找规律题型怎么解？看准第一项和步长，三步写出第n项公式｜数学侦探题深度解析专项练习题库

好的，同学！欢迎来到星火AI数学侦探社。我是你的首席顾问，今天将由我和我的助教阿星，带你用侦探的思维，破解“找规律”的所有谜案！

💡 阿星精讲：找规律 原理

• 核心概念：阿星说：“找规律就像破案！数列就是一串神秘的密码。‘第一项’就是案发起点，它告诉了你故事的开始。‘步长’就是嫌犯每次作案留下的固定痕迹，是变大还是变小，变化了多少。我们的任务，就是根据这些线索，写出一个万能公式，用它就能算出第 \( n \) 个数是谁，不管它藏得多深！”
• 计算秘籍：
  1. 勘察现场（观察）：仔细观察数列的前几项，例如：\( 3, 7, 11, 15, ... \)
  2. 锁定步长（计算）：计算相邻两项的差：\( 7-3=4 \), \( 11-7=4 \), \( 15-11=4 \)。发现“步长”是固定的 \( 4 \)。
  3. 重建模型（推导）：这是一个等差数列。第 \( n \) 个数 = 第一项 + 步长 × ( \( n - 1 \) )。所以公式是：\( a_n = 3 + 4 \times (n-1) \)。
  4. 验证线索（检验）：用公式算第4项：\( n=4 \), \( a_4 = 3 + 4 \times (4-1) = 15 \)，完全正确！
• 阿星口诀：看准起点第一项，固定步长别心慌，第n个数用公式，代入n值结果棒！

📐 图形解析

规律不仅是数字，图形中也藏着秘密！比如用点阵表示数列 \( 1, 3, 5, 7, ... \)，我们可以清晰地看到每次增加2个点（步长=2）。

数列通项公式：\( a_n = 1 + 2 \times (n-1) = 2n - 1 \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：只看一眼就猜规律。比如数列 \( 1, 2, 4, ... \)，有人会猜是“翻倍”，下一个是8。
  ✅ 正解：必须多验证几组“步长”。这里差是 \( 1, 2, ... \)，步长本身在变化，可能是 \( +1, +2, +3, ... \)，所以第四项也可能是 \( 4+3=7 \)。要警惕“伪规律”！
• ❌ 错误2：忘记“第一项”对应的 \( n \)。直接写 \( a_n = 4n \)。
  ✅ 正解：牢记侦探法则：第1项是起点。当 \( n=1 \) 时，公式必须等于第一项。对于 \( 3, 7, 11,... \)，如果写 \( a_n = 4n \)，那么 \( a_1=4 \)，不对。正确是 \( a_n = 4n - 1 \) 或 \( a_n = 3 + 4(n-1) \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 数列 \( 6, 11, 16, 21, ... \)，第8项是几？
2. 数列 \( 20, 17, 14, 11, ... \)，第10项是几？这是一个步长为____的数列。
3. 数列 \( 1, 4, 9, 16, ... \) 的第 \( n \) 项是____。（提示：想想平方）
4. 用火柴搭小鱼，如图，搭1条用8根，2条用14根，3条用20根，搭 \( n \) 条需要____根。
   
5. 找规律填空：\( 2, 4, 8, 16, \)____。
6. 找规律填空：\( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \)____。
7. 观察下列图形中点子的数量，写出第 \( n \) 个图形的点子数。
   
8. 数列 \( -5, -2, 1, 4, ... \)，写出通项 \( a_n = \)____。
9. 第一个房间有4盏灯，每增加一个房间多3盏灯，第 \( n \) 个房间有____盏灯。
10. 用 \( n \) 表示奇数序列：1, 3, 5, 7, ... 的通项是____。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考改编）按图示规律摆放三角形，第5个图案需要____个三角形。
   
2. 数列 \( \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, ... \) 的第 \( n \) 项是____。
3. 观察：\( 1 = 1^2, 1+3 = 2^2, 1+3+5 = 3^2, 1+3+5+7 = 4^2, ... \)，则 \( 1+3+5+...+(2n-1) = \)____。
4. 用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图规律拼成图案，则第 \( n \) 个图案中有白色地砖____块。
   
   （提示：图1有6块白砖，图2有10块...）
5. 已知数列的前几项为 \( 0, 3, 8, 15, 24, ... \)，写出 \( a_n = \)____。
6. 一列数：\( \frac{2}{3}, -\frac{4}{5}, \frac{6}{7}, -\frac{8}{9}, ... \)，则第7个数是____。
7. 如图，每个图形都由边长为1的小正方形按一定规律堆叠，第 \( n \) 个图形的周长是____。
   
8. 在日历中，用方框框住四个数 \( a, b, c, d \)（例如2x2区域），则 \( a, b, c, d \) 之间的关系是____。
9. 数列 \( 1, -2, 4, -8, 16, ... \) 的第 \( n \) 项是____。
10. 观察下列等式：\( 1^3=1^2, 1^3+2^3=3^2, 1^3+2^3+3^3=6^2, 1^3+2^3+3^3+4^3=10^2 \)，则 \( 1^3+2^3+...+n^3 = \)____。

