正方体展开图11种类型全解析：从拆快递到攻克空间想象难题专项练习题库

💡 阿星精讲：展开图 原理

• 核心概念：想象一下，你收到了一个正方体形状的快递（比如一个骰子）。要想知道里面是啥，你得把它“拆开”。这个“拆开”并把它平铺在桌子上的过程，就叫展开，得到的那个平面图形，就叫展开图。阿星老师提醒你：正方体这个“快递盒”拆开的方式不是随意的，它有固定的“拆法”，总共有 \(11\) 种。为了方便记忆，我们可以根据中间一排（最长的连续一排）正方形的个数来分类，总结成四句口诀：“一四一”有 \(6\) 种，“一三二”有 \(3\) 种，“二二二”和“三三”各有 \(1\) 种。记住，拆开后，\(6\) 个面必须全部通过边相连，不能“散架”。
• 计算秘籍：展开图问题的核心是找到“相对的面”和“相邻的面”。在正方体展开图中，相对的两个面永远不会有公共边（即不相邻）。解题时，可以：
  1. 定位基准面：确定一个面作为参照。

  寻找相对面：采用“隔行/列”法。在“一四一”型中，上下两个面与中间那行的四个面都是相对的；在同一行/列中，间隔一个面的两个面是相对面。

  计算：若已知某个面上的数字或字母，其对面上的值在折叠后满足相对关系。例如，若面 \(A\) 与面 \(B\) 相对，且 \(A=3\)，则折叠后 \(A\) 和 \(B\) 不会相邻。

• 阿星口诀：拆快递，有门道，六面相连是王道。一四一，最常见，一三二，两相连，二二二，楼梯现，三三型，仅有两。找对面，隔一行，临面永远肩并肩。

📐 图形解析

下图展示了从“正方体快递盒”到其一种“一四一”型展开图的过程：

注意观察：在展开图中，原来正方体中“相对的面”（如上与下、前与后、左与右）被“拆开”了。例如，“上”和“下”被中间一行四个面隔开。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为展开图中，中间隔了一个正方形的两个面就是相对面。
  ✅ 正解：判断相对面要看结构。在“一四一”型中，两端的正方形是相对面。在“一三二”型中，处于“三”字头尾位置的两个正方形通常是相对面。必须结合四种类型具体分析。
• ❌ 错误2：随意拼接6个正方形，认为只要面积对就能拼成正方体。
  ✅ 正解：除了是6个正方形，关键条件是它们必须通过边相连形成一个连通图，且折叠时任何两个面不得重叠。有“田”字形或“凹”字形缺口（5个正方形）的图形一定不是正方体展开图。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 正方体的展开图一共有多少种？请说出四种类型的名称。
2. 判断：以下图形中，哪个是正方体的展开图？（配简单线图：一个标准“一四一”，一个“田”字形，一个“7”字形缺一口）
3. 在“一四一”型展开图中，如果中间一排从左到右依次是“红、黄、蓝、绿”，那么“红”色的对面是什么颜色？
4. 一个正方体，上面写着“学”，下面写着“习”，前面写着“进”，那么它的后面很可能写着什么？（假设相对面是反义词）
5. 计算：一个正方体棱长为 \(5\ \text{cm}\)，它的表面积是多少？
6. 下图是正方体展开图，面“X”的对面是哪个面？（给一个“一三二”型图，标出X, A, B, C, D, E）
7. 把“祝你成功”四个字分别写在正方体的四个相邻面上，那么“你”字的对面不可能是什么字？
8. 一个正方体六个面分别标有 \(1\) 到 \(6\) 的数字，其部分展开图如下，数字 \(1\) 的对面是数字几？（给图）
9. 用一张纸制作一个棱长为 \(2\ \text{dm}\) 的正方体盒子，不考虑粘贴部分，至少需要多大面积的纸？
10. 生活连线：请将“正方体展开图”与“拆开的快递纸箱”用线连起来。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题改编) 一个正方体的每个面都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，与“富”字相对的面上的汉字是（ ）。（图：一四一型，中间为“强、民、主、文”，上为“富”，下为“明”）
2. 如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形 \(A, B, C\) 内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填入正方形 \(A, B, C\) 内的三个数依次为多少？（图：带数字的展开图）
3. 已知一个正方体的展开图如图所示，\(x\) 的值为 \(4\)，且相对面上的两个数之和都相等，求 \(y\) 的值。（图：带未知数x,y的展开图）
4. 一个小立方块的六个面分别标有字母 \(A, B, C, D, E, F\)，从三个不同方向看到的情形如图所示，则 \(A\) 的对面是____，\(B\) 的对面是____。（配三视图）
5. 一个几何体的三视图都是边长为 \(2\) 的正方形，则这个几何体的表面积是____。
6. 用 \(24\) 个棱长为 \(1\) 的小正方体可以拼成几种不同的长方体（要求全部用完）？这些长方体的表面积分别是多少？
7. 如图，下列图形经过折叠不能围成一个正方体的是（ ）。（给出四个图形选项）
8. 一个正方体的六个面分别写着“我”、“爱”、“数”、“学”、“真”、“好”，根据下面两幅图，判断“数”的对面是什么字。（给两个有公共面的立体图或展开图片段）
9. 若正方体的棱长扩大为原来的 \(3\) 倍，则其表面积扩大为原来的____倍。
10. 一个无盖的正方体纸盒，底面标有字母 \(M\)，将其展开铺平，图形可能是（ ）。（给出四个选项，注意无盖即少一个面）

