠，使点B落在AC边上的点E处。若 \( AD=DE \)，求 \( \angle B \) 的度数。
10. 把一张对边平行的纸条折叠如图所示，若 \( \angle \alpha = 75^\circ \)，求 \( \angle \beta \) 的度数。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）矩形 \( ABCD \)，\( AB=8 \)，\( BC=12 \)。点E在BC上，将 \( \triangle ABE \) 沿 \( AE \) 折叠，点B落在矩形内点F处，连接 \( CF \)。若 \( \sin \angle FCE = \frac{3}{5} \)，求 \( BE \) 的长。
2. （中考真题改编）正方形 \( ABCD \) 边长为 \( 6 \)，点E是BC中点，将 \( \triangle ABE \) 沿 \( AE \) 折叠，点B的对应点为G，连接 \( CG \) 并延长交AD于F。求 \( DF \) 的长。
3. 在菱形 \( ABCD \) 中，\( \angle BAD=60^\circ \)，\( AB=6 \)，将菱形沿对角线 \( AC \) 折叠，点B落在点E处，连接 \( DE \)。求 \( DE \) 的长。
4. （动点折叠）矩形 \( ABCD \) 中，\( AB=4 \)，\( AD=6 \)。点P从A出发沿 \( AB \) 向B运动，速度为 \( 1 \) 单位/秒。同时点Q从B出发沿 \( BC \) 向C运动，速度为 \( 2 \) 单位/秒。将 \( \triangle PBQ \) 沿 \( PQ \) 折叠，设运动时间为 \( t \) 秒，当点B的对应点落在 \( CD \) 边上时，求 \( t \) 的值。
5. 如图，在 \( Rt\triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^\circ \)，\( AC=3 \)，\( BC=4 \)。将 \( \triangle ABC \) 沿某条直线折叠，使点C落在 \( AB \) 边上的点D处，折痕交 \( AC \)、\( BC \) 分别于点E、F。求 \( \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\四边形 BEFD}} \) 的值。
   
6. （翻折与最值）矩形 \( ABCD \)，\( AB=2 \)，\( AD=3 \)。点E是BC边上的动点，将 \( \triangle ABE \) 沿 \( AE \) 折叠，点B的对应点为F。求线段 \( DF \) 长度的最小值。
7. 将边长为 \( 6 \) 的正方形 \( ABCD \) 折叠，使点D始终落在 \( AB \) 的中点M处，折痕与 \( AD \)、\( BC \) 分别交于点P、Q。求折痕 \( PQ \) 长度的取值范围。
8. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=4 \)，\( AC=3\sqrt{2} \)，\( \angle BAC=45^\circ \)。将 \( \triangle ABC \) 沿过点A的直线折叠，使点C落在 \( AB \) 边上的点C‘处。求折痕的长度。
9. （多次折叠）将矩形纸片 \( ABCD \) 按如下顺序折叠：（1）对折，使AD与BC重合，折痕为EF；（2）将纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点G处，折痕为BH（H在AD上）。若 \( AB=4 \)，求 \( GH \) 的长。
10. （坐标系中的折叠）在平面直角坐标系中，矩形 \( OABC \) 的顶点 \( O(0,0) \)，\( A(10,0) \)，\( C(0,4) \)。将矩形沿对角线 \( OB \) 折叠，点A落在点D处。求直线 \( CD \) 的解析式。

第三关：生活应用（5道）

1. （木工师傅的智慧）一块矩形的木板 \( ABCD \)，长 \( AB=120cm \)，宽 \( BC=80cm \)。木工师傅需要在木板内部裁出一个等腰直角三角形 \( AEF \)（\( \angle A=90^\circ \)），他的方法是：以A为顶点，将 \( AD \) 边折叠到 \( AB \) 边上，压出的折痕线作为三角形的一条直角边。请问他能裁出的这个等腰直角三角形的最大面积是多少？
2. （礼品包装）小星要用一张长 \( 30cm \)、宽 \( 20cm \) 的矩形包装纸，包一个底面为正方形的长方体盒子。他采用如图方式折叠包装纸，使四个角都折起。若要求折起的部分（阴影）是全等的等腰直角三角形，且盒子的底面边长为 \( 10cm \)。请问包装纸的长度方向需要折进去多少厘米（即图中 \( x \) 的值）？
   
3. （测量河流宽度）在无法直接过河的情况下，测量员小星站在河岸B点，正对岸是A点。他沿着河岸垂直方向走了 \( 30 \) 米到C点，然后从C点向河岸内侧走了 \( 16 \) 米到D点。此时他将测量仪（视为一个点）放在D点，通过“折叠视线”的方法（即保证 \( \angle ADB = \angle CDB \)），确认了A点的方向。请根据这个“折叠角”的原理，利用勾股定理计算河流的宽度 \( AB \)。
4. （折纸艺术与数学）一种经典的折纸“纸鹤”的基部是一个正方形。从正方形开始，通过一系列折叠，会形成一个著名的几何图形——“筝形”（两组邻边分别相等的四边形）。假设原始正方形边长为 \( 1 \)，在其中一个关键折叠步骤中，需要将正方形的一个角折到其对角线上，使得折痕经过该角顶点。若折叠后，该角顶点恰好落在对角线中点，求这条折痕的长度。
5. （建筑中的折叠结构）某种可伸缩的屋顶桁架结构模型如图所示，它由多个菱形单元连接而成。当完全展开时（如图实线），它是一个大菱形。当需要收缩时，通过铰链使某些顶点重合，结构会沿着预设的“折痕”（虚线）折叠，变成紧凑的形状（如图虚线）。已知完全展开时大菱形边长 \( AC = 10m \)，\( \angle BAD = 60^\circ \)。每条预设折痕都是连接对边中点的线段。求结构完全折叠后，整个模型的投影宽度（即图中 \( PQ \) 的长度）是多少？
   

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关 基础热身 解析示例（第3题）：

已知正方形边长 \( 8 \)，\( E \) 为 \( BC \) 中点，故 \( BE = EC = 4 \)。由折叠，\( DN = NE \)。设 \( AM = y \)，则 \( BM = 8 - y \)。设 \( DN = NE = x \)，则 \( NC = 8 - x \)。
在 \( Rt\triangle ECN \) 中，由勾股定理：\( EC^2 + NC^2 = EN^2 \)，即 \( 4^2 + (8-x)^2 = x^2 \)。解得 \( x = 5 \)。
连接 \( ME \)，由折叠对称性，\( ME = DE \)。在 \( Rt\triangle MBE \) 中，\( MB^2 + BE^2 = ME^2 \)；在 \( Rt\triangle MDA \) 中，\( MA^2 + AD^2 = MD^2 \)，且 \( MD = ME \)。故 \( (8-y)^2 + 4^2 = y^2 + 8^2 \)。解得 \( y = 1 \)。∴ \( AM = 1 \)。