第三关：生活应用（5道）

1. （植树问题）在一条长100米的道路一边植树，每隔5米种一棵（两端都种），一共需要多少棵树苗？如果路长是 \( L \) 米，间隔是 \( d \) 米（两端都种），树苗数量 \( N = \)____。
2. （贷款计算）一种等额本息还款方式，每月还款额固定。如果第一个月还利息 \( a \) 元，本金 \( b \) 元，且每月利息比上月减少固定金额 \( m \) 元，本金比上月增加固定金额 \( m \) 元。那么第 \( n \) 个月的利息是多少元？
3. （阶梯电价）某市电价按阶梯收费：第一档0-200度，每度 \( p_1 \) 元；第二档201-400度，每度 \( p_2 \) 元（\( p_2 > p_1 \)）。小明家某月用电 \( x \) 度（\( x > 400 \)），请写出总电费 \( y \) 关于 \( x \) 的表达式。
4. （座位安排）一个礼堂的座位第一排有 \( a \) 个，往后每一排比前一排多 \( d \) 个。求第 \( n \) 排的座位数。如果共有 \( n \) 排，这个礼堂总共能坐多少人？
5. （细胞分裂）某种细胞每30分钟分裂一次（一个变两个），经过 \( n \) 个30分钟后，细胞总数 \( S = \)____。如果一开始有 \( M \) 个细胞呢？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：

1. 解析：步长 \( d=5 \)， \( a_8 = 6 + 5 \times (8-1) = 6 + 35 = 41 \)。
2. 解析：步长 \( d = -3 \)， \( a_{10} = 20 + (-3) \times (10-1) = 20 - 27 = -7 \)。
3. \( a_n = n^2 \)。
4. 解析：数列 \( 8, 14, 20,... \)，步长 \( d=6 \)， \( a_n = 8 + 6(n-1) = 6n + 2 \)。
5. 解析：等比数列，公比 \( q=2 \)，下一项是 \( 16 \times 2 = 32 \)。
6. 解析：等比数列，公比 \( q=\frac{1}{2} \)，下一项是 \( \frac{1}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16} \)。
7. 解析：点子数就是 \( n \)。所以 \( a_n = n \)。
8. 解析：步长 \( d=3 \)， \( a_n = -5 + 3(n-1) = 3n - 8 \)。
9. 解析：等差数列，首项4，公差3， \( a_n = 4 + 3(n-1) = 3n+1 \)。
10. \( a_n = 2n - 1 \)。

第二关：

11. 解析：数列 \( 1, 2, 3, ... \)，所以第5个图案需要5个三角形。
12. 解析：分子是 \( n \)，分母是 \( n+1 \)，所以 \( a_n = \frac{n}{n+1} \)。
13. \( n^2 \)。（这是连续奇数和公式）
14. 解析：数列 \( 6, 10, 14, ... \)，步长 \( d=4 \)， \( a_n = 6 + 4(n-1) = 4n+2 \)。
15. 解析：观察：\( 0=1^2-1, 3=2^2-1, 8=3^2-1,... \) 所以 \( a_n = n^2 - 1 \)。
16. 解析：符号正负交替，用 \( (-1)^{n+1} \) 调节。分子是 \( 2n \)，分母是 \( 2n+1 \)。第7项为正：\( \frac{14}{15} \)。
17. 解析：周长数列：\( 8, 16, 24, ... \)，步长 \( d=8 \)， \( C_n = 8n \)。
18. 解析：设左上角为 \( a \)，则 \( b = a+1, c = a+7, d = a+8 \)（以一周七天为例）。关系：\( a+d = b+c \)。
19. 解析：绝对值是等比 \( 2^{n-1} \)，符号交替。 \( a_n = (-1)^{n+1} \cdot 2^{n-1} \) 或 \( a_n = (-2)^{n-1} \)。
20. 解析：观察右边底数：\( 1, 3, 6, 10,... \) 即 \( \frac{n(n+1)}{2} \)。所以 \( 1^3+...+n^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2 \)。

第三关：

21. 解析： \( N = \frac{100}{5} + 1 = 21 \)。通用公式：\( N = \frac{L}{d} + 1 \)。
22. 解析：第n个月的利息构成等差数列，首项 \( a \)，公差 \( -m \)。所以第n个月利息 \( I_n = a + (-m)(n-1) = a - m(n-1) \)。
23. 解析： \( y = 200p_1 + 200p_2 + (x-400)p_3 \)（假设第三档单价 \( p_3 \)）。更一般的，若第二档止于400度，则 \( y = 200p_1 + 200p_2 + (x-400)p_3 \)。本题未给出 \( p_3 \)，常见表述为 \( y = 200p_1 + 200p_2 + p_3(x-400) \)。
24. 解析：第n排座位数：\( a_n = a + d(n-1) \)。总人数：\( S_n = \frac{n}{2} \times [2a + d(n-1)] \)（等差数列求和）。
25. 解析： \( S = 2^n \)。初始有 \( M \) 个：\( S = M \cdot 2^n \)。