第三关：生活应用（5道）

1. 【包装设计】某公司要设计一款棱长为 \(0.5\ \text{m}\) 的正方体设备包装箱的平面印刷版（展开图）。为了节省材料，工程师希望选择一种使得印刷版外轮廓矩形周长最小的展开图类型。请基于“一四一”型（轮廓近似长 \(4a\)，宽 \(3a\)）和“三三”型（轮廓近似长 \(3a\)，宽 \(2a\)）估算，哪种类型的版式可能更省包装材料（按周长粗略估计）？计算两种版式轮廓矩形的周长。
2. 【建筑剪裁】要给一个房间的墙角装一个棱长为 \(50\ \text{cm}\) 的正方体立柱装饰（三面靠墙），需要给露出的三个面贴上瓷砖。请画出需要贴瓷砖部分的展开示意图，并计算需要多少平方米的瓷砖。
3. 【艺术创作】一位艺术家想在一个正方体木块的每个面上绘制不同的图案，并计划通过拍摄其展开图来展示所有图案。为了获得最佳的视觉布局，他应该优先考虑哪种类型的展开图？为什么？（从图案连贯性、对称性角度思考）
4. 【编程思维】在计算机图形学中，正方体的“纹理贴图”就是一种展开图应用。如果一个游戏中的正方体箱子每个面都需要一张 \(512 \times 512\) 像素的图片，那么制作这个箱子的完整纹理贴图，至少需要一张多大像素的矩形图片？请说明你的计算依据。
5. 【节约环保】回收站里，一个被压扁的正方体纸箱（近似看作展开图）测量其轮廓矩形长为 \(120\ \text{cm}\)，宽为 \(90\ \text{cm}\)。假设它是标准的“一四一”型展开，请反推这个纸箱原来的棱长大约是多少厘米？并估算它原来的体积。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关 解析（节选）

1. \(11\) 种。一四一型、一三二型、二二二型、三三型。
2. 标准“一四一”型是，“田”字形和“7”字形缺一口都不是。
3. “红”与“绿”相对。因为在“一四一”型中间一排，两端的正方形是相对面。
4. “退”。（“进”与“退”相对）
5. \(S = 6 \times 5^2 = 6 \times 25 = 150\ (\text{cm}^2)\)

第二关 解析（节选）

1. “强”。（“富”与“强”相对，位于“一四一”型的上下两端）
2. （根据具体图形解答，例如若A与-1相对，则A填1）
3. （根据具体图形和条件列方程求解）

第三关 解析（思路点拨）

1. “一四一”型轮廓矩形周长：\(P_1 = 2 \times (4a + 3a) = 14a = 14 \times 0.5 = 7\ (\text{m})\)。“三三”型轮廓矩形周长：\(P_2 = 2 \times (3a + 2a) = 10a = 10 \times 0.5 = 5\ (\text{m})\)。从周长看，“三三”型可能更省料。但实际还需考虑纸张利用率（面积）和切割工艺。
2. 只需贴露出的上、前、右三个面。展开图可以是这三个面相连的任意形状（如L型）。面积：\(S = 3 \times (0.5 \times 0.5) = 3 \times 0.25 = 0.75\ (\text{m}^2)\)。
3. 可以考虑“一四一”型。因为它的结构对称，中间一排四个面可以展示连贯的横向主题图案，上下两个面可以设计成对应的顶盖和底盖图案，整体布局均衡，符合视觉习惯。
4. 至少需要一张能容纳 \(6\) 个面的矩形图片。如果采用“一四一”型布局，可以安排为 \(2 \times 3\) 或 \(3 \times 2\) 的网格。例如，按 \(2 \times 3\) 排列，则图片尺寸至少为 \( (2 \times 512) \times (3 \times 512) = 1024 \times 1536\) 像素。
5. 设棱长为 \(a\ \text{cm}\)。“一四一”型展开图轮廓矩形长为 \(4a\)，宽为 \(3a\)。由 \(4a=120\) 得 \(a=30\)，或由 \(3a=90\) 也得 \(a=30\)。棱长为 \(30\ \text{cm}\)。原体积 \(V = a^3 = 30^3 = 27000\ (\text{cm}^3) = 27\ \text{L}\